1、第五章平 面 向 量第一节平面向量的概念及其线性运算(全国卷5年5考)【知识梳理知识梳理】1.1.向量的有关概念向量的有关概念定义定义 既有既有_又有又有_的量的量表示表示方法方法(1)(1)用字母表示用字母表示a,b,c(2)(2)用有向线段表示用有向线段表示 ,记作记作 模模向量的大小向量的大小大小大小方向方向AB 2.2.必记概念必记概念(1)(1)零向量零向量:长度为长度为_的向量的向量,方向任意方向任意.(2)(2)单位向量单位向量:长度为长度为_的向量的向量.(3)(3)相等向量相等向量:方向方向_,_,长度长度_的向量的向量.(4)(4)相反向量相反向量:方向方向_,_,长度长度
2、_的向量的向量.(5)(5)共线共线(平行平行)向量向量:方向方向_或方向或方向_的非零向量的非零向量.0 01 1相同相同相等相等相反相反相等相等相同相同相反相反3.3.向量的线性运算向量的线性运算加法加法减法减法数乘数乘定义定义求两个向量求两个向量和的运算和的运算a+(-+(-b)=a-b实数实数与向量与向量a的积是的积是一个一个_,_,记作记作a向量向量加法加法减法减法数乘数乘法则法则(或几何或几何意义意义)(1)(1)模模:|:|a|=|=|a|(2)(2)方向方向:当当00时时,a与与a方向方向_;_;当当0|b|【解析解析】选选A.A.依题意得依题意得(a+b)2 2-(-(a-b
3、)2 2=0,=0,即即4 4ab=0,=0,所以所以ab.2.(2.(必修必修4P119T1(2)4P119T1(2)改编改编)已知正方形已知正方形ABCDABCD的边长为的边长为1,1,=a,=,=b,=,=c,则则|a+b+c|等于等于()A.0A.0B.3B.3C.C.D.2D.2 22AB BC AC【解析解析】选选D.D.在正方形在正方形ABCDABCD中中,a+b+c=所以所以|a+b+c|=2|=2 .|=2|=2 .ABBCAC AC AC2AC ，AC 2考点一平面向量的基本概念考点一平面向量的基本概念【题组练透题组练透】1.1.下面说法正确的是下面说法正确的是()A.A.
4、平面内的单位向量是唯一的平面内的单位向量是唯一的B.B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆所有单位向量的终点的集合为一个单位圆C.C.所有的单位向量都是共线的所有的单位向量都是共线的D.D.所有单位向量的模相等所有单位向量的模相等【解析解析】选选D.D.因为平面内的单位向量有无数个因为平面内的单位向量有无数个,所以选所以选项项A A错误错误;当单位向量的起点不同时当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在其终点就不一定在同一个圆上同一个圆上,所以选项所以选项B B错误错误;当两个单位向量的方向不当两个单位向量的方向不相同也不相反时相同也不相反时,这两个向量就不共线这两个向量就不共线,所以选项所
5、以选项C C错误错误;因为单位向量的模都等于因为单位向量的模都等于1,1,所以选项所以选项D D正确正确.2.2.给出下列命题给出下列命题:零向量是唯一没有方向的向量零向量是唯一没有方向的向量;零向量的长度等于零向量的长度等于0;0;若若a,b都为非零向量都为非零向量,则使则使 =0成立的条件是成立的条件是a与与b反向共线反向共线.abab其中错误的命题的个数为其中错误的命题的个数为()A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选B.B.错误错误,零向量是有方向的零向量是有方向的,其方向是任其方向是任意的意的;正确正确,由零向量的定义可知由零向量的定义可知,零向量的长度为零
6、向量的长度为0;0;正确正确,因为因为 与与 都是单位向量都是单位向量,所以只有当所以只有当 与与 是相反向量是相反向量,即即a与与b反向共线时才成立反向共线时才成立.aabbaabb3.3.设设a是非零向量是非零向量,是非零实数是非零实数,下列结论正确的是下列结论正确的是()A.A.a与与-a的方向相反的方向相反B.|-B.|-a|a|C.C.a与与2 2a的方向相同的方向相同D.|-D.|-a|=|=|a【解析解析】选选C.C.当当00时时,a与与-a的方向相同的方向相同,所以选项所以选项A A错误错误;当当|1|0,0,因此因此a与与2 2a的方向相同的方向相同,所所以选项以选项C C正
