1、安徽2020中考数学第一轮复习-一元二次方程考点扫描考点1考点2一元二次方程的解法(8年3考 )1.配方法配方法解一元二次方程就是通过配方把一元二次方程变形为(x+k )2=a(a0 )的形式,再用开平方法解答.用配方法解一元二次方程的一般步骤是:移项;化二次项系数为1;配方;化成(x+k )2=a的形式;开平方求解.2.公式法公式法解一元二次方程就是用一元二次方程的求根公式求有实数根的一元二次方程.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0且b2-4ac0 )的求根公式是 ,它是通过用配方法求解一般形式的一元二次方程推导出来的.用公式法解一元二次方程的一般步骤是:化一元二次方程为一般形式;确定各
2、项系数;求出b2-4ac的值;代入求根公式;求出两根.考点扫描考点1考点23.因式分解法用因式分解求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:将方程的一边化为0;将方程另一边因式分解;令含有未知数的每个一次因式等于0;解这两个一元一次方程.考点扫描考点1考点2典例1(1 )根据要求,解答下列问题:方程x2-2x+1=0的解为;方程x2-3x+2=0的解为;方程x2-4x+3=0的解为;(2 )根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:方程x2-9x+8=0的解为;关于x的方程的解为x1=1,x2=n.(3 )请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正
3、确性.考点扫描考点1考点2【解析】(1 )(x-1 )2=0,解得x1=x2=1,即方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1;(x-1 )(x-2 )=0,解得x1=1,x2=2,即方程x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2;(x-1 )(x-3 )=0,解得x1=1,x2=3,即方程x2-4x+3=0的解为x1=1,x2=3.(2 )根据以上方程特征及其解的特征,可猜想方程x2-9x+8=0的解为x1=1,x2=8;关于x的方程x2-(1+n )x+n=0的解为x1=1,x2=n.(3 )根据配方法解一元二次方程的步骤进行求解即可.考点扫描考点1考点2【答案】(1 )x1=x2=1.x
4、1=1,x2=2.x1=1,x2=3.(2 )x1=1,x2=8.x2-(1+n )x+n=0.(3 )x2-9x=-8,所以x1=1,x2=8.所以猜想正确.考点扫描考点1考点2提分训练1.由多项式乘法:(x+a )(x+b )=x2+(a+b )x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b )x+ab=(x+a )(x+b ).示例:分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3 )x+23=(x+2 )(x+3 ).(1 )尝试:分解因式:x2+6x+8=(x+)(x+);(2 )应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.【答案】(1 )2;4.(
5、2 )x2-3x-4=0,(x+1 )(x-4 )=0,则x+1=0或x-4=0,解得x=-1或4.考点1考点2考点扫描一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(8年1考 )1.根的判别式的定义:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0 )的根的判别式为b2-4ac.2.判别式与根的关系:(1 )b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实数根;(2 )b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数根;(3 )b2-4ac0C.x1x20D.x10,x20,x1x2,结论A正确;x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,x1+x2=a,a的值不确定,B结论不一定正确;x1,x2是关于x
6、的方程x2-ax-2=0的两根,x1x2=-2,结论C错误;x1x2=-2,x1,x2异号,结论D错误.【答案】A考点1考点2考点扫描4考点1考点2考点扫描初高中衔接用换元法解一元高次方程在数学中常常会出现一些高次方程求解问题,解这类问题的核心思想是降次,而换元法是最主要的方法.所谓换元法,是指把方程中某些代数式用新的变量代替,使方程的次数降低,从而化难为易,使问题得以解决.考点1考点2考点扫描提分训练3.为解方程x4-5x2+4=0,我们可以将x2视为一个整体,然后设x2=y,则x4=y2,原方程化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,x=1;当y=4时,x2=
