1、6 6.3 3等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和 第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-2-知识梳理双基自测211.等比数列(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.数学2 同一个常数 公比 q(q0)第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-3-知识梳理双基自测21(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列.
2、(3)等比数列的通项公式an=;可推广为an=.(4)等比数列的前n项和公式G2=ab a1qn-1 amqn-m 第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双基自测212.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=;若m+n=2k,则(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则aman qm 第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养知识梳理-5-知识梳理
3、双基自测21当q0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0C B 第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)4a1,2a2,a3成等差数列,4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,q2-4q+4=0.q=2.a3+a5=a1(q2+q4)=3(4+16)=60.(2)设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.第六章第六章6.3等比数列及
4、其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点1考点2考点3考点4例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-18-考点1考点2考点3考点4第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判断数列an为等比数列的方法:2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=
5、cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则数列an是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k0,q0,1),则数列an为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2设a1=2,a2=4,数列bn满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求证:数列bn+2是等比数列;(2)求数列an的通项公式.b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4.bn+2是以4为首项,以2为公比
6、的等比数列.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点1考点2考点3考点4(2)解：由(1)可得bn+2=42n-1,即bn=2n+1-2.an+1-an=bn,a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1,则an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2)即an=2n+1-2n(n2).而a1=2=21+1-21,an=2n+1-2n(nN*).第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-2
7、2-考点1考点2考点3考点4考向一等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?14 B第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-23-考点1考点2考点3考点4第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-24-考点1考点2考点3考点4考向二等比数列前n项
8、和的性质的应用例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?答案解析解析关闭(方法一)S2=3,S4=15,由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.(方法二)设等比数列an的公比为q,则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)3=15,解得q2=4.故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)
9、=(1+4+42)3=63.答案解析关闭C 第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-25-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和
10、知识梳理核心考点学科素养核心考点-26-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列an中,a5a6=4,则数列log2an的前10项和为()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比数列an的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若 ,则公比q=.答案解析解析关闭 答案解析关闭第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-27-考点1考点2考点3考点4例5已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列 (-1)的前
11、2n项和.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-28-考点1考点2考点3考点4第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-29-考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养核心考点-
12、30-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解(1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科
13、素养核心考点-31-考点1考点2考点3考点4(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养学科素养-32-审题答题指导如何理解条件和转化条件典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的个
14、数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.审题要点:(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9man92m的n的范围.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养学科素养-33-解：(1)设等差数列an的公差为d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.第六章第六章6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和 知识梳理核心考点学科素养学科素养-34-反思提升本题第(2)问设置了落入区间内的项的个数构成新数列,这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列bm的通项公式是解答该问题的核心与关键.