7、确正确;又因为又因为|-|-a|是一个实数是一个实数,|,|a是一个是一个向量向量,所以选项所以选项D D错误错误.4.4.设设a0 0为单位向量为单位向量,若若a为平面内的某个向量为平面内的某个向量,则则a=|=|a|a0 0;若若a与与a0 0平行平行,则则a=|=|a|a0 0;若若a与与a0 0平行平行,且且|a|=1,|=1,则则a=a0 0.上述命题中上述命题中,其中是假命题的是其中是假命题的是_(_(填序号填序号).).【解析解析】对于命题对于命题,当当a与与a0 0方向不同时方向不同时,该命题是错该命题是错误的误的;对于命题对于命题,当当a与与a0 0反向时反向时,该命题是错误
8、的该命题是错误的;对对于命题于命题,当当a与与a0 0反向时反向时,该命题是错误的该命题是错误的.答案答案:5.5.下列与共线向量有关的命题下列与共线向量有关的命题:相反向量就是方向相反的向量相反向量就是方向相反的向量;a与与b同向同向,且且|a|b|,|,则则a b;两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.其中错误命题的序号为其中错误命题的序号为_._.【解析解析】因为相反向量是方向相反因为相反向量是方向相反,大小相等的两个向大小相等的两个向量量,所以命题是错误的所以命题是错误的;因为向量是既有大小又有方因为向量是既有大小又有方向的量向的量,
9、所以任何两个向量都不能比较大小所以任何两个向量都不能比较大小,所以命题所以命题是错误的是错误的;因为两个向量平行不能推出两个向量相等因为两个向量平行不能推出两个向量相等,而两个向量相等而两个向量相等,则这两个向量平行则这两个向量平行,因此两个向量平因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件行是这两个向量相等的必要不充分条件,所以命题是所以命题是正确的正确的.答案答案:6.6.下列四个命题下列四个命题:若若|a|=0,|=0,则则a=0;=0;若若|a|=|=|b|,|,则则a=b或或a=-=-b;若若ab,则则a与与b同向或反向同向或反向;若若a=0,则则-a=0.其中正确命题的序号为其
10、中正确命题的序号为_._.【解析解析】若若|a|=0,|=0,则则a=0,故错误故错误;|;|a|=|=|b|只说明只说明a与与b的模相等的模相等,它们的方向不能确定它们的方向不能确定,故错误故错误;若若ab且且a,b为非零向量时为非零向量时,a与与b的方向相同或相反的方向相同或相反,当其中一个当其中一个向量为零向量时向量为零向量时,另一个向量的方向任意另一个向量的方向任意,故错误故错误;正确正确.答案答案:【规律方法规律方法】解答向量概念型题目的要点解答向量概念型题目的要点(1)(1)准确理解向量的有关知识准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点应重点把握两个要点:大大小和方向小和方向.(
11、2)(2)向量线性运算的结果仍是向量向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解算律仍需从大小和方向角度去理解.【特别提醒特别提醒】(1)(1)两个向量不能比较大小两个向量不能比较大小,只可以判断只可以判断它们是否相等它们是否相等,但它们的模可以比较大小但它们的模可以比较大小.(2)(2)大小与方向是向量的两个要素大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数分别是向量的代数特征与几何特征特征与几何特征.(3)(3)向量可以自由平移向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到任意一组平行向量都可以移到同一直线上同一直线上.【拓展拓展】三角形四心的向量
12、表示三角形四心的向量表示在三角形在三角形ABCABC中中,点点O O为平面内一点为平面内一点,若满足若满足:1.=1.=0,则点则点O O为三角形的重心为三角形的重心.2 2 则点则点O O为三角形的外心为三角形的外心.OAOBOC|OA|OB|OC|，3.3.则点则点O O为三角形的垂心为三角形的垂心.4.=4.=0,则点则点O O为三角形的内心为三角形的内心.OA OBOB OCOC OA,|BC|OA|AC|OB|AB|OC 考点二平面向量的线性运算考点二平面向量的线性运算【典例典例】(1)(1)下列四个结论下列四个结论:=0;=0;=0;ABBCCA ABMBBOOM ABACBDCD
