1、考点解读近近5 5年，中考的考题中常出现以相似三角形为背景的四边形年，中考的考题中常出现以相似三角形为背景的四边形,圆及函数的解答问题，题目难度较大，分值为圆及函数的解答问题，题目难度较大，分值为20203030分，常见的分，常见的考题类型为选择题，填空题及解答题，综合性较强考题类型为选择题，填空题及解答题，综合性较强.相似三角形的常见模型课堂精讲例例1.(2018 山东省枣庄市山东省枣庄市)如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90，CDAB，垂足为，垂足为D，AF平分平分CAB，交交CD于点于点E，交，交CB于点于点F若若AC=3，AB=5，则，则CE的的长为（）长为（）A B C D
2、 A课堂精讲【解析】过点【解析】过点F作作FGAB于点于点G，AF平分平分CAB，ACF=AGF=90，CF=GF，CAFCAFGAF GAF CFA=GFA 又又 FG CD CEF=GFA=CFE，CE=CF=GF，B=B，FGB=ACB=90，BFGBAC，BF:AB=FG:AC ，AC=3，AB=5，ACB=90，BC=4，(4-FC):5=FG:3 ，FC=FG，(4-FC):5=FC:3，解得：解得：FC=1.5 ，即，即CE的长为的长为1.5 跟踪练习CC1.(2019年内蒙古赤峰)如图，D、E分别是ABC边AB、AC上的点，ADEACB，若AD2，AB6，AC4，则AE的长是(
3、)A1B2C3D42.如图，在 中，D、E分别在AB边和AC边上，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（）A.B.C.D.ADANANAE=BDMNMNCE=DNNEBMMC=DNNEMCBM=ABC/DEBC跟踪练习3.3.如图，等边如图，等边ABCABC的边长为的边长为3 3，点，点P P为为BCBC上一点，且上一点，且BPBP1 1，点点D D为为ACAC上一点，若上一点，若APDAPD6060，则，则CDCD的长为的长为_._.2/34.4.如图如图1 1，ADAD、BDBD分别是分别是ABCABC的内角的内角BACBAC、ABCABC的平分的平分线，过点线，过
4、点A A作作AEAE ADAD，交，交BDBD的延长线于点的延长线于点E E（1 1）求证：）求证：EECC；（2 2）如图）如图2 2，如果，如果AEAEABAB，且，且BDBD：DEDE2 2：3 3，求，求cosABCcosABC的值；的值；跟踪练习4.4.证明证明(1)(1)AEADAEAD，DAEDAE9090，EE9090ADE.ADE.ADAD平分平分BACBAC，BAD BACBAD BAC，同理，同理ABD ABCABD ABC又又ADEADEBADBADABDABD，BACBACABCABC180180CC，ADE ADE （BACBACBACBAC）（180180CC）=
5、90=90C.C.EECC(2)BE平分平分ABC，ABECBE，AE=AB，ABEE，CBEE.AE BC.AFBFAE90，ADEBDF BF:AE=BD DE2 3cosABCBF:AB=BF:AE=BD DE2 3 12121212相似三角形与四边形课堂精讲例例2.如图如图5，在，在ABC中，中，ACB90，ACBC，点，点D在边在边AB上，连结上，连结CD，将线段，将线段CD绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转90至至CE的的位置，连结位置，连结AE.(1)求证：求证：ABAE；(2)若若BC2ADAB，求证：四边形，求证：四边形ADCE为正方形为正方形证明证明：(1)ACB90，ACBC
6、，BBAC45.线段线段CD绕点绕点C顺时针旋转顺时针旋转90至至CE位置，位置，DCE90，CDCE，ACBACDDCEACD，即即BCDACE，课堂精讲在BCD 和ACE 中，BCAC，BCDACE，CDCE，BCDACE(SAS)，BCAE45，BAEBACCAE454590，ABAE；(2)BC2ADAB，ACBC，AC2ADAB，则ADACACAB.又DACCAB，DACCAB，CDABCA90.又DAE90，DCE90，四边形 ADCE 为矩形 又CDCE，四边形 ADCE 为正方形 跟踪练习1.1.在在 ABCDABCD中，点中，点E E在在BCBC上，上，AEAE、BDBD相交
