1、第一章 数与式 第1课 实数及其运算实数实数无理数无理数无限不循环小数无限不循环小数整数整数分数分数负整数负整数自然数自然数有限小数或无限循环小数有限小数或无限循环小数1.实数的分类实数的分类 按实数的定义分类：按实数的定义分类：要点梳理要点梳理正无理数正无理数 负无理数负无理数 有理数有理数 正整数正整数 零零 正分数正分数 负分数负分数 根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数根据需要，我们也可以按符号进行分类，如：实数 2实数的有关概念实数的有关概念 (1)数轴：规定了数轴：规定了 ，和和 的直线的直线 叫做数轴数轴上所有的点与全体实数一一对应叫做数轴数轴上所有的点与全体实数一一对应
2、 (2)相反数：只有相反数：只有_不同，而不同，而_相同的两个数称相同的两个数称 为互为相反数若为互为相反数若a、b互为相反数，则互为相反数，则ab_.(3)倒数：倒数：1除以一个不等于零的实数所得的除以一个不等于零的实数所得的_，叫做，叫做 这个数的倒数若这个数的倒数若a、b互为倒数，则互为倒数，则ab_.原点原点 正方向正方向 单位长度单位长度 符号符号 绝对值绝对值0 商商 1 正实数正实数负实数负实数零零(4)绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的绝对值：在数轴上，一个数对应的点离开原点的 叫做这个数叫做这个数的绝对值的绝对值距离距离 a 0 a|a|是一个非负数，即是一个非负数，
3、即|a|_.0|a|(a0)(a=0)(a0)(5)科学记数法，近似数，有效数字：科学记数法，近似数，有效数字：科学记数法就是把一个数表示成科学记数法就是把一个数表示成 的的形式；形式；一个近似数，一个近似数，到哪一位，就说这个数精确到哪一位，到哪一位，就说这个数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的这时，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字数字都叫做这个近似数的有效数字(6)平方根，算术平方根，立方根：平方根，算术平方根，立方根：如果如果x2a，那么，那么x叫做叫做a的平方根，记作的平方根，记作_；正数正数a的正的平方根
4、，叫做这个数的算术平方根；的正的平方根，叫做这个数的算术平方根；如果如果x3a，那么，那么x叫做叫做a的立方根，记作的立方根，记作_a10n(1a10,n是整数是整数)四舍五入四舍五入 3.零指数幂，负整数指数幂：零指数幂，负整数指数幂：任何非零数的零次幂都等于任何非零数的零次幂都等于1，即，即 ；任何不等于零的数的任何不等于零的数的p次幂，等于这个数次幂，等于这个数p次幂的倒数，次幂的倒数，即即 4.实数的大小比较：实数的大小比较：_大于零，大于零，_小于零，小于零，_大于一切负数；大于一切负数；在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的数总比_的的
5、点所表示的数点所表示的数_ 差值法比较：差值法比较：ab0ab ab0ab ab0ab a01(a0)ap (a0，p为正整数为正整数)正数正数 负数负数 正数正数 左边左边 大大 5.实数的运算：实数的运算：实数的运算顺序是先算实数的运算顺序是先算 ，再算，再算 ，最后算，最后算 _如果有括号，先算如果有括号，先算_，再算，再算_，最后算，最后算 _同级运算应同级运算应 .乘方和开方乘方和开方 乘除乘除 加减加减 小括号小括号 中括号中括号 大括号大括号 从左到右从左到右,按顺序进行按顺序进行 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 1正确理解实数相关的概念正确理解实数相关的概念在实数范围内，由
6、于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种判在实数范围内，由于对数学概念的理解不清楚，导致出现各种判断和列式错误这些概念包括：正数、负数、有理数、无理数、断和列式错误这些概念包括：正数、负数、有理数、无理数、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝对值、实数、相反数、倒数、平方根、算术平方根、立方根、绝对值、数轴、零指数、负整数指数等数轴、零指数、负整数指数等2注意基本技能的掌握及正确的运算注意基本技能的掌握及正确的运算在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列变在实数范围内，由于对基本技能掌握不熟练，导致出现一系列变形和计算错误这些技能包括：分数的通分与约分、运算的灵活形和