13、 =0.其中一定正确的结论个数是其中一定正确的结论个数是()A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4NQQPMNMP 【解析解析】选选C.C.=0,正确正确;错错;=0,正确正确;=0,正确正确.故正确故正确.ABBCCAACCA ABMBBOOMABMOOMAB ，AB ACBDCDCBBDDCCBBC NQQPMNMPNPPN (2)(2)在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AC,AC与与BDBD交于点交于点O,EO,E是线段是线段ODOD的的中点中点,AE,AE的延长线与的延长线与CDCD交于点交于点F.F.若若 =a,=,=b,则则=(=()A.A.a+bB.B.a+
14、bC.C.a+bD.D.a+bAC BD AF 1412231312141323【解析解析】选选B.B.如图如图,因为因为E E是线段是线段ODOD的中点的中点,所以由平行所以由平行四边形的性质得四边形的性质得 所以所以 a+b.EFDEDF1EAEBAB3，AFADDF 1ADDC3 1AOODOCOD3 （）（）21ACBD33 2313【一题多解微课一题多解微课】本例题本例题(2)(2)还可以采用以下方法求解还可以采用以下方法求解:待定系数法待定系数法:选选B.B.由题意易知由题意易知 设设 因为因为所以所以 于是于是:1AFADAB3 ，AFxACyBD ，ACADABBDADAB ，
15、AFxy ADxy AB ，2xy1,x,311xy,y33得，所以所以 =a+b.21AFACBD33 2313三点共线法三点共线法:选选B.B.因为因为D,F,CD,F,C三点共线三点共线,所以存在实数所以存在实数,使使 又因为又因为E E是是ODOD的中点的中点,所以所以 因为因为A,E,FA,E,F三点共线三点共线,所以存在所以存在R,R,使使所以所以 AFAD(1)AC,AE 11ADAO22 ，AFAE,AD(1)ACADAOADAC,2224 所以所以 =a+b.2,3241,43 于是得2121AFADAC(ODOA)AC3333 212BD323 23131112ACACBD
16、AC2333 【规律方法规律方法】1.1.平面向量的线性运算技巧平面向量的线性运算技巧(1)(1)不含图形的情况不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解可直接运用相应运算法则求解.(2)(2)含图形的情况含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形将它们转化到三角形或平行四边形中中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质性质,把未知向量用已知向量表示出来求解把未知向量用已知向量表示出来求解.2.2.三种运算法则的关注点三种运算法则的关注点(1)(1)加法的三角形法则要求加法的三角形法则要求“首尾相接首尾相接”,平行四边形平行四边形法则要求
17、法则要求“起点相同起点相同”.(2)(2)减法的三角形法则要求减法的三角形法则要求“起点相同起点相同”且差向量指向且差向量指向“被减向量被减向量”.(3)(3)数乘运算的结果仍是一个向量数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实运算过程可类比实数运算数运算.【对点训练对点训练】1.1.如图如图,在正方形在正方形ABCDABCD中中,点点E E是是DCDC的中点的中点,点点F F是是BCBC的一的一个三等分点个三等分点,那么那么 等于等于()EF1111A.ABAD B.ABAD2342 1112C.ABDA D.ABAD3223 【解析解析】选选D.D.根据向量加法、减法的三角形法则可知根据
18、向量加法、减法的三角形法则可知EFAFAE(ABBF)(ADDE)11(ABAD)(ADAB)3212ABAD.23 2.(20182.(2018全国卷全国卷I)I)在在ABCABC中中,AD,AD为为BCBC边上的中线边上的中线,E,E为为ADAD的中点的中点,则则 =()EB 3113A.ABAC B.ABAC44443113C.ABAC D.ABAC4444 【解析解析】选选A.A.如图所示如图所示11131EBABAEABADAB(ABAC)ABAC.22244 3.3.若若 =a,=,=b,a与与b不共线不共线,则则AOBAOB平分线上的平分线上的向量向量 为为 ()OAOB OMA
19、.B.C.D.(OMababababb aa bababab)，由确定【解析解析】选选D.D.以以OMOM为对角线为对角线,以以 ,方向为邻边作方向为邻边作平行四边形平行四边形OCMD,OCMD,因为因为OMOM平分平分AOB,AOB,所以平行四边形所以平行四边形OCMDOCMD是菱形是菱形.设设OC=OD=,OC=OD=,则则 所以所以 且且由由 确定确定.OAOB OCOD abab ，OMOCOD (abab)，OM考点三共线向量定理及其应用考点三共线向量定理及其应用【明考点明考点知考法知考法】向量共线作为考查向量线性运算知识的载体向量共线作为考查向量线性运算知识的载体,是高是高考命题的
