1、2019版高考帮配套PPT课件第四讲 正、余弦定理及解三角形【高考帮理科数学】第四章：三角函数、解三角形考情精解读A考点帮知识全通关目录CONTENTS考纲要求命题规律命题分析预测考点1 正、余弦定理及其应用考点2 解三角形的实际应用考法1 利用正、余弦定理解三角形考法2 判断三角形的形状考法3 与面积、范围有关的问题考法4 解三角形的实际应用B考法帮题型全突破C方法帮素养大提升易错 代数式化简或三角运算不当致误误理科数学 第四章：三角函数、解三角形考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测理科数学 第四章：三角函数、解三角形1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运
2、用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲要求核心考点考题取样考查内容（对应考法）命题规律1.利用正、余弦定理解三角形.2017全国,T172017全国,T172017全国,T172016全国,T172014全国,T162014全国,T4正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用(考法1,3)2016全国,T8利用余弦定理解三角形(考法1)2015全国,T16正弦定理,求线段的取值范围(考法3)2013全国,T17利用正弦定理求线段,利用余弦定理求角(考法1)2.解三角形的实际应用.2013陕西,T7判断三角形的形状(考法2)2014四川,T13解三角形的实际应
3、用(考法4)1.分析预测从近五年的考查情况来看,该讲是高考的重点和热点,主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用,有时也与三角恒等变换等进行综合命题,既有选择题、填空题,也有解答题,分值412分.2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力.命题分析预测A考点帮知识全通关考点1 正、余弦定理及其应用考点2 解三角形的实际应用理科数学 第四章：三角函数、解三角形1.正弦、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为ABC的外接圆半径,则考点1 正、余弦定理及其应用（重点）定理正弦定理余弦定理内容a2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2
4、=a2+b2-2abcos C.变形解决的问题(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角.(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边.注意：在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形时,会出现解的个数不确定的情况,情况如下:理科数学 第四章：三角函数、解三角形 A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aab解的个数一解两解一解一解理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形解三角形在测量中的应用解三角形的实际应用有
5、:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.说明 有关测量中的常用术语如下：考点2 解三角形的实际应用（重点）术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫作仰角,目标视线在水平视线下方的叫作俯角.方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角.方位角的范围是(0,360).术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西).北偏东 南偏西坡角 坡面与水平面的夹角坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比理科数学 第四章：三角函数、解三角形规律总结
6、理科数学 第四章：三角函数、解三角形B考法帮题型全突破考法1 利用正、余弦定理解三角形考法2 判断三角形的形状考法3 与面积、范围有关的问题考法4 解三角形的实际应用理科数学 第四章：三角函数、解三角形考法1 利用正、余弦定理解三角形考法指导 解三角形的基本类型及解法基本类型一般解法已知两角及其中一角的对边,如A,B,a已知两边和它们的夹角,如a,b,C基本类型一般解法已知三边 可以连续用余弦定理求出两角,常常是分别求较小两边所对的角,再由A+B+C=180,求出第三个角;由余弦定理求出一个角后,也可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然是先求较小边所对的角.已知两边及其中一边所对的角,如a,b,
7、A理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形考法2 判断三角形的形状考法指导 判断三角形的形状,主要有如下两种方法:(1)角化边.利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,如:若a=b,则三角形为等腰三角形;若c2=a2+b2,则三角形为以角C为直角的直角三角形;若c2a2+b2,则三角形为以角C为钝角的钝角三角形;若c2a2+b2,则只能得到三角形中角C为锐角,如果同时有a2c2+
8、b2,b2a2+c2都成立,此三角形为锐角三角形;有时可能得到两个结论a=b,且c2=a2+b2,此时三角形为等腰直角三角形.化简过程中不能随便约分,要把关系找充分,从而正确判断三角形的形状.理科数学 第四章：三角函数、解三角形示例2 在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC一定是A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形思路分析 两直线平行可得到一个边角关系,即bcos B-acos A=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.理科数学 第四章：三角函数、解三角形
9、理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形突破攻略三角形形状的判断要从角或边长之间的关系上来考虑,除了应用正弦定理外,还要注意三角函数中公式的灵活应用和性质的应用.理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形考法3 与面积、范围有关的问题2.解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.注意(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.(2)注意题目中的隐含条
10、件,如A+B+C=,0A,b-cab+c,三角形中大边对大角等.理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形突破攻略在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解.理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形考法4 解三角形的实际应用考法指导 1.解三角形应用题的常见情况及方法(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量
11、全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需画出这些三角形,先解条件足够的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的量.2.解决关于解三角形的应用问题的注意事项(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词,并能准确地找出这些角;(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结合起来使用,这样可以优化解题过程;(3)要注意题目中的隐含条件以及解的实际意义.理科数学 第四章：三角函数、解三角形示例4 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰
12、艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45,距离为10 n mile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.思路分析 本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,然后解三角形.理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形拓展变式4 如图,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=
13、PN=MN=2(单位:千米).记AMN=.(1)将AN,AM用含的关系式表示出来;(2)如何设计(即AN,AM为多长时),使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形C方法帮素养大提升易混易错理科数学 第四章：三角函数、解三角形易错 代数式化简或三角运算不当致误示例5 在ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断ABC的形状.易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形;(2)代数运算中两边同除以一个可能为0的式子,导致漏解;(3)结论表述不规范.易混易错理科数学 第四章：三角函数、解三角形理科数学 第四章：三角函数、解三角形易错提醒1.判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断.注意不要轻易两边同除以一个式子.2.在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角A,B,C的范围对三角函数值的影响.理科数学 第四章：三角函数、解三角形