7、计算错误这些技能包括：分数的通分与约分、运算的灵活应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用科学记应用、实数的运算、实数的大小比较、近似数的表示、用科学记数法表示数等数法表示数等3利用数形结合的数学思想直观地解决问题利用数形结合的数学思想直观地解决问题 数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的数轴数本身是无形的、抽象的，而点、线等图形却是直观的数轴正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，正是在有形的直线上按由小到大的顺序把无形的数表示出来，把把“数数”与与“形形”有机地结合起来，从而便于学习和研究有机地结合起来，从而便于学习和研究4运用分类讨论思想，全面解答问题运
8、用分类讨论思想，全面解答问题 在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把在学习相反数、绝对值和有理数乘方运算的符号法则时，应把实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的实数分成正实数、零、负实数三类分别研究，运用分类讨论的思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全思想，在一些看上去较复杂的计算题中，可通过分类讨论，全面地把代数式的值一一求出来，如：面地把代数式的值一一求出来，如：已知已知abc0，且，且M ，根据，根据a、b、c的不同的不同取值，取值，M有有 ()A唯一确定的值唯一确定的值B三种不同的值三种不同的值 C四种不同的值四种不同的值D八种不同的值八
9、种不同的值B基础自测基础自测1(2011金华金华)有四包真空小包装火腿，每包以标准克数有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克克)为为基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据基准，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是 ()A2 B3 C3 D4 解析：四个选项中解析：四个选项中2的绝对值最小，故最接近标准的绝对值最小，故最接近标准A2(2011衢州衢州)数数2的相反数为的相反数为 ()A2 B.C2 D 解析：一个数的相反数就是在这个数前面加解析：一个数的相反数就是在这个
10、数前面加“”号号A3(2011宁波宁波)下列各数中，是正整数的是下列各数中，是正整数的是 ()A1 B.2 C0.5 D.解析：选项中只有解析：选项中只有2既是正数，又是整数既是正数，又是整数4(2011陕西陕西)我国第六次人口普查显示，全国人口为我国第六次人口普查显示，全国人口为1370536875 人，将这个总人口数人，将这个总人口数(保留三个有效数字保留三个有效数字)用科学计数法表示为用科学计数法表示为 ()A1.37109 B1.37107 C1.37108 D1.371010 解析：解析：13705368751.3705368751091.37109.BA题型分类题型分类 深度剖析深
11、度剖析题型一题型一 实数的分类实数的分类【例例 1】(1)在在0,1,2,3.5这四个数中，是负整数的是这四个数中，是负整数的是 ()A0 B1 C2 D3.5 解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有解析：负整数既是负数，又是整数，这里只有2符合符合 (2)在实数在实数0,1,0.1235中，无理数的个数为中，无理数的个数为 ()A0个个 B1个个 C2个个 D3个个 解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数解析：无理数是无限不循环小数，开不尽方，是无限不循环小数CB探究提高探究提高 判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成无限不循判断一个数是不是无理数，关键就看它能否写成
12、无限不循环小数初中常见的无理数共分三种类型：环小数初中常见的无理数共分三种类型：(1)含根号且开不尽方的数；含根号且开不尽方的数；(2)化简后含化简后含(圆周率圆周率)的式子；的式子；(3)有规律但不循环的无限小数掌握常见无理数类型有助有规律但不循环的无限小数掌握常见无理数类型有助于识别无理数于识别无理数知能迁移知能迁移1(1)下列五个实数：下列五个实数：，0 ，tan 45，|3|，()1 ，(3)0.其中正数的和为其中正数的和为 ()A4 B5 C6 D7 解析：解析：(3)0tan45()11124，这三个正数的，这三个正数的和等于和等于4，选，选A.(2)下列四个数中，在下列四个数中，
