1、13等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰三角形的判定等腰三角形的判定等边三角形的性质等边三角形的性质等边三角形的判定等边三角形的判定含含30角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质（1）有 相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的两个底角 .（3）等腰三角形底边上的 、底边上的 、顶角的 三线合一.（4）等腰三角形是 图形，其对称轴是 .（5）“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 ”.2、等边三角形的性质及判定、等边三角形的性质及判定（1）等边三角形的每个内角都等于 .（2）如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 .（3）
2、有一个角是60的等腰三角形是 三角形.3 3、含、含30角的直角三角形的性质：角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的 .例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABCABC和和ACBACB的平分线交于点的平分线交于点O,O,过点过点O O作作EFBC,EFBC,交交ABAB于于E,E,交交ACAC于于F,AB=9,AC=8F,AB=9,AC=8 (1)(1)求证：求证：EF=BE+CFEF=BE+CF (2)(2)求求AEFAEF的周长。的周长。ABCEFO346125(1)(1)证明：证明：OBOB为为ABCABC的平分线的平分线(已
3、知已知)1=2(1=2(角平分线的性质角平分线的性质)EFBCEFBC（已知）（已知）2=5(2=5(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)1=5(1=5(等量代换等量代换)BE=EO(BE=EO(等角对等边等角对等边)同理同理:FO=FC:FO=FCABCEFO346125EF=BE+FCEF=BE+FCABCEFO123456(2)C(2)CAEFAEF=AE+AF+EF=AE+AF+EFEF=EO+FOEF=EO+FOOE=BE(OE=BE(已证已证)CCAEFAEF=AE+AF+EO+FO=AE+AF+EO+FOOF=FC(OF=FC(已证已证)C CAEFAEF=AEAE+AF
4、AF+EBEB+FCFC AB=AB=AEAE+BEBE AC=AF+FC AC=AF+FC C CAEFAEF=AB+AC=AB+ACAB=9,AC=8(AB=9,AC=8(已知已知)CCAEFAEF=9+8=17=9+8=17例例2.2.如图所示如图所示,在在RtRtABC ABC 中，中，C=C=9090,BAD=BAD=BACBAC,过点过点D D 作作DEDEABAB,DE DE 恰好是恰好是ADB ADB 的平分线的平分线,求证求证CD=DB.CD=DB.1212分析：由条件先证分析：由条件先证BED BED AEDAED,得得B=B=CAD=CAD=DABDAB,再根据直角三角形
5、的再根据直角三角形的性质性质,两锐角的和为两锐角的和为9090,求得求得CAD CAD=3030,即可得证即可得证.DEDEABAB,AED=AED=BED=BED=9090,DEDE是是ADBADB的平分线的平分线,3 3=4,4,证明证明:如图所示如图所示,又又DE=DEDE=DE,BEDBEDAEDAED(ASA),(ASA),AD=BDAD=BD,2 2=B B,BAD=BAD=2 2=BACBAC,1 1=2 2=B B,12AD=BD,1+2+B=90,B=1=2=30,在直角三角形在直角三角形ACD中中,1=30,CD=AD=BD.12121.1.已知：等腰三角形的一个内角为已知
6、：等腰三角形的一个内角为140140，那么，那么另外两个角的度数为：另外两个角的度数为：2.2.等腰三角形有一个内角是等腰三角形有一个内角是7070，那么它的顶角为：，那么它的顶角为：20、2070或或403 3如图如图，在在ABC中中，B30，ED垂直平分垂直平分BC，ED3，则则CE的长为的长为_6 4如图如图，ABC是等边三角形是等边三角形，ADBC，CDAD，若若AD2 cm，则则ABC的周长为的周长为_12 cm w5 5、求证、求证:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.证明证明:AB=AC(:AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等
7、角等边对等角).).又又1=ABC,2=1=ABC,2=ACB(ACB(已知已知),),1=2(1=2(等式性质等式性质).).在在BDCBDC与与CEBCEB中中DCB=EBCDCB=EBC（已知）（已知）,BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）,1=21=2（已证）（已证）,BDCBDCCEBCEB（ASAASA）.BD=CE(BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BD,CE,AB=AC,BD,CE是是ABCABC角平分线角平分线.求证求证:BD=CE.:BD=CE.ACBD1E22121w变式一：求证变式一：求证
8、:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又CM=AC,BN=CM=AC,BN=AB(AB(已知已知),),CM=BN(CM=BN(等式性质等式性质).).在在BMCBMC与与CNBCNB中中 BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）,MCB=NBC MCB=NBC（已知）（已知）,CM=BNCM=BN（已证）（已证）,BMCBMCCNBCNB（SASSAS）.BM=CN(BM=CN(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)已知已知:如图如图,在在ABCABC中
9、中,AB=AC,BM,CN,AB=AC,BM,CN是是ABCABC两腰上的中线两腰上的中线.求证求证:BM=CN.:BM=CN.2121ACBMN变式二、变式二、求证求证:等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.证明证明:AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等边对等角等边对等角).).又又 BP,CQ BP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高(已知已知),),BPC=CQB=90 BPC=CQB=900 0(高的意义高的意义).).在在BPCBPC与与CQBCQB中中 BPC=CQBBPC=CQB（已证）（已证）,PCB=QBCPCB=QBC
10、（已证）（已证）,BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）,BPCBPCCQBCQB（AASAAS）.BP=CQ(BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)ACBQACB已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,AB=AC,BP,CQ,AB=AC,BP,CQ是是ABCABC两腰上的高两腰上的高.求证求证:BP=CQ.:BP=CQ.P思路点拨：思路点拨：ABCABC为等边三角形，为等边三角形，BACBAC6060，易证，易证ABEABECADCAD，ABEABEDACDAC，又，又BPQBPQABEABEBAPBAP，BPQBPQDACDACBAPBAPBACBAC6060，BPBP2PQ2PQ6 6，BEBEBPBPPEPE7 7，ADADBEBE7 7拓展提高拓展提高布置作业布置作业 1.必做题：教材必做题：教材第第81页练习页练习.2.2.选做题：教材选做题：教材第第8383页习题页习题13.313.3第第1515题题.
