1、全章热门考点整合应用全章热门考点整合应用第三章 勾股定理12345678答 案 呈 现温馨提示：点击 进入讲评习题链接910111213答 案 呈 现温馨提示：点击 进入讲评习题链接14如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，BC15，AC20，CD是高求：是高求：(1)AB的长的长；1解解：因为：因为在在ABC中，中，ACB90，BC15，AC20，所以所以AB2AC2BC2202152625.所以所以AB25.(2)ABC的面积的面积；(3)CD的长的长张老师在一次张老师在一次“探究性学习探究性学习”课中，设计了如下数表：课中，设计了如下数表：(1)请你分别探究请你分别探究a，b，c与与
2、n之间的关系，并用含之间的关系，并用含n(n1)的式子表示：的式子表示：a_，b_，c_；2n212nn21(2)猜想以猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，为边长的三角形是否为直角三角形，并说明理由并说明理由解：解：是是直角三角形理由如下：直角三角形理由如下：因为因为a2b2(n21)2(2n)2n42n21，c2(n21)2n42n21，所以所以a2b2c2.所以以所以以a，b，c为边长的三角形是直角三角形为边长的三角形是直角三角形如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ACDC，ADC的面积的面积为为30 cm2，DC12 cm，AB3 cm，BC4 cm，求，求ABC的面
3、积的面积34681091215(答案不唯一答案不唯一)如图，长方体的底面相邻两边的长分别为如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和和3 cm，高为高为6 cm，如果用一根细线从点，如果用一根细线从点A开始经过开始经过4个侧面缠个侧面缠绕一圈到达点绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从，那么所用细线最短需要多长？如果从点点A开始经过开始经过4个侧面缠绕个侧面缠绕n圈到达点圈到达点B，那么所用细线，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？最短时，其长度的平方是多少？5【点拨】此类问题一般先画出侧面展开图，此类问题一般先画出侧面展开图，将立体图形转化为平面图形，再构造直角将立体图形转
4、化为平面图形，再构造直角三角形求解三角形求解解：将长方体的侧面展开，连接解：将长方体的侧面展开，连接AB，如图所示，如图所示因为因为AA13138(cm)，AB6 cm，所以所以AB2AA2AB28262102.所以用一根细线从点所以用一根细线从点A开始经过开始经过4个侧面缠绕一圈到达点个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要所用细线最短需要10 cm.易知如果从点易知如果从点A开始经过开始经过4个侧面缠个侧面缠绕绕n圈到达点圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的平方为，那么所用细线最短时，其长度的平方为(64n236)cm2.如图，一牧童在如图，一牧童在A处牧马，牧童的家在处牧马，牧童的家
5、在B处，处，A，B处距河处距河岸的距离分别是岸的距离分别是AC500 m，BD700 m，且，且C，D间的距间的距离为离为500 m天黑前牧童从天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短回家，为了使所走的路程最短(1)牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来6解解：如：如图，作图，作A点关于河岸点关于河岸CD的对称点的对称点A，连接，连接BA，交河岸于交河岸于P，连接，连接PA，则，则PBPAPBPABA最最短，故牧童应将马赶到河边的短，故牧童应将马赶到河边的P点点(2)请你求出他至少要走多少
6、路程请你求出他至少要走多少路程【点拨】利用对称找点法作出点利用对称找点法作出点A关于河岸关于河岸的对称点的对称点A，利用对称点的性质借助勾股，利用对称点的性质借助勾股定理求解定理求解解：解：作作ABBD，交，交BD的延长线于点的延长线于点B，易知，易知BACD，DBCAAC.在在RtBBA中，中，BBBDDBBDAC1 200 m，AB500 m，由勾股定理，得由勾股定理，得BA1 300 m.所以他至少要走所以他至少要走1 300 m.如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，ACBC，P是是ABC内一点，且内一点，且PA3，PB1，PC2.求求BPC的的度数度数7【点拨】解答本题要紧扣两个
7、切入点解答本题要紧扣两个切入点：(1)由于由于BPC是一个钝角，想办法将是一个钝角，想办法将其其分割分割成一个直角与一个特殊角成一个直角与一个特殊角(30，60，45)的和的和的形式；的形式；(2)用旋转法将用旋转法将CPB绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转90到到CPA的位置的位置解：如图，将解：如图，将CPB绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转90得得CPA，则，则PCPC2，PAPB1，BPCAPC，连接，连接PP.因为因为PCP90，所以，所以PP222228.又因为又因为PA1，PA3，所以所以PP2PA2819，PA29.所以所以PP2PA2PA2.所以所以APP90.易知易知CPP45，所
8、以所以BPCAPCAPPCPP9045135.8【2021厦门市第一中学期末】厦门市第一中学期末】如图，在如图，在ABC中，中，AB13，BC10，BC边上的中线边上的中线AD12.求：求：(1)AC的长度的长度；解解：因为：因为AD是是BC边上的中线，边上的中线，BC10，所以所以BDCD5.因为因为52122132，所以所以BD2AD2AB2.所以所以ADB90.所以所以ADC90.所以所以AC2AD2CD2169.所以所以AC13.(2)ABC的面积的面积将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶到地面的高度为高度为320 cm，在无风的天气里，