7、于点相交于点F F，若，若BEBE：ECEC1 1：2 2，则，则BEFBEF与四边形与四边形FECDFECD的面积比等于的面积比等于_1：11解：设解：设BEF的面积为的面积为S四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，ADBC，ADBC，BEFDAF，BE：EC1：2，BE：BCBE：AD1：3，EF：AF1：3，SABF3S，SADF9S，SABDSBCD12S，S四边形四边形EFDC11S，BEF与四边形与四边形FECD的面积比的面积比1：11，【点睛】【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知
8、识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型跟踪练习2.2.如图所示，在正方形如图所示，在正方形ABCDABCD中，中，G G为为CDCD边中点，连接边中点，连接AGAG并延长交并延长交BCBC边的延长线于边的延长线于E E点，对角线点，对角线BDBD交交AGAG于于F F点已知点已知FG=2FG=2，则线段，则线段AEAE的长的长度为（）度为（）A A6 6 B B8 8 C C1010 D D1212解：解：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF，=2，AF=2G
9、F=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG为为EAB的中位线，的中位线，AE=2AG=12D跟踪练习3 3 （20192019山东省东营市）如图，在正方形山东省东营市）如图，在正方形ABCDABCD中，点中，点O O是是对角线对角线ACAC、BDBD的交点，过点的交点，过点O O作射线作射线OMOM、ONON分别交分别交BCBC、CDCD于点于点E E、F F，且，且EOF=90EOF=90，OCOC、EFEF交于点交于点G G给出下列结论：给出下列结论：COECOEDOFDOF；OGEOGEFGCFGC；四边形四边形CEOFCEOF的面积为正方形的面积为正方形ABCDABCD面积的面积的
10、DFDF2 2+BE+BE2 2=OGOC=OGOC其中正确的是（其中正确的是（）A A B B C C D D.41B B跟踪练习解解:正方形正方形ABCDABCD，OC=ODOC=OD，OCE=ODC=90OCE=ODC=90COD=90COD=90 EOF=90EOF=90，DOF=COEDOF=COE，COECOEDOFDOF，正确正确由由COECOEDOFDOF，得，得OE=OFOE=OF，OEF=45OEF=45，OEF=OCFOEF=OCF OGE=CGFOGE=CGF，可得，可得OGEOGEFGCFGC,正确；正确；由由COECOEDOFDOF，得，得COECOE与与DOFDO
11、F面积相等，面积相等，四边形四边形CEOFCEOF的面积的面积=COECOE的面积的面积+COFCOF面面积积=CODCOD的面积的面积=正方正方形形ABCDABCD面积的面积的四分之一四分之一 ，正确；正确；OEG=OCE=45OEG=OCE=45，EOG=COEEOG=COE，OGEOGEOECOEC，OE:OC=OG:OEOE:OC=OG:OE，OEOE2 2=OGOC=OGOC OEOE2 2+OF+OF2 2=EF=EF2 2=CE=CE2 2+CF+CF2 2，又又 OE=OFOE=OF，DF=CEDF=CE，CF=BECF=BE，2OE2OE2 2=DF=DF2 2+BE+BE2