7、4,x=2.原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.解答问题:(1 )填空:在由原方程得到方程的过程中,利用法达到了降次的目的,体现了的数学思想.(2 )解方程:(x2-2x )2+x2-2x-6=0.考点1考点2考点扫描【答案】(1 )换元;转化.(2 )设x2-2x=t,原方程化为t2+t-6=0,解得t1=-3,t2=2.当t=-3时,x2-2x=-3,即x2-2x+3=0,此方程无实数解;考点1考点2考点扫描一元二次方程的应用(8年4考 )列一元二次方程解应用题中,经济类和面积类问题是常考类型,解决这些问题应掌握以下内容:1.增长率问题设a是基础量,x为平均增长率,连续
8、增长2次,b为增长后的量,则a(1+x )2=b;当x为平均下降率,连续下降2次,b为下降后的量,则a(1-x )2=b.2.面积问题(1 )如图1,设空白部分的宽为x,则S阴影=(a-2x )(b-2x ).考点1考点2考点扫描(2 )如图2、图3、图4,设阴影道路的宽为x,则S空白=(a-x )(b-x ).(3 )如图5,栏杆总长为a,BC的长为b,则S阴影=.考点1考点2考点扫描3.行程问题时间速度=路程.4.握手、单循环赛与送礼物问题握手、单循环赛总次数为 (n为人数 );送礼物总份数为n(n-1 )(n为人数 ).考点1考点2考点扫描典例3(2018江苏盐城 )一商店销售某种商品,
9、平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.(1 )若降价3元,则平均每天销售数量为件;(2 )当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?【解析】(1 )根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出23=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;(2 )利用商品平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.考点1考点2考点扫描【答案】(1 )26.(2 )设每件商品应降价x元时,该商店每天销
10、售利润为1200元.根据题意得(40-x )(20+2x )=1200,整理得x2-30 x+200=0,解得x1=10,x2=20.要求每件盈利不少于25元,x2=20应舍去,x=10.答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.考点1考点2考点扫描提分训练4.(2018贵州遵义 )在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克 )与该天的售价x(元/千克 )满足如下表所示的一次函数关系.(1 )某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.(2 )如果某天销
11、售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?考点1考点2考点扫描【答案】(1 )设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,将(22.6,34.8 ),(24,32 )代入y=kx+b,y与x之间的函数关系式为y=-2x+80.当x=23.5时,y=-2x+80=33.答:当天该水果的销售量为33千克.(2 )根据题意得(x-20 )(-2x+80 )=150,解得x1=35,x2=25.20 x32,x=25.答:如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为25元.命题点1解一元二次方程(常考 )1.(2016安徽第16题 )解方程:x2-2x=4.解:两边都加上1,得x2-2
12、x+1=5,即(x-1 )2=5,2.(2012安徽第16题 )解方程:x2-2x=2x+1.解:原方程x2-2x=2x+1化为x2-4x=1,配方,得x2-4x+4=1+4,整理,得(x-2 )2=5,命题点2一元二次方程根的判别式与系数关系(新增 )3.(2018安徽第7题 )若关于x的一元二次方程x(x+1 )+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2或2D.-3或1【解析】原方程整理为x2+(a+1 )x=0,=(a+1 )2-410=(a+1 )2,由一元二次方程有两个相等的实数根得=0,即(a+1 )2=0,解得a=-1.A命题点3一元二次方程的应用(常
13、考 )4.(2017安徽第8题 )一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足()A.16(1+2x )=25B.25(1-2x )=16C.16(1+x )2=25D.25(1-x )2=16【解析】原价为25元,每次降价的百分率为x,两次降价后的价格为16元,所以x满足25(1-x )2=16.D5.(2015安徽第6题 )我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件,设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是()A.1.4(1+x )=4.5B.1.4(1+2x )=4.5C.1.4(1+x )2=4.5D.1.4(1+x )+1.4(1+x )2=4.5【解析】设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则2014年的业务量为1.4(1+x )亿件,2015年的业务量为1.4(1+x )2亿件,又因为2015年的快递业务量达到4.5亿件,所以可列方程为1.4(1+x )2=4.5.C