20、热点考命题的热点,试题常以选择题、填空题的形式出现试题常以选择题、填空题的形式出现,考查向量共线的判断、证明诸点共线以及向量共线求考查向量共线的判断、证明诸点共线以及向量共线求参数等问题参数等问题.解题过程中常常渗透数学运算的核心素养解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.命题角度命题角度1 1判断向量共线判断向量共线【典例典例】已知已知P P是是ABCABC所在平面内的一点所在平面内的一点,若若 +其中其中R,R,则点则点P P一定在一定在()A.A.ABCABC的内部的内部B.ACB.AC边所在直线上边所在直线上C.ABC.AB边所在直线上边所在直线上 D.BCD.BC边所在直线上边所在直线
21、上CBPA PB，【解析解析】选选B.B.由由 +得得 则则 为共线向量为共线向量,又又 有一个公共点有一个公共点P,P,所以所以C,C,P,AP,A三点共线三点共线,即点即点P P在直线在直线ACAC上上.CBPA PBCBPBPA CPPA.，CP,PA CP,PA 【状元笔记状元笔记】证明向量共线的方法证明向量共线的方法:应用向量共线定理应用向量共线定理.对于向量对于向量a,b(b0),),若存在实数若存在实数,使得使得a=b,则则a与与b共线共线.命题角度命题角度2 2用共线向量定理解决三点共线问题用共线向量定理解决三点共线问题【典例典例】已知向量已知向量a,b,且且 =a+2+2b,
22、=-5,=-5a+6+6b,=,=7 7a-2-2b,则一定共线的三点是则一定共线的三点是 ()A.A,B,DA.A,B,D B.A,B,CB.A,B,CC.B,C,DC.B,C,D D.A,C,DD.A,C,DAB BC CD【解析解析】选选A.=3A.=3a+6+6b=3 .=3 .因为因为 与与 有公共点有公共点A,A,所以所以A,B,DA,B,D三点共线三点共线.ADABBCCD AB AB AD【状元笔记状元笔记】证明证明A,B,CA,B,C三点共线的方法三点共线的方法:若存在实数若存在实数,使得使得 =则则A,B,CA,B,C三点共线三点共线.AB AC，命题角度命题角度3 3解决
23、含参数的共线综合问题解决含参数的共线综合问题【典例典例】已知点已知点M M是是ABCABC所在平面内的一点所在平面内的一点,若点若点M M满满足足 =0=0且且S SABCABC=3S=3SABMABM,则实数则实数=_.=_.|AMABAC|【解析解析】如图如图,设设D D为为BCBC的中点的中点,则则因为因为 =0,=0,所以所以 =0,所以所以于是于是A,M,DA,M,D三点共线三点共线,且且ABAC2AD ，|AMABAC|AMABAC AMABAC2AD ，|AM|2,|AD|又又S SABCABC=3S=3SABMABM,所以所以 又因为又因为S SABDABD=S=SABCABC
24、且且 所以所以 解得解得=3.3.答案答案:3 3ABMABCS1,S312ABMABDS|AM|2,S|AD|ABMABDS11232 S2|【状元笔记状元笔记】解决含参数的共线问题的方法解决含参数的共线问题的方法:经常用到平面几何的性质经常用到平面几何的性质,构造含有参数的方程或方程构造含有参数的方程或方程组组,解方程或方程组得到参数值解方程或方程组得到参数值.【对点练对点练找规律找规律】1.1.已知向量已知向量a与与b不共线不共线,=,=a+m+mb,=n,=na+b(m,nR),(m,nR),则则 与与 共线的条件是共线的条件是()A.m+n=0A.m+n=0B.m-n=0B.m-n=
25、0C.mn+1=0C.mn+1=0D.mn-1=0D.mn-1=0AB AC AB AC【解析解析】选选D.D.由由 =a+m+m b,=n,=n a+b(m,nR)(m,nR)共线共线,得得a+m+m b=(n=(n a+b),),即即 所以所以mn-1=0.mn-1=0.AB AC 1n,m,2.2.在在ABCABC中中,已知已知D D是是ABAB边上一点边上一点,若若 则则等于等于()1AD2DBCDCA3 ，CB，2112A.B.C.D.3333【解析解析】选选A.A.因为因为所以所以2 2 又因为又因为 所以所以CDCAADCDCBBD ，CDCACBADBD.AD2DB,12CDC
