1、高数下册总复习知识点归纳高数下册总复习知识点归纳第八章 向量代数与空间解析几何总结各各章章节节知知识识点点归归纳纳第十张：重积分，三重积分第十一章：曲线积分与曲面积分第十二章：无穷级数第九章多元函数微分法第九章多元函数微分法向量的分解式：向量的分解式：(,)xyzaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,1 1、向量的坐标表示法、向量的坐标表示法（一）向量代数（一）向量代数第八章 向量代数与
2、空间解析几何总结向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,xyzaaaa （）,xyzbbbb （）,xxyyzzabababab （）,xxyyzzabababab （）,xyzaaaa （）kbajbaibazzyyxx)()()(kbajbaibazzyyxx)()()(kajaiazyx)()()(222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式222coscoscos1 212212212
3、21zzyyxxMM 它们距离为它们距离为设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点两点间距离公式两点间距离公式:2 2、数量积、数量积 cos|baba 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 00 xxyyzza ba ba ba b 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式3 3、向量积、向量积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积
4、的坐标表达式zyxzyxbbbaaakjiba 方程特点方程特点:00),(:zyxfL设有平面曲线设有平面曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线xL)1(0),(22 zyxf方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线yL)2(0),(22 yzxf1.旋转曲面旋转曲面（二）空间解析几何（二）空间解析几何122222 czyax122222 czayx12222 czax旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面xyzpzyx222 旋转抛物面旋转抛物面oyzx绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122
5、222 czayx旋转椭球面旋转椭球面ozyx（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx2202020)()()(Rzzyyxx 2.柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.从柱面方程从柱面方程(的特征的特征:二元方程二元方程)看柱面的看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 母线母线/轴轴x12222
6、 byax双曲柱面双曲柱面 母线母线/轴轴zpxz22 抛物柱面抛物柱面 母线母线/轴轴y抛物柱面抛物柱面xyzxyz椭圆柱面椭圆柱面pxz22 双曲柱面双曲柱面xyz12222 czby12222 byax3.二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同号同号与与qp特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0(p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成
7、的）xozpzx22 zqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同号同号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5）圆锥面）圆锥面222zyx 4.4.空间曲线空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 CCC关于关于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲线上的投影曲线 Oxzy 0),(0),(:zyxGzyxFC设曲线设曲线 则则C关于关于xoy面的投影柱面的投影柱面方程应为消面方程应为消z后的方程后的方程：0),(yxH 所以所以C在在xoy面上
8、的投面上的投影曲线的方程为：影曲线的方程为：00),(zyxH3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影5.5.平面平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夹角平面的夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 两平面位置特征：两平面位置特征：21)1(021212121 CCBB
9、AAnn21)2(/1 1n2 2n.21212121CCBBAAnn 重合重合1 1、偏导数概念、偏导数概念第九章多元函数微分法第九章多元函数微分法同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对y的偏导数，的偏导数，为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.ddd.zzzxyxy2、全微分公式、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法用定义证明可微与不可微的方法000000(,)(,)
10、()xyzfxyxfxyy 可微可微000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 不可微不可微多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导有极限有极限3、关系、关系(),()zftt 4 4、多元复合函数求导法则、多元复合函数求导法则定理定理1 若函数若函数(),()utvt(,)zf u v 在点在点 处偏导连续处偏导连续,(,)u v在点在点 t 可导可导,ddddddzzuzvtutvt则复合函数则复合函数且有链式法则且有链式法则中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形在点在点t处可导，
11、处可导，uvtz公式的记忆方法：连线相乘，分线相加公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.5 5、全微分形式不变性、全微分形式不变性 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、dddzzzuvuv定理定理1 1 设函数设函数00(,)0;F xy 单值连续函数单值连续函数 y=f(x),00(),yf x 并有连续并有连续d.dxyFyxF (隐函数求导公式隐函数求导公式)具有连续的偏导数具有连续的偏导数;的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足的某一邻域内满足00(,)0yFx
12、y 满足条件满足条件导数导数(,)F x y在点在点00(,)P xy则方程则方程(,)0F x y 0 x在点在点6 6、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则(1)(,)0F x y 定理定理2 2 000(,)P xy z,yxzzFFzzxFyF 的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程则方程(,)0F x y z 在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数000(,),zf xy 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),满足满足000(,)0;F xy z 000(,)0,zF xy z 在点在点若函数若函数 满足满足:(,)F x y z某一邻