12、 2=2OGOC=2OGOC 错误错误故正确的是故正确的是4 4.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AEAEBDBD于点于点E E，点，点P P是边是边ADAD上一点上一点（1 1）若）若BPBP平分平分ABDABD，交，交AEAE于点于点G G，PFPFBDBD于点于点F F，如图，如图，证，证明四边形明四边形AGFPAGFP是菱形；是菱形；（2 2）若）若PEPEECEC，如图，如图，求证：，求证：AEAEABABDEDEAPAP；跟踪练习跟踪练习（1 1）证明：如图）证明：如图中，中，四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，BADBAD9090，AEAEBDBD，AEDAED909
13、0，BAEBAE+EADEAD9090，EADEAD+ADEADE9090，BAEBAEADEADE，AGPAGPBAGBAG+ABGABG，APDAPDADEADE+PBDPBD，ABGABGPBDPBD，AGPAGPAPGAPG，APAPAGAG，PAPAABAB，PFPFBDBD，BPBP平分平分ABDABD，PAPAPFPF，PFPFAGAG，AEAEBDBD，PFPFBDBD，PFPFAGAG，四边形四边形AGFPAGFP是平行四边形，是平行四边形，PAPAPFPF，四边形四边形AGFPAGFP是菱形是菱形（2 2）证明：如图）证明：如图中，中，AEAEBDBD，PEPEECEC，A
14、EDAEDPECPEC9090，AEPAEPDECDEC，EADEAD+ADEADE9090，ADEADE+CDECDE9090，EAPEAPEDCEDC，AEPAEPDECDEC，AE AE：DE DE AP AP：DC DC ，ABABCDCD，AEAEABABDEDEAPAP；相似三角形与圆课堂精讲例例3.如图，如图，ABC内接于内接于 O，AD是是ABC的边的边BC上的高，上的高，AE是是 O的直径，连接的直径，连接BE，ABE与与ADC相似吗？相似吗？请证明你的结论请证明你的结论证明：证明：ABEADCAE是是 O的直径，的直径，ABE=90AD BC，ADC=90ABE=ADC又又
15、AEB=ACDABEADC跟踪练习1.如图，已知点如图，已知点 P是是 外一点，直线外一点，直线 PA与与 相切于点相切于点 B，直线，直线PO 分分别交别交 于点于点 C、D，A=D，OA 交交 BD于点于点 E（1）求证：）求证：OABC ；（2）当）当 的半径为的半径为10，时，求时，求 AE 的长的长OOO8BC O证明证明（1）如图，连接）如图，连接OB，直线直线PA与与 相切于点相切于点B，OBPA，A+BOA=90CD是是 的直径的直径CBD=90，D+BCD=90又又A=DBOA=BCDOB=OCBCD=CBOCBO=BOAOABC（2）半径为半径为10，BC=8，BD=由（由
16、（1）可知）可知CBD=90，OABCOEBDE 是是BD 的中点，的中点，BE=BD=OE=4AEO=BEO，A=OBE ，ABEBOE，AE：BE=BE：OE AE=212222CDBC=208=4 21122 21【点睛】本题考查圆【点睛】本题考查圆 综合问题，熟练掌握切线的性质与相似三角形的判综合问题，熟练掌握切线的性质与相似三角形的判定与性质是解题的关键定与性质是解题的关键相似三角形与一次函数及反比例函数课堂精讲例例4 4如图，已知点如图，已知点A A、B B分别在反比例函数分别在反比例函数y y （x x0 0），），y y （k k0 0，x x0 0）的图象上点）的图象上点B
17、B的横坐标为的横坐标为4 4，且点且点B B在直线在直线y yx x5 5上上（1 1）求）求k k的值；的值；（2 2）若）若OAOAOBOB，求，求tantanABOABO的值的值课堂精讲【解答】解：（【解答】解：（1）点点B的横坐标为的横坐标为4，且点，且点B在直线在直线yx5上上点点B的纵坐标为的纵坐标为y451，B（4，1），），B在反比例函数在反比例函数y （k0，x0）的图象上）的图象上k4（1）4；（2）过）过A作作ACy轴，过轴，过B作作BDy轴，可得轴，可得ACOBDO90，AOC+OAC90，OAOB，AOC+BOD90，OACBOD，AOCOBD，点点A、B分别在反比例