13、在0到到3之间的无理数是之间的无理数是 ()A.B.C D1 解析：解析：0 bc，那么，那么abc_.解析：由解析：由|a|1，|b|2，|c|3，得得a1，b2，c3.又又abc.可以可以a1，b2，c3，所以所以abc1(2)(3)2，或或abc(1)(2)(3)0.2 2或或0 0(2)设设|a|4，|b|2，且，且|ab|(ab)，试求，试求ab所有值所有值的和的和 解：解：|a|4，|b|2，a4，b2，又又|ab|(ab)0，ab0，则，则 的值等于的值等于_ 解析：由解析：由ab0，得，得a0且且b0或或a0且且b0，于是于是 1111 或或 (1)(1)13.1 1或或3 3
14、题型五与数轴联系题型五与数轴联系 【例例 5】(1)(1)如图，若如图，若A是实数是实数a在数轴上对应的点，则关于在数轴上对应的点，则关于 a，a,1的大小关系，表示正确的是的大小关系，表示正确的是 ()Aa1a Baa1 C1aa Daa1 解析：如图，在数轴上找出解析：如图，在数轴上找出a所对应的位置，所对应的位置，易知易知a1a，选，选A.A(2)(2)观察图中的数轴，用字母观察图中的数轴，用字母a，b，c依次表示点依次表示点A、B、C所对应所对应 的数，则的数，则 、的大小关系是的大小关系是 ()A.B.C.D.解析：由所给的数轴表示，可以表示解析：由所给的数轴表示，可以表示1a ，b
15、10 1，ba1，1 3，|a|1,0|b|，0|ab|3，3.选选C.C探究提高探究提高 数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的数形结合借助数轴找到数的位置，或由数找到在数轴上点的位置，及其相反数的位置再根据数轴上右边的数大于左边的数，位置，及其相反数的位置再根据数轴上右边的数大于左边的数，确定各数的大小确定各数的大小知能迁移知能迁移5 5(1)(2011(1)(2011宜昌宜昌)如图，数轴上如图，数轴上A、B两点分别对应实数两点分别对应实数 a、b，则下列结论正确的是，则下列结论正确的是()A.a b Dab 0 解析：因为解析：因为a0，bb.C(2)(2)有理数有理数a、
16、b满足满足a0，且，且|a|b|，试用，试用“”号把号把a、b，a、b连接起来：连接起来：_.解析：据题意，把有理数解析：据题意，把有理数a、b表示在数轴上，并把表示在数轴上，并把a、b也也表示在同一条数轴上，如图，易得表示在同一条数轴上，如图，易得abba.abba易错警示易错警示1实数概念中的常见错误实数概念中的常见错误试题若一个实数的试题若一个实数的(1)(1)倒数；倒数；(2)(2)绝对值；绝对值；(3)(3)平方数；平方数；(4)(4)立方；立方；(5)(5)平方根；平方根；(6)(6)算术平方根；算术平方根；(7)(7)立方根等于它的本身，则这个立方根等于它的本身，则这个 数分别为
17、：数分别为：(1)(1)(2)(2)(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_学生答案展示学生答案展示(1)1(1)1；(2)(2)正数；正数；(3)1(3)1；(4)1(4)1或或1 1；(5)1(5)1；(6)0(6)0；(7)1(7)1和和1.1.剖析实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错剖析实数概念理解往往似是而非或不够全面，出现一些不该有的错误上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误上述给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不适应误的原因是忽略了引进负数对数的范围扩展不
18、适应试题若一个实数的试题若一个实数的(1)(1)倒数；倒数；(2)(2)绝对值；绝对值；(3)(3)平方数；平方数；(4)(4)立方；立方；(5)(5)平方根；平方根；(6)(6)算术平方根；算术平方根；(7)(7)立方根等于它的本身，则这个立方根等于它的本身，则这个 数分别为：数分别为：(1)(1)(2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_(2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_正解正解(1)1(1)1和和1 1；(2)(2)正数和正数和0(0(或非负数或非负数)；(3)1(3)1和和0 0；(4)(4)1 1、0 0和和1 1；(5)0(5)0；(6)0(6)0和和1 1；(
