1、单元复习课第一章灿若寒星一、三角形的相关概念一、三角形的相关概念1.1.三角形的概念：三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形.三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形的三条线段叫做三角形的边，公共的端点叫做三角形的顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角顶点，两边所形成的夹角叫做三角形的内角.三角形用符号三角形用符号“”及顶点字母表示及顶点字母表示.灿若寒星2.2.与三角形有关的线段：与三角形有关的线段：三角形的高线、中线、角平分线：三角形的高线、中线、角平分线：(1)(1)三线都经过顶点三线都经
2、过顶点.(2)(2)都是线段都是线段.(3)(3)除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上，钝角除直角三角形的两条高线在三角形的两条直角边上，钝角三角形的两条高线在三角形外部，其他各线均在三角形内三角形的两条高线在三角形外部，其他各线均在三角形内.(4)(4)锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交锐角三角形的高交于三角形内部一点，直角三角形的高交于三角形的直角顶点，钝角三角形的高所在的直线交于三角形于三角形的直角顶点，钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点外部一点.灿若寒星(5)(5)三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等
3、的小三角形.(6)(6)根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等根据面积法可得，三角形的各边与这边上的高的乘积相等.3.3.三角形的分类：三角形的分类：(1)(1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.(2)(2)按边分类：按边分类：4.4.全等三角形的概念：全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.没没有有相相等等边边的的三三角角形形三三角角形形等等边边三三角角形形等等腰腰三三角角形形底底与与腰腰不不相相等等的的等等腰腰三三角角形形灿若寒星二、三角形的相关性质和判定二、三角形的
4、相关性质和判定1.1.三角形的性质：三角形的性质：(1)(1)三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状大小就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性小就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.(2)(2)三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，三角形三边之间的性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边任意两边之差小于第三边.2.2.三角形内角和性质：三角形内角和性质：三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180.灿若寒星3.3.全等三角形：全等三角形：(1)(1)全等三角形的性质：全等三
5、角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分线，对应角的角平分线分别相等；全等三角形的周长、面积分别相等别相等.全等三角形的性质是判定线段、角相等的重要依据全等三角形的性质是判定线段、角相等的重要依据.灿若寒星(2)(2)全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法：注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两注：有两边及其中一边的对角对应相等和三个角对应相等的两个三角形不一定全等个三角形不一定全等.名称名称SSSSSSSASSASASAASAAASAAS对
6、应相对应相等的条件等的条件三边三边两边及两边及夹角夹角两角及两角及夹边夹边两角及两角及一角对边一角对边灿若寒星(3)(3)判定两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清判定两个三角形全等时要认真分析条件和图形结构，理清已知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法已知与未知之间的内在联系，从而选择恰当的方法.(4)(4)以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换以后将会学到的平移、旋转、翻折都是全等变换.在学习的在学习的过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，过程中，对两个三角形进行不同的组合变换，拼成不同的图形，在复杂的图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全在复杂的