9、彩旗自然下垂，如，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图图所示求彩旗下垂时最低处离地面的高度所示求彩旗下垂时最低处离地面的高度h(彩旗彩旗完全展开时的尺寸如图完全展开时的尺寸如图所示所示)9解：彩旗下垂时最低处离地面的高度解：彩旗下垂时最低处离地面的高度h也就是旗杆顶到也就是旗杆顶到地面的高度减去彩旗的对角线的长地面的高度减去彩旗的对角线的长因为因为120290222 500，所以彩旗的对角线长为所以彩旗的对角线长为150 cm.所以所以h320150170(cm)即彩旗下垂时最低处离地面的高度即彩旗下垂时最低处离地面的高度h为为170 cm.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海如图，在
10、我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的的A，B两个基地前去拦截，两个基地前去拦截，6 min后同时到达后同时到达C地将地将其拦截已知甲巡逻艇的速度为其拦截已知甲巡逻艇的速度为40 n mile/h，乙巡逻，乙巡逻艇的速度为艇的速度为30 n mile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西，且乙巡逻艇的航向为北偏西37，求甲巡逻艇的航向，求甲巡逻艇的航向10某中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集某中学有两个课外小组的同学同时步行到校外去采集植物标本，第一组的步行速度为植物标本，第一组的步行速度为30 m
11、/min，第二组的，第二组的步行速度为步行速度为40 m/min，半小时后，两组同学同时停下，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学相距来，这时两组同学相距1 500 m.(1)试判断这两组同学行走的方向是否成直角；试判断这两组同学行走的方向是否成直角；11解解：因为：因为半小时后，第一组行走的路程为半小时后，第一组行走的路程为3030900(m)，第二组行走的路程为，第二组行走的路程为40301 200(m)，90021 20021 5002，而此时两组同学相距，而此时两组同学相距1 500 m，所以这两，所以这两组同学行走的方向成直角组同学行走的方向成直角(2)如果接下来这两组同学以原
12、来的速度相向而行，如果接下来这两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？多长时间后能相遇？如图，点如图，点N是是ABC的边的边BC延长线上一点，延长线上一点，ACN2BAC，过点，过点A作作AC的垂线交的垂线交CN于点于点P.(1)若若APC30，试说明：，试说明：ABAP.12解解：因为：因为ACAP，所以，所以CAP90.因为因为APC30，所以，所以ACP60.因为因为ACN2BAC，所以所以BAC30.易得易得ABP30.所以所以ABPAPC.所以所以ABAP.(2)若若AP8，BP16，求，求AC的长的长解：解：因为因为ACP180ACB，BACBACB180，所以，所以ACP
13、BACB.又因为又因为ACN2BAC，所以，所以BACB，所以，所以ACBC.设设ACx，则，则BCx.在在RtACP中，由勾股定理建立方程得中，由勾股定理建立方程得x282(16x)2，解，解得得x6.所以所以AC6.(3)若点若点P在在BC的延长线上运动，的延长线上运动，APB的平分线交的平分线交AB于点于点M.你认为你认为AMP的大小是否发生变化？若变化，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出请说明理由；若不变化，求出AMP的大小的大小【点拨】本题运用本题运用方程思想方程思想，设出合适的未知，设出合适的未知数，在直角三角形中，运用勾股定理找相等关数，在直角三角形中，运用勾
14、股定理找相等关系建立方程，通过解方程求解系建立方程，通过解方程求解如图，已知如图，已知AB13，AD14，CD2，ACB90.求长方形求长方形BCDE的面积的面积13解：因为解：因为AD14，CD2，所以，所以AC12.因为因为AB13，ACB90，所以所以CB2AB2AC225.所以所以CB5.所以长方形所以长方形BCDE的面积为的面积为2510.如图，在如图，在ABC中，中，C90，AB10 cm，BC6 cm，若动点，若动点P从点从点C开始，按开始，按CABC的路径运动，的路径运动，且速度为且速度为1 cm/s，设运动时间为，设运动时间为t s.(1)出发出发2 s后，求后，求ABP的面
15、积的面积14(2)当当t为何值时，为何值时，BP平分平分ABC?解：解：如如图图，若点，若点P在边在边AC上，上，BCCP6 cm，所以点所以点P运动的路程为运动的路程为6 cm.故当故当t6时，时，BCP为等腰三角形为等腰三角形若点若点P在在AB边上时，有三种情况：边上时，有三种情况：如图如图，若，若BPCB6 cm，此时，此时AP4 cm，所以点所以点P运动的路程为运动的路程为12 cm.故当故当t12时，时，BCP为等腰三角形为等腰三角形(3)当当t为何值时，为何值时，BCP为等腰三角形？为等腰三角形？如图如图，若，若CPBC6 cm，过点，过点C作作CEAB于点于点E，根据面积，根据面积法求得法求得CE4.8 cm，根据，根据勾股定理得勾股定理得PEBE3.6 cm.所以所以BP7.2 cm，所以，所以点点P运动的路程为运动的路程为187.210.8(cm)所以当所以当t10.8时，时，BCP为等腰三角形为等腰三角形如如图图，若，若BPCP，则，则PCBPBC.因为因为ACPBCP90，PBCCAP90，所以所以ACPCAP.所以所以PAPC.所以所以PAPB5 cm.所以点所以点P运动的路程为运动的路程为13 cm.所以当所以当t13时，时，BCP为等腰三角形为等腰三角形综上所述，当综上所述，当t6或或10.8或或12或或13时，时，BCP为等腰三角形为等腰三角形