26、ACBAB3 1CACB(CBCA)324CACB.33 所以所以122CDCACB,.333 即3.3.如图所示如图所示,在在ABCABC中中,D,F,D,F分别是分别是BC,ACBC,AC的中点的中点,=a,=,=b.AE 2AD3，AB AC(1)(1)用用a,b表示向量表示向量(2)(2)求证求证:B,E,F:B,E,F三点共线三点共线.AD AE AFBE BF.，【解析解析】(1)(1)延长延长ADAD到到G,G,使使 连接连接BG,CG,BG,CG,得到得到 ABGC,ABGC,所以所以 =a+b,1ADAG2，AG=(=(a+b)-)-a=(=(b-2-2a),),b-a=(=
27、(b-2-2a).).1121ADAG(),AEAD(),223311 AFAC,22ababb 1BEAEAB3 131BFAFAB2 12(2)(2)由由(1)(1)可知可知 因为有公共点因为有公共点B,B,所以所以B,E,FB,E,F三点共线三点共线.2BEBF3，巧用结论系列巧用结论系列22向量共线性质的巧用向量共线性质的巧用【结论诠释结论诠释】已知已知 (,(,为常数为常数),),则则A,B,CA,B,C三点共线的充要条件为三点共线的充要条件为+=1.+=1.OAOBOC 【典例典例】(2018(2018扬州模拟扬州模拟)在在ABCABC中中,N,N是是ACAC边上一点边上一点且且
28、P P是是BNBN上一点上一点,若若 则实数则实数m m的值是的值是_._.1ANNC2，2APmABAC9 ，【解析解析】如图如图,因为因为 P P是是BNBN上一点上一点.所以所以 因为因为B,P,NB,P,N三点共线三点共线,所以所以m+=1,m+=1,则则m=.m=.1ANNC2，AN 122AC APmABACmABAN393 ，2313答案答案:13【技法点拨技法点拨】利用向量共线的性质求参数的步骤利用向量共线的性质求参数的步骤一是确定选择哪三点共线一是确定选择哪三点共线,选择直线外的一点选择直线外的一点;二是将直线外一点与这三点构成的三个向量二是将直线外一点与这三点构成的三个向量
29、,用其中两用其中两个向量来表示另外一个向量个向量来表示另外一个向量;三是借助向量共线的性质求出参数值三是借助向量共线的性质求出参数值.【即时训练即时训练】(2019(2019淮北模拟淮北模拟)如图如图,在在RtRtABCABC中中,P,P是斜边是斜边BCBC上一上一点点,且满足且满足:点点M,NM,N在过点在过点P P的直线上的直线上,若若 (,0),(,0),则则+2+2的最小值为的最小值为()1BPPC2，AM ABANAC ，A.2A.2B.B.C.3C.3D.D.83103【解析解析】选选B.B.若若 (,0),(,0),M,P,N M,P,N三点共线三点共线,所以存在实数所以存在实数
30、k,k,使使 所以所以AM ABANAC ，MBMPPB(1)AB;MPkMNk(ANAM)k ABk AC,1BPPC,2111PBCBABAC;333 11(k)AB(k)AC(1)AB;33 由得由得,k=,k=代入得代入得,=1-;,=1-;所以所以=所以所以+2=+2=+设设f()=+0;f()=+0;1k1 31k0;3 所以13133;322;322,32所以所以f()=f()=令令f()=0f()=0得得,=0(=0(舍去舍去)或或 ;所以所以 时时,f()0,f()0;0;所以所以=时时,f(),f()取极小值取极小值,也是最小值也是最小值;所以所以f()f()的最小值为的最
31、小值为 ,即即+2+2的最小值为的最小值为 .22912,(32)434(0,)34(,)3438383第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算(全国卷5年2考)【知识梳理知识梳理】1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理(1)(1)定理定理:如果如果e1 1,e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量向量,那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2,使使a=_.a=_.不共线不共线1 1e1 1+2 2e2 2(2)(2)基底基底:_:_的向量的向量e1 1,e2 2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组基