7、图形当中，学会对图形进行分离、整合，准确找出全等三角形的对应元素等三角形的对应元素.理解并熟记全等三角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中理解并熟记全等三角形中经常出现的图形结构，充分挖掘其中的隐含条件，如图的隐含条件，如图.灿若寒星平移型：平移型：旋转型：旋转型：灿若寒星翻折型：翻折型：组合型：组合型：灿若寒星三、全等三角形的应用三、全等三角形的应用1.1.全等三角形的应用主要体现在判定线段或角的相等问题中，全等三角形的应用主要体现在判定线段或角的相等问题中，在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性在实际问题中，往往构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解决测量质解决测量(不能
8、直接度量长度不能直接度量长度)问题、三角形物体复原问题等问题、三角形物体复原问题等.2.2.涉及实际问题中的测量方案设计问题时，要考虑测量工具及涉及实际问题中的测量方案设计问题时，要考虑测量工具及条件的局限性，叙述测量方案时要严谨、有条理条件的局限性，叙述测量方案时要严谨、有条理.灿若寒星灿若寒星热点考向热点考向1 1三角形的边角关系三角形的边角关系【相关链接相关链接】三角形的性质分为边的性质与内角的性质三角形的性质分为边的性质与内角的性质(1)(1)三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边第三边.(2)(2)内角关系：三角形内
9、角的和是内角关系：三角形内角的和是180180.灿若寒星【例例1 1】(2012(2012海南中考海南中考)一个三角形的两边长分别为一个三角形的两边长分别为3cm3cm和和7cm7cm，则此三角形的第三边的长可能是，则此三角形的第三边的长可能是()(A)3cm(B)4cm(C)7cm(D)11cm(A)3cm(B)4cm(C)7cm(D)11cm【思路点拨思路点拨】【自主解答自主解答】选选C.C.设第三边长为设第三边长为xcmxcm，则由三角形三边关系定理，则由三角形三边关系定理得得7-37-3x x7+37+3，即，即4 4x x1010因此，本题的第三边应满足因此，本题的第三边应满足4 4
10、x x1010，把各项代入不等式符合的即为答案，把各项代入不等式符合的即为答案3 3，4 4，1111都不符合不都不符合不等式等式4 4x x1010，只有，只有7 7符合，故选符合，故选C C三边关系三边关系第三边取值范围第三边取值范围代入得出答案代入得出答案灿若寒星热点考向热点考向2 2全等三角形的判别全等三角形的判别【相关链接相关链接】三角形全等的四种判定方法：三角形全等的四种判定方法：SSSSSS、SASSAS、ASAASA、AASAAS，说明三角，说明三角形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件形全等的三类条件：直接条件、隐含条件、间接条件.【例例2 2】(2012(2012广
11、元中考广元中考)如图，在如图，在AECAEC和和DFBDFB中，中，E=FE=F，点，点A A，B B，C C，D D在同在同一条直线上，有如下三个关系式：一条直线上，有如下三个关系式：AEDFAEDF；AB=CDAB=CD；CE=BF.CE=BF.灿若寒星(1)(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有题目写出你认为正确的所有题目(用序号写出题目书写格用序号写出题目书写格式：式：“如果如果，那么，那么”)(2)(2)选择选择(1)(1)中你写出的一个题目，说明它正确的理由中你写出的一个题目，说明它正确的理由.【思路点拨思
12、路点拨】从三个条件中选两个条件共有三种方法从三个条件中选两个条件共有三种方法即选取，和即选取，和结合三角形全等的判定方法判断是否正确结合三角形全等的判定方法判断是否正确写出正确的题目写出正确的题目用相应方法说明理由用相应方法说明理由灿若寒星【自主解答自主解答】(1)(1)题目题目1 1：如果，那么；：如果，那么；题目题目2 2：如果，那么：如果，那么.(2)(2)题目题目1 1：因为因为AEDFAEDF，所以，所以A=DA=D，因为因为AB=CDAB=CD，所以所以AB+BC=CD+BCAB+BC=CD+BC，即，即AC=DB.AC=DB.在在AECAEC和和DFBDFB中，中，因为因为E=F
13、E=F，A=DA=D，AC=DBAC=DB，所以所以AECAECDFB(AAS)DFB(AAS)，灿若寒星所以所以CE=BFCE=BF(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)题目题目2 2：因为因为AEDFAEDF，所以，所以A=D.A=D.在在AECAEC和和DFBDFB中，中，因为因为E=FE=F，A=DA=D，CE=BFCE=BF，所以所以AECAECDFB(AAS)DFB(AAS)，所以所以AC=DB(AC=DB(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)，则则AC-BC=DB-BCAC-BC=DB-BC，即，即AB=CDAB=CD.注：题目注：题目“如果，那么如果，那么”是错误的