18、函数分别在反比例函数y （x0），），y （x0）的图象上，）的图象上，SAOC ，SOBD2，SAOC：SOBD1：4，（）2 ，则在，则在RtAOB中，中，tanB 跟踪练习1.1.直线直线y ykxkx+b b与反比例函数与反比例函数 （x x0 0）的图象分别交）的图象分别交于点于点A A（m m，4 4）和点）和点B B（8 8，n n），与坐标轴分别交于点），与坐标轴分别交于点C C和和点点D D（1 1）求直线）求直线ABAB的解析式；的解析式；（2 2）观察图象，当）观察图象，当x x0 0时，直接写出时，直接写出 的解集；的解集；（3 3）若点）若点P P是是x x轴上一动点
19、，当轴上一动点，当CODCOD与与ADPADP相似时，相似时，求点求点P P的坐标的坐标跟踪练习解：（解：（1 1）点点A A（m m，4 4）和点）和点B B（8 8，n n）在）在y y 图象上，图象上，m m 2 2，n n 1 1，即，即A A（2 2，4 4），），B B（8 8，1 1）把把A A（2 2，4 4），），B B（8 8，1 1）两点代入）两点代入y ykxkx+b b中得中得 得：得：，所以直线所以直线ABAB的解析式为：的解析式为：y y x x+5+5；（2 2）由图象可得，当）由图象可得，当x x0 0时，时，kxkx+b b 的解集为的解集为2 2x x8
20、8 跟踪练习（3 3）由（）由（1 1）得直线）得直线ABAB的解析式为的解析式为y y x x+5+5，当当x x0 0时，时，y y5 5，C C（0 0，5 5），），OCOC5 5，当当y y0 0时，时，x x1010，D D点坐标为（点坐标为（1010，0 0）ODOD1010，CDCD 5 5 A A（2 2，4 4），），ADAD 4 4 设设P P点坐标为（点坐标为（a a，0 0），由题可），由题可得得，点，点P P在点在点D D左侧，则左侧，则PDPD1010a a由由CDOCDOADPADP可得可得当当CODCODAPDAPD时，时，解得解得a a2 2，即即点点P P
21、坐标为（坐标为（2 2，0 0）当当CODCODPADPAD时，时，解得解得a a0 0，即点即点P P的坐标为（的坐标为（0 0，0 0）因此，点因此，点P P的坐标为（的坐标为（2 2，0 0）或（）或（0 0，0 0）时，）时，CODCOD与与ADPADP相似相似相似三角形与二次函数课堂精讲例例5.如图如图1，抛物线，抛物线yax2+bx+c 与与 X轴交于点轴交于点 A（-1，0），点），点 B（3，0），与），与 y 轴交于点轴交于点 C，且，且 过点过点 D（2，-3）点）点 Q 是抛是抛物线物线yax2+bx+c 上的动点上的动点（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）
22、如图）如图 2，直线，直线 OQ 与线段与线段 BC 相交于点相交于点 E，当，当OBE 与与ABC 相似时，求点相似时，求点 Q 的坐标的坐标课堂精讲解：（解：（1 1）函数的表达式为：）函数的表达式为：y ya a（x x+1+1）（）（x x3 3），将点），将点D D坐标代入上式并解得：坐标代入上式并解得：a a1 1，故抛物线的表达式为：故抛物线的表达式为：y yx x2 22 2x x3 3（2 2）OBOBOCOC3 3，OCBOCBOBCOBC4545，ABCABCOBEOBE，故，故OBEOBE与与ABCABC相似时，分为两种情况：相似时，分为两种情况：当当ACBACBBOQ
23、BOQ时，时，ABAB4 4，BCBC3 3 ，ACAC ，过点过点A A作作AHAHBCBC于点于点H H，S SABCABC AHAHBCBC ABABOCOC，解得：，解得：AHAH2 2 ，CH=CH=则则tantanACBACB2=tan2=tanBOQBOQ，则直线则直线OQOQ的表达式为：的表达式为：y y2 2x x，联立并解得：，联立并解得：x x ，故点故点Q Q1 1（,2 2 ），），Q Q2 2（，2 2 ），），BACBACBOQBOQ时，时，tantanBACBAC 3 3tantanBOQBOQ，则直线则直线OQOQ的表达式为：的表达式为：y y3 3x x，联