32、底向量的一组基底.不共线不共线2.2.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,分别取与分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同轴方向相同的两个单位向量的两个单位向量i,j作为基底作为基底,对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,x,y,使得使得a=x=xi+y+yj,这样这样,平面内的任一向量平面内的任一向量a都可由都可由_唯一确定唯一确定,x,yx,y因此把有序数对因此把有序数对_叫做向量叫做向量a的坐标的坐标,记作记作a=(x,y),=(x,y),其中其中x x
33、叫做叫做a在在x x轴上的坐标轴上的坐标,y,y叫做叫做a在在y y轴上的坐标轴上的坐标.(2)(2)若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 =_.=_.AB(x,y)(x,y)(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1)3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)(1)若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab=(x=(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2).).(2)(2)若若a=(x,y),=(x,y),则则a=_.=_.(3)(3)设设A(xA(x1 1
34、,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则|=_.|=_.AB(x,y)(x,y)222121xxyy4.4.平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示向量共线的充要条件的坐标表示若若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab_._.x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0【常用结论常用结论】1.1.向量共线的充要条件有两种向量共线的充要条件有两种:aba=b(b0).).a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则abx x1
35、1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0.=0.2.2.两向量相等的充要条件两向量相等的充要条件:它们的对应坐标相等它们的对应坐标相等.3.3.注意向量坐标与点的坐标的区别注意向量坐标与点的坐标的区别:(1)(1)向量与坐标之间是用等号连接向量与坐标之间是用等号连接.(2)(2)点的坐标点的坐标,是在表示点的字母后直接加坐标是在表示点的字母后直接加坐标.(3)(3)是用是用B B点的横纵坐标减去点的横纵坐标减去A A点的横纵坐标点的横纵坐标,既有方既有方向的信息也有大小的信息向的信息也有大小的信息,其向量位置不确定其向量位置不确定.(4)(4)点的坐标含有横坐标和纵坐标点的坐标含有横坐标和
36、纵坐标,点是唯一的点是唯一的.AB【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.()(2)(2)同一向量在不同的基底下的表示是相同的同一向量在不同的基底下的表示是相同的.()(3)(3)在在ABCABC中中,设设 =a,=,=b,则则a与与b的夹角为的夹角为ABC.ABC.()(4)(4)若若a,b不共线不共线,且且1 1a+1 1b=2 2a+2 2b,则则1 1=2 2,1 1=2 2.()AB BC【解析解析】(1)(
37、1).因为一组不共线的向量可以作为一组因为一组不共线的向量可以作为一组基底基底,所以平面内的任意两个向量都可以作为一组基底所以平面内的任意两个向量都可以作为一组基底错误错误.(2)(2).由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知,平面内的任意向量都平面内的任意向量都可以由一组基向量唯一线性表示可以由一组基向量唯一线性表示,而同一向量在不同的而同一向量在不同的基底下的表示是不同的基底下的表示是不同的.(3)(3).由向量夹角的定义可知由向量夹角的定义可知:a:a与与b b的夹角为的夹角为ABCABC的的补角补角.(4).(4).因为因为1 1a+1 1b=2 2a+2 2b,所以所以(1 1