14、是错误的.灿若寒星热点考向热点考向3 3全等三角形的应用全等三角形的应用【相关链接相关链接】全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一，用全等三角全等三角形是说明线段或角相等的重要方法之一，用全等三角形解题的关键是确定或构造两个三角形全等，全等三角形的周形解题的关键是确定或构造两个三角形全等，全等三角形的周长和面积相等也是中考考查的内容长和面积相等也是中考考查的内容.灿若寒星【例例3 3】(2012(2012哈尔滨中考哈尔滨中考)如图，点如图，点B B在在射线射线AEAE上，上，CAE=DAECAE=DAE，CBE=DBE.CBE=DBE.试说明试说明AC=AD.AC=AD.【教你解题教你解题
15、】灿若寒星【命题揭秘命题揭秘】三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和相关三角形在中考中是重要考查点之一，对于三角形的性质和相关概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择题或概念，只进行一般性考查，题目比较简单，题型多为选择题或填空题；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全填空题；三角形全等及其应用是中考的命题热点，重点考查全等三角形的判定，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见等三角形的判定，命题方式比较广泛，在解答题目中更为常见.灿若寒星1.(20121.(2012恩施中考恩施中考)如图，如图，ABCDABCD，直线，直线EFEF交交ABAB于点于点E E，交，交
16、CDCD于点于点F F，EGEG平分平分BEFBEF，交，交CDCD于点于点G G，1=501=50，则，则2 2等于等于()(A)50(A)50(B)60(B)60(C)65(C)65(D)90(D)90灿若寒星【解析解析】选选C.C.方法一：因为方法一：因为ABCDABCD，所以，所以FEB+1=180FEB+1=180，2=GEB(2=GEB(两直线平行，同旁内角互补，内错角相等两直线平行，同旁内角互补，内错角相等).).因为因为1=501=50，所以，所以FEB=180FEB=180-50-50=130=130.因为因为EGEG平分平分FEBFEB，所以所以GEB=GEB=130130
17、=65=65，所以，所以2=652=65.方法二：因为方法二：因为ABCDABCD，所以，所以FEB+1=180FEB+1=180，2=GEB2=GEB(两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补).).因为因为1=501=50，所以所以FEB=180FEB=180-50-50=130=130.因为因为EGEG平分平分FEBFEB，所以所以GEF=GEF=130130=65=65，所以所以2=1802=180-50-50-65-65=65=651212灿若寒星2.(20122.(2012河源中考河源中考)如图，在折纸活动中，小明制作了一张如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABCABC纸片
18、，点纸片，点D D，E E分别在边分别在边ABAB，ACAC上，将上，将ABCABC沿着沿着DEDE折叠压折叠压平，平，A A与与AA重合，若重合，若A=75A=75，则，则1+2=(1+2=()(A)150(A)150(B)210(B)210(C)105(C)105(D)75(D)75灿若寒星【解析解析】选选A.A.由折叠知由折叠知A=A=75A=A=75，因为因为A+AED+ADEA+AED+ADE=A+AED+ADE=180=A+AED+ADE=180，所以所以A+AED+ADE+A+AED+ADE=360A+AED+ADE+A+AED+ADE=360，因为因为1+AED+AED=2+A
19、DE+ADE=1801+AED+AED=2+ADE+ADE=180，所以所以1+AED+AED+2+ADE+ADE=3601+AED+AED+2+ADE+ADE=360，所以所以1+2=A+A=2A=1501+2=A+A=2A=150，故选，故选A.A.灿若寒星3.(20123.(2012聊城中考聊城中考)将一副三角板按如图所示摆放，图中将一副三角板按如图所示摆放，图中a a的度数是的度数是()(A)75(A)75(B)90(B)90(C)105(C)105(D)120(D)120【解析解析】选选C.aC.a的度数为的度数为180180-45-45-30-30=105=105.灿若寒星4.(2