19、7)(7)1 1、0 0和和1.1.批阅笔记本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝批阅笔记本题考查了实数的基本概念，有的同学对所学的倒数、绝对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误对值、平方与平方根等概念没有全面理解，因而造成错误 2.2.有关实数的非负性：有关实数的非负性：;012a;02a).0(03aa若几个非负数的和等于若几个非负数的和等于0,那么这几个非负数都那么这几个非负数都0.例、若例、若,0)34(432ba求求 的值。的值。a b解：由解：由3a+4+(4b-3)2=0得得 3a+4=0 且且(4b-3)3a+4=0 且且 4b-3 a=-4/3，b=3
20、/4ab=(-4/3)(3/4)=-1有理数集合：有理数集合：；课时训练课时训练1、把下列各数填在相应的大括号内：、把下列各数填在相应的大括号内：,1,75,14.3,0,333.3,30tan30,60cos0,6432.1010010001.整数集合：整数集合：；分数集合：分数集合：；无理数集合：无理数集合：。-1，0，36475,3.14,333.3,cos60-1，3.14，0，cos60，75364 333.3,-3,tan30,2.1010010001 2、下列说法中，错误的个数是、下列说法中，错误的个数是 （）无理数都是无限小数；无理数都是开方开不尽的数；无理数都是无限小数；无理
21、数都是开方开不尽的数；带根号的都是无理数；无限小数都是无理数。带根号的都是无理数；无限小数都是无理数。A.1个；个；B.2个；个；C.3个；个；D.4个。个。3、数轴上的点与（、数轴上的点与（）一一对应。）一一对应。A.整数；整数；B.有理数；有理数；C.无理数；无理数；D.实数。实数。4、下列运算正确的是、下列运算正确的是 （）5151 A.B.2)2(C.D.932 81)21(3 CDA思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧方法与技巧 1 1重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点重视实数概念的学习，理解实数与数轴上的点是一一对应的是一一对应的 2 2注意实数乘方概念的理解，防止概
22、念之间的混注意实数乘方概念的理解，防止概念之间的混淆淆 3 3可借助数轴，可借助数轴，“数形结合数形结合”，找到数与点的关系，找到数与点的关系，根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小根据对称性质找出互为相反数的位置，再比较大小失误与防范失误与防范 引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数引进负数，使数的概念得以扩展，实现了算术数到有理数的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：的飞跃，许多小学形成的认识被推翻了：1 1“”“”“”除了仍表示运算符号外，还可以看作一除了仍表示运算符号外，还可以看作一个数的性质符号；个数的性质符号；“”还可以用来表示原数的相反数，即在还可以用来表示原数的
23、相反数，即在一个数前面添上一个数前面添上“”号，可得到原数的相反数号，可得到原数的相反数 2 2减法可以转化为加法，在小学里，加法与减法是两回减法可以转化为加法，在小学里，加法与减法是两回事，但引进负数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是事，但引进负数后，减法就不再作为独立的运算而存在，而是把减法转化为加法把减法转化为加法 3 3原来的一些结论不再成立，如原来的一些结论不再成立，如“差一定小于或等于被减数差一定小于或等于被减数”这个结论就是不一定正确了这个结论就是不一定正确了 4 4数数“0”0”被赋予新的含义，具有独特的性质，思考相关问题被赋予新的含义，具有独特的性质，思考相关问题要全面，否则的话，极易落入要全面，否则的话，极易落入“0”0”设置的陷阱设置的陷阱 搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的搞清实数的分类标准，尤其要弄懂无理数的三种常见形式：三种常见形式：；无限不循环小无限不循环小数，如数，如0.1010010001；开方开不尽的开方开不尽的数，如数，如 等。等。绝对值的性质绝对值的性质要注意正确区分数的三种要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数。数。实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，实数的大小比较应重点掌握作差法和作商法，才能更好地有的放矢。才能更好地有的放矢。060;2 tg