38、-2 2)a=(=(2 2-1 1)b,当当1 1-2 200时时,a=b,所以所以a与与b共线共线,与与已知已知a,b不共线矛盾不共线矛盾.2112 2.2.若若 =(1,2),=(3,4),=(1,2),=(3,4),则则 =()A.(2,2)A.(2,2)B.(-2,-2)B.(-2,-2)C.(4,6)C.(4,6)D.(-4,-6)D.(-4,-6)AB BC AC【解析解析】选选C.C.向量加法法则可知向量加法法则可知:=+:=+=(1,2)+(3,4)=(4,6).=(1,2)+(3,4)=(4,6).AC AB BC 3.3.在在ABCABC中中,已知已知M M是是BCBC的中
39、点的中点,设设 =a,=,=b,则则 =_.=_.BA CA AM【解析解析】在在ABCABC中中,因为因为M M是是BCBC的中点的中点,由向量加法的由向量加法的平行四边形法则可知平行四边形法则可知:答案答案:-ABACAM2 BACA.22 ab2ab题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修4P101A4P101A组组T5T5改编改编)已知向量已知向量a=(4,2),=(4,2),b=(x,3),=(x,3),且且ab,则则x x的值是的值是()A.-6A.-6B.6B.6C.9C.9D.12D.12【解析解析】选选B.B.因为因为ab,所以所以4 43-2x=0,3-2x=0,
40、所以所以x=6.x=6.2.(2.(必修必修4P101A4P101A组组T2T2改编改编)已知三个力已知三个力F1 1=(-2,-1),=(-2,-1),F2 2=(-3,2),=(-3,2),F3 3=(4,-3)=(4,-3)同时作用于某物体上一点同时作用于某物体上一点,为为使物体保持平衡使物体保持平衡,现加上一个力现加上一个力F4 4,则则F4 4等于等于()A.(-1,-2)A.(-1,-2)B.(1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)C.(-1,2)D.(1,2)D.(1,2)【解析解析】选选D.D.根据力的平衡原理有根据力的平衡原理有F1 1+F2 2+F3 3+F4 4=0,
41、=0,所以所以F4 4=-(=-(F1 1+F2 2+F3 3)=(1,2).)=(1,2).3.(3.(必修必修4P102 T34P102 T3改编改编)设设e1 1,e2 2是不共线的两个向量是不共线的两个向量,且且1 1 e1 1+2 2 e2 2=0,=0,则则1 1+2 2=_.=_.【解析解析】因为因为e1 1,e2 2是不共线的两个向量是不共线的两个向量,且且1 1 e1 1+2 2 e2 2=0,=0,所以所以1 1=2 2=0,=0,所以所以1 1+2 2=0.=0.答案答案:0 0考点一平面向量的坐标运算考点一平面向量的坐标运算【题组练透题组练透】1.1.已知平面向量已知平
42、面向量a=(1,1),=(1,1),b=(1,-1),=(1,-1),则向量则向量 a-b=()1232A.(-2,-1)A.(-2,-1)B.(-2,1)B.(-2,1)C.(-1,0)C.(-1,0)D.(-1,2)D.(-1,2)【解析解析】选选D.D.因为因为a=(1,1),=(1,1),b=(1,-1),=(1,-1),所以所以 a-b=(1,1)-(1,-1)=(-1,2).=(1,1)-(1,-1)=(-1,2).123212321 133(,)(,)2 2222.(20152.(2015全国卷全国卷)已知点已知点A(0,1),B(3,2),A(0,1),B(3,2),向量向量
43、=(-4,-3),(-4,-3),则向量则向量 =()A.(-7,-4)A.(-7,-4)B.(7,4)B.(7,4)C.(-1,4)C.(-1,4)D.(1,4)D.(1,4)AC BC【解析解析】选选A.=(3,1),=(-4,-3),=-=A.=(3,1),=(-4,-3),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).AB AC BC AC AB 3.3.已知已知ABCABC的三个顶点的三个顶点A,B,CA,B,C的坐标分别为的坐标分别为(0,1),(0,1),(,0),(0,-2),O(,0),(0,-2),O为坐标原点为坐标原点,动点
44、动点P P满足满足|=1,|=1,则则|的最小值是的最小值是()A.-1A.-1B.-1B.-1C.+1C.+1D.+1D.+12CPOAOBOP 311113【解析解析】选选A.A.设设P(cos,-2+sin),P(cos,-2+sin),则则 OAOBOP 22cos2sin1 42 2cos2sin42 3cos()（）（）42 331.4.4.已知已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),OA(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点为坐标原点,且且 =,则则|等于等于_._.OD 1(OAOBCB)2 BD【解析解析】由由 =,=,知点知点D D是线段是线段ACAC的