20、0124.(2012云南中考云南中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，B=67B=67，C=33C=33，ADAD是是ABCABC的角的角平分线，则平分线，则CADCAD的度数为的度数为()(A)40(A)40(B)45(B)45(C)50(C)50(D)55(D)55【解析解析】选选A.A.因为因为B=67B=67，C=33C=33，所以所以BAC=80BAC=80，因为因为ADAD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，所以所以CAD=BAC=40CAD=BAC=40.12灿若寒星5.(20125.(2012泰州中考泰州中考)如图，在如图，在ABCABC中，中，C=90C=90，BAC
21、BAC的平分线交的平分线交BCBC于点于点D D，若若CD=4CD=4，则点，则点D D到到ABAB的距离是的距离是_【解析解析】过点过点D D作作DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，因为，因为C=90C=90，所以，所以ACD=AEDACD=AED，又，又ADAD平分平分BACBAC，所以，所以CAD=EADCAD=EAD，又，又AD=ADAD=AD，所以所以ACDACDAED(AAS)AED(AAS)，所以，所以DE=CD=4DE=CD=4，即点，即点D D到到ABAB的距离为的距离为4.4.答案：答案：4 4灿若寒星6.(20126.(2012眉山中考眉山中考)在在ABCABC中，中
22、，AB=5AB=5，AC=3AC=3，ADAD是是BCBC边上的边上的中线，则中线，则ADAD的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】如图，延长如图，延长ADAD至点至点E E，使，使DE=ADDE=AD，连接连接CE.CE.因为因为ADAD是是BCBC边上的中线，所以边上的中线，所以BD=CD.BD=CD.在在ABDABD和和ECDECD中，中，BDCDADBEDCADED，灿若寒星所以所以ABDABDECD(SAS)ECD(SAS)，所以所以EC=AB=5EC=AB=5，在在ACEACE中，中，EC-ACAEAC+ECEC-ACAEAC+EC，即即5-32AD3+55-32AD3+5，
23、所以所以1AD4.1AD4.答案：答案：1AD41AD4灿若寒星7.(20127.(2012广州中考广州中考)如图，点如图，点D D在在ABAB上，上，点点E E在在ACAC上，上，AB=ACAB=AC，B=C.B=C.试说明试说明BE=CD.BE=CD.【解析解析】在在ABEABE和和ACDACD中，中，所以所以ABEABEACDACD，所以所以BE=CD.BE=CD.AAABACBC ，灿若寒星8.8.如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，E E为为CDCD的中点，连接的中点，连接AEAE，BEBE，BEAEBEAE，延长延长AEAE交交BCBC的延长线于点
24、的延长线于点F.F.试说明：试说明：(1)FC=AD.(1)FC=AD.(2)AB=BC+AD.(2)AB=BC+AD.灿若寒星【解析解析】(1)(1)因为因为E E是是CDCD的中点，的中点，所以所以DE=CE.DE=CE.因为因为ADBCADBC，所以所以ADE=FCEADE=FCE，DAE=CFE.DAE=CFE.所以所以ADEADEFCE(AAS).FCE(AAS).所以所以FC=AD.FC=AD.(2)(2)因为因为ADEADEFCEFCE，所以，所以AE=FE.AE=FE.又因为又因为BEAEBEAE，所以所以BEA=BEF=90BEA=BEF=90，又因为又因为BE=BEBE=B
25、E，灿若寒星所以所以BEABEABEF(SAS).BEF(SAS).所以所以AB=FB.AB=FB.因为因为FB=BC+FC=BC+AD.FB=BC+FC=BC+AD.所以所以AB=BC+AD.AB=BC+AD.灿若寒星9.(20129.(2012漳州中考漳州中考)在数学课上，林老师在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形在黑板上画出如图所示的图形(其中其中B B，F F，C C，E E在同一直线上在同一直线上)，并写出四个条件：，并写出四个条件：AB=DEAB=DE，BF=ECBF=EC，B=EB=E，1=2.1=2.请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论组成请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论组成一个正确的题目，并给出理由一个正确的题目，并给出理由.题设：题设：_；结论：；结论：_.(_.(均填写序号均填写序号)理由：理由：灿若寒星【解析解析】答案不惟一，如答案不惟一，如理由：因为理由：因为1=21=2，B=EB=E，AB=DEAB=DE，所以所以ABCABCDEFDEF，所以所以BC=EF.BC=EF.因为因为BC=BF+CFBC=BF+CF，EF=CE+CFEF=CE+CF，所以所以BF=CE.BF=CE.此题也可以把作条件，作结论；此题也可以把作条件，作结论；或者把作条件，作结论或者把作条件，作结论.灿若寒星灿若寒星
