1、全等三角形小结与复习能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边，要点梳理要点梳理一、全等三角形的性质BCE其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点.AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边.A和 ，B和 ，C和 是对应角.A点D点E点FDEEFDFDEFABC E 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.如图：ABCDEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF （），A=D，B=E，C=F （）.全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等 应用格式：用符号语言表达为：在
2、ABC与DEF中ABCDEF.（SAS）1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).CBAAC=DF，C=F，BC=EF，二、三角形全等的判定方法A=D，（已知）AB=DE，（已知）B=E，（已知）在ABC和DEF中，ABCDEF.（ASA）2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.用符号语言表达为：CBA 3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.ABDE在ABC和 DEF中，ABC DEF.（SSS）AB=DE，BC=EF，CA=FD，用符号语言表达为：4.有两角和其中一个角的对边对应
3、相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.ACDF注意：对应相等.“HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:在Rt ABC 和Rt DEF中，AB=DE，AC=DF，RtABCRtDEF(HL)角的平分线的性质PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E 角的平分线的判定三、角平分线的性质与判定考点一 全等三角形的性质考点讲练考点讲练例1 如图，已知ACEDBFCE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2（1）求AC的长度；（2）试说明CE
4、BF解：（1）ACEDBF，AC=BD，则AB=DC，BC=2，2AB+2=8，AB=3，AC=3+2=5；（2）ACEDBF，ECA=FBD，CEBF 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结1.如图所示，ABDACD，BAC=90（1）求B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由针对训练解：（1）ABDACD，B=C，又BAC=90，B=C=45；（2）ADBC理由：ABDACD，BDA=CDA，BDA+CDA=180，BDA=
5、CDA=90，ADBC例2 已知，ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCBABCDCB(已知），BCCB（公共边），ACBDBC（已知），证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（ASA）.BA【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定 考点二 全等三角形的判定2.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B.A=D,B=E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,A=D D.AB=DE,BC=EF,C=FD针对训练3.如图所示，AB与CD相交于点O,A=B，OA=OB 添加条件 ，所以 AOCBOD 理由
6、是 .AODCBC=D 或AOC=BODAAS 或ASA考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用例3 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DEC=FEC.BE【分析】欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DEC=DCE只需要证明DEG DCG.BE证明：CEAD,AGE=AGC=90.在AGE和AGC中，AGE=AGC，AG=AG，EAG=CAG，AGE AGC(ASA)，GE=GC.AD平分BAC,EAG=CAG，.BE在DGE和DGC中，EG=CG，EGD=CGD=90，DG=DG.DGE DGC(SAS).DEG=DCG.EF/
7、BC,FEC=ECD，DEG=FEC.利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结4.如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？CBA解：BAO=CAO，理由：OBAB,OCAC，B=C=90.在RtABO和RtACO中，OB=OC，AO=AO，RtABORtACO ，（HL）BAO=CAO.针对训练考点四 利用全等三角形解决实际问题例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固
8、定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？B【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，ADBC.B解：相等，理由如下：ADBC，ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，AD=AD，AB=AC，RtADB RtADC(HL).BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明途径；（4）书写证明过程.方法总结针对训练5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得你能用已学过的知识
9、或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，ACB=ECD，CB=CD，ABC=EDC，EDCABC（ASA）DE=BA答：测出DE的长就是A、B之间的距离C考点五 角平分线的性质与判定例5 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+BAP=180，求证:PA=PC.【分析】由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.BA)12【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,
10、垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PCB+BAP=180,又BAP+EAP=180.EAP=PCB.在APE和CPF中，PEA=PFC=90，EAP=FCP，PE=PF，APE CPF(AAS)，AP=CP.BA)12EF【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.证明过程请同学们自行完成！【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另
11、一种是构造轴对称图形.A)1B6.如图,1=2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:PCB+BAP=180.BA)12E【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PA=PC，PE=PF，在RtAPE和RtCPF中，RtPAE RtPCF(HL).针对训练 EAP=FCP.BAP+EAP=180，PCB+BAP=180.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？BA)12EF全等三角形性质 基 本 性 质 和 其 他 重 要 性 质判定判定方法基本思路作用是证明两条线段相等和角相等的常用方法寻找现有条件（包括图中隐含条件）选定判定方法证明准备条件角 的 平 分 线的 性 质 定 理角 的 平 分 线的 判 定 定 理证 明 两 条 线 段 相 等证明角相等辅助线添加方法课堂小结课堂小结