45、中点的中点,故故D(2,2),D(2,2),所以所以 =(-2,2),=(-2,2),故故|=|=答案答案:2 2 OD 1(OAOBCB)2 1(OAOC)2 BD BD 22222 2.25.5.已知正已知正ABCABC的边长为的边长为2 ,2 ,平面平面ABCABC内的动点内的动点P,MP,M满满足足|=1,|=1,则则|2 2的最大值是的最大值是_._.3AP PMMC，BM【解析解析】建立平面直角坐标系如图所示建立平面直角坐标系如图所示,则则B(-,0),C(,0),A(0,3),B(-,0),C(,0),A(0,3),则点则点P P的轨迹方程为的轨迹方程为x x2 2+(y-3)+
46、(y-3)2 2=1.=1.设设P(x,y),P(x,y),M(xM(x0 0,y,y0 0),),则则x=2xx=2x0 0-,y=2y-,y=2y0 0,代入圆的方程得代入圆的方程得 所以点所以点M M的轨迹方程为的轨迹方程为 333203(x)22031(y)24，22331(x)(y)224，它表示以它表示以 为圆心为圆心,以以 为半径的圆为半径的圆,所以所以 所以所以 =答案答案:3 3()22，122maxBMmaxBM223317(3)(0)2222，49.4494【规律方法规律方法】向量坐标运算的注意事项向量坐标运算的注意事项(1)(1)向量坐标与点的坐标形式相似向量坐标与点的
47、坐标形式相似,实质不同实质不同.(2)(2)向量坐标形式的线性运算类似于多项式的运算向量坐标形式的线性运算类似于多项式的运算.(3)(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结需清楚结论推导过程与结果论推导过程与结果,加以区分加以区分.考点二平面向量基本定理及其应用考点二平面向量基本定理及其应用【典例典例】(1)(1)如图所示如图所示,矩形矩形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O,O,E E为为AOAO的中点的中点,若若 (,(,为实数为实数),),则则2 2+2 2=(=()DEABAD A.A.B.B.C.1C.1D.D.5814516
48、【解析解析】选选A.A.所以所以=,=-,=,=-,故故2 2+2 2=.=.11111DEDADODADBDA22242 113(DAAB)ABAD444 ，143458(2)(2)在在ABCABC中中,点点D,ED,E分别在边分别在边BC,ACBC,AC上上,且且 若若 =a,=,=b,则则 =()A.A.a+bB.B.a-bC.-C.-a-bD.-D.-a+bBD2DC ，CE 3EA，AB AC DE 1351213131213512131312【解析解析】选选C.C.DEDCCE 13BCCA3413(ACAB)AC341515ABAC.312312 ab【一题多解微课一题多解微课】
49、解决本题还可以采用以下方法解决本题还可以采用以下方法:选选C.C.不妨设不妨设BAC=90BAC=90,取直角坐取直角坐标系标系xOy,xOy,设设A(0,0),B(1,0),C(0,1),A(0,0),B(1,0),C(0,1),则则a=(1,0),=(1,0),b=(0,1)=(0,1)，由由 易知易知故故 =所以所以 =-=-a-bBD2DC ，CE 3EA，DE 15().312，DE 135121 21D(E(03 34，），），【规律方法规律方法】应用平面向量基本定理解题的一般策略应用平面向量基本定理解题的一般策略(1)(1)根据题意选准基底或建立直角坐标系根据题意选准基底或建立直
50、角坐标系.(2)(2)结合平面几何知识结合平面几何知识,运用平面向量的线性运算运用平面向量的线性运算,用基用基底或坐标表示所求向量底或坐标表示所求向量.【对点训练对点训练】1.1.已知在已知在ABCABC中中,点点O O满足满足 =0,点点P P是是OCOC上上异于端点的任意一点异于端点的任意一点,且且 则则m+nm+n的取值的取值范围是范围是_._.OAOBOC OPmOAnOB ，【解析解析】依题意依题意,设设 (01),(01),由由 =0知知所以所以 由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知,m+n=-2,m+n=-2,所以所以m+n(-2,0).m+n(-2,0).答案答案:(-