13、域内可唯一确某一邻域内可唯一确0),(.2 zyxF定理定理3 30000(,)0,F xy u v 的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏导数导数设函数设函数0000(,)P xy u v(,),(,)F x y u vG x y u v则方程组则方程组(,)0,(,)0F x y u vG x y u v的单值连续函数的单值连续函数(,),(,),uu x yvv x y 计算偏导数按直接法求解计算偏导数按直接法求解.在点在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:(,)0,(,)PF GJPu v 0000(,)0;G xy u v 000(,
14、),uu xy 000(,)vv xy 00(,)xy在点在点7 7、微分法在几何上的应用、微分法在几何上的应用切线方程为切线方程为.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程为法平面方程为.0)()()(000000 zztyytxxt (1)空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面).(),(),(:tztytx 000(),(),()Tttt (关键关键:抓住切向量抓住切向量)1）空间曲线方程为）空间曲线方程为,)()(xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx .0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切
15、线方程为切线方程为特殊地：特殊地：(取取 为参数为参数)x(1,(),()Txx 2）空间曲线方程为）空间曲线方程为,0),(0),(zyxGzyxF(取取 为参数为参数)xxyzxyzMijkTF F FG G G 取取切线方程为切线方程为000()()()0.yzxyzxzxyzxyMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面方程为法平面方程为000,yzzxxyzxyzMxyMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG()曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线:(,)0.F x y z切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxz
16、yxFzyx法线方程为法线方程为.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzF xyz(关键关键:抓住法向量抓住法向量):(,)zf x y曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令0000(,),(,),1)xynfxyfxy则则（特殊情形）（特殊情形）8 8、方向导数、方向导数.),
17、(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),(记为记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件）方向导数的定义及存在的充分条件.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函数方向导数的定义三元函数方向导数的定义（其中其中222)()()(zyx ）方向导数的存在性及其计算方法方向导数的存在性及其计算方法:00(,)(,),z
18、f x yP xy 若若函函数数在在点点处处可可微微定理定理那么那么函数在函数在000000(,)(,)cos(,)cos,xyxyffxyfxyl 该点沿任一方向该点沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在,且有且有 l:cos,cos.l 其其中中是是方方向向 的的方方向向余余弦弦说明说明:可微可微沿任一方向的方向导数存在沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立反之不一定成立.(2)梯度的概念梯度的概念grad(,)f x y ffijxy 记为记为 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系.maxf=l 、二重积分的几何意义、二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被
19、积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和当被积函数有正有负时，二重积分是柱体体积的代数和.(,)dDf x y iiniif ),(lim101 1、二重积分的定义、二重积分的定义第十张：重积分，三重积分3 3、二重积分的计算、二重积分的计算,:bxaD ).()(21xyx X型型21()()(,)dd(,)d.bxaxDf x yxf x yy X-型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区
20、域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下（）直角坐标系下 Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴轴的直线与区域边界相交不多于两个交点的直线与区域边界相交不多于两个交点.21()()(,)dd(,)d.dycyDf x yyf x yx ,:dycD ).()(21yxy Y型型求二重积分的方法步骤求二重积分的方法步骤:1.作图求交点；作图求交点；2.选择积分次序；选择积分次序；4.计算计算.(先内积分后外积分先内积分后外积分;计算内积分时把计算内积分时把在累次积分不易积或不能积时在累次积分不易积或不能积时,应考虑交换积分次序应考虑交换积分次序.(把把D写成不等式形式
21、写成不等式形式)；外积分变量看成常数外积分变量看成常数)3.确定积分限确定积分限1、选择积分次序、选择积分次序(1)首先被积函数要易积分，能积分；首先被积函数要易积分，能积分；(2)积分区域积分区域D尽量少分块尽量少分块.2、确定积分限、确定积分限计算二重积分的两个关键：计算二重积分的两个关键：内限内限平行线穿越法平行线穿越法.外限外限 投影法；投影法；xDo1()2()xoD()Dox()(,)d dDf x yx y 21()()d(cos,sin)d.f ()0d(cos,sin)d.f 2()00d(cos,sin)d.f （2）极坐标系下）极坐标系下2、定限方法、定限方法 内限（内限
22、（的限）的限）射线穿越法射线穿越法.外限（外限（的限）的限）看看 夹在那两条射线之间；夹在那两条射线之间；利用极坐标计算二重积分应注意：利用极坐标计算二重积分应注意：积分次序积分次序先先后后.1、何时用极坐标？何时用极坐标？1、当积分区域为圆域或其一部分时、当积分区域为圆域或其一部分时；2、被积函数中含有、被积函数中含有 或或 时时.22xy xy3、用直角坐标求不出的积分、用直角坐标求不出的积分.4 4、二重积分的应用、二重积分的应用(1)体积体积(,)d dDVf x yx y 曲曲柱柱设设S曲面的方程为：曲面的方程为：).,(yxfz 曲面曲面S的面积为的面积为 221d dxyzzxyDAx y(2)曲面积曲面积(,)0,f x y 且且(,)Df x y 在在设设 上连续，上连续，曲顶柱体曲顶柱体 顶顶被积函数；被积函数；底底积分区域积分区域.(3)求质量求质量(,)d dDmx yx y 6、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义表示空间区域的体积表示空间区域的体积时时当当 Vdvzyxf,1),(7 7、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质5 5、三重积分的定义、三重积分的定义