24、立并解得：联立并解得：x x ，故点，故点Q Q3 3（，），），Q Q4 4（，）；）；综上，当综上，当OBEOBE与与ABCABC相似时，相似时，Q Q的坐标为：（的坐标为：（，2 2 ）或（）或（，2 2 ）或）或（，）或（）或（，）跟踪练习如图如图 1 1，在平面直角坐标系中，直线，在平面直角坐标系中，直线 y y=x x-1-1 与抛物线与抛物线 y-x2+bx+c 交于交于 A A、B B 两点，其中两点，其中 A A（m m，0 0）、）、B B（4 4，n n），该抛物线与），该抛物线与 y y 轴交轴交于点于点 C C，与，与 x x 轴交于另一点轴交于另一点 D D （1
25、1）求）求 m m、n n 的值及该抛物线的解析式；的值及该抛物线的解析式；（2 2）如图）如图 2 2，连接，连接 BDBD、CDCD，在线段，在线段 CD CD 上是否存在点上是否存在点 Q Q，使得以，使得以 A A、D D、Q Q 为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABD ABD 相似，若存在，请直接写出点相似，若存在，请直接写出点 Q Q 的坐标；的坐标；若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由 跟踪练习DEADE绕点A旋转ABCDE点E移到与C点重合ACB=RtCDABABCDA字型字型ABC斜截型斜截型ACBD公共边角公共边角(直角）直角）型型ABCDEABCDE双垂直型双垂直型X
26、型型三垂直型三垂直型连结连结CD，BE，ABE 与与ACD相似吗？相似吗？蝴蝶型蝴蝶型反思小结当堂检测1（2019山东中考模拟）如图，平行于山东中考模拟）如图，平行于BC的直线的直线DE把把ABC分成面积相分成面积相等的两部分，则等的两部分，则 的值为（）的值为（）A1 B C -1 D +12（2019河南中考模拟）如图，在河南中考模拟）如图，在 ABCD中，中，AC与与BD相交于点相交于点O，E为为OD的中点，连接的中点，连接AE并延长交并延长交DC于点于点F，则，则SDEF：SAOB的值为（）的值为（）A1：3B1：5C1：6D1：113（2018辽宁中考模拟）如图，已知点辽宁中考模拟）
27、如图，已知点A，B分别是反比例函数分别是反比例函数y=（x0），），y=（x0）的图象上的点，且）的图象上的点，且AOB=90，tanBAO=，则，则k的值为（）的值为（）A2 B2C4 D4 CCD4.如图所示如图所示,O是等腰三角形是等腰三角形ABC的外接圆的外接圆,AB=AC,延长延长BC至点至点D,使使CD=AC,连接连接AD交交 O于点于点E,连接连接BE、CE,BE交交AC于点于点F.（1）求证：）求证：CE=AE (2)若若AE=6，DE=9，求，求EF的长的长.当堂检测解：（解：（1 1）证明：）证明：四边形四边形ABCEABCE为圆为圆O O的内接四边形，的内接四边形，ABC
28、ABC=CEDCED，DCEDCE=BAEBAE，又又ABAB=ACAC，ABCABC=ACBACB，CEDCED=ACBACB，又，又AEBAEB和和ACBACB都为都为 所对的圆周角，所对的圆周角，AEBAEB=ACBACB，CEDCED=AEBAEB，ABAB=ACAC，CDCD=ACAC，ABAB=CDCD，在在ABEABE和和CDECDE中，中，ABEABECDECDE（AASAAS）(2)(2)ABEABECDECDE，AEAE=ECEC=6=6，EDED=BEBE=9=9，D=D=EBD=EBD=EAC EAC ，且，且AEBAEB=CEDCED，AEFAEFDECDEC，EFEF=4.=4.ABBAEDCEAEBCEDABCDAEEFDEEC当堂检测5.如图，已知抛物线如图，已知抛物线 yax2-2x+c经过经过ABC 的三个顶点，其中点的三个顶点，其中点 A（0，1），），点点 B（9，10），），ACx 轴轴（1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式；（2）求）求 tanABC 的值；的值；（3）若点）若点 D 为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，点 E 是直线是直线 AC 上一点，当上一点，当CDE 与与ABC 相似时，相似时，求点求点 E 的坐标的坐标当堂检测课后精练单击此处编辑母版标题样式谢谢
