1、人教版九年级上册数学全书知识点总结汇编第二十一章 一元二次方程1.一元二次方程定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a0)其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项特殊形式（只要满足a0，b，c可以为任意实数）三种形式二次项系数一次项系数常数项ax2=0(a0)a00ax2+c=0(a0)a0cax2+bx=0(a0)ab0一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2.解一元二次方程的方法直接开平
2、方法定义利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法总结一般的，对于可化为 x2=p的方程当 p 0 时，方程有两个不相等的实数根x1=p，x2=p ；当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2 =0；当 p 0 时，方程有两个不等的实数根x1=np，x2=n+p当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=n当 p 0两个不相等的实数根x1=b+b24ac2a， x2=bb24ac2a=b24ac=0两个相等的实数根 x1=x2 =b2a；=b24ac0a0图像开口方向开口向上开口向下对称轴y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）顶点坐标（0，0）（0，0
3、）最值当x=0时，y最小=0当x=0时，y最大=0增减性在对称轴的左侧，即x0时，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，即x0时，y随x的增大而减小3.二次函数y=ax2+k(a0)的图像和性质y=ax2+k(a0)y=ax2+k(a0)y=ax2+k(a0k0k0图像开口方向向上向下对称轴y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）顶点坐标（0，k）（0，k）最值当x=0时，y最小=k当x=0时，y最小=k增减性在对称轴的左侧，即x0时，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，即x0时，y随x的增大而减小二次函数y=ax2+k(a0)与 y=ax2(a0) 的图象的关系二次函数 y=ax2+k(a0)的图象可
4、以由y=ax2 的图象平移得到：.y=ax2当 k 0 时，向上平移 k 个单位y=ax2+k当 k 0)y=a(xh)2(a0h0h0图像开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标（h，0）（h，0）最值当x=h时，y最小=0当x=h时，y最小=0增减性在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而减小二次函数y=a(xh)2 与 y=ax2 (a0) 的图象的关系可以看作互相平移得到 (h 0)： y=ax2向左平移h个单位y=a(x+h)2向右平移h个单位y=a(xh)2左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变。5.二次函数y=a(xh)2
5、+k(a0)的图像和性质（顶点式）y=a(xh)2+k(a0)y=a(xh)2+k(a0)y=a(xh)2+k(a0，k0h0h0，k0h0图像h0，k0，k0h0，k0，k0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标（h，k）（h，k）最值当x=h时，y最小=k当x=h时，y最小=k增减性在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，即xh时，y随x的增大而减小二次函数y=a(xh)2+k(a0)的图像可以由y=ax2 的图象平移得到：（方法一：先左右平移，再上下平移） y=ax2向左平移h个单位y=a(x+h)2向上平移k个单位y=a(x+h)2+k向左平移h个单位y
6、=a(x+h)2向下平移k个单位y=a(x+h)2ky=ax2向右平移h个单位y=a(xh)2向上平移k个单位y=a(xh)2+k向右平移h个单位y=a(xh)2向下平移k个单位y=a(xh)2k（方法二：先上下平移，再左右平移） y=ax2向上平移k个单位y=ax2+k向左平移h个单位y=a(x+h)2+k向上平移h个单位y=ax2+k向右平移h个单位y=a(xh)2+k y=ax2向下平移k个单位y=ax2k向左平移h个单位y=a(x+h)2k向下平移h个单位y=ax2k向右平移h个单位y=a(xh)2k简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.6.
7、二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0）a0a0图像开口方向开口向上开口向下对称轴直线x=b2a直线x=b2a顶点坐标（b2a，4acb24a）最值当x=b2a时，y最小=4acb24a当x=b2a时，y最大=4acb24a增减性在对称轴的左侧，即xb2a时，y随x的增大而增大在对称轴的左侧，即xb2a时，y随x的增大而减小二次函数y=ax2+bx+c的配方成顶点式y=a(xh)2+k的过程y=ax2+bx+c =a（x2+bax）+ c .“提”：提出二次项系数 =ax2+bax+(b2a)2-(b2a)2+ c .“配”：括号内配成完全平方
8、 =a(x+b2a)2-b24a2+ c =a(x+b2a)2-b24a+ c =a(x+b2a)2+4acb24a .“化”：化成顶点式可知：h=b2a ，k=4acb24a7.用待定系数法求二次函数的解析式已知条件方法已知三点坐标用一般式：y=ax2+bx+c已知顶点坐标或对称轴或最值用顶点式：y=a(xh)2+k已知抛物线与x轴的两个交点用交点式：y = a(x -x1)(x -x2)(x1，0)，(x2，0)为抛物线与x轴的交点坐标)对称轴=x1+x22，A(x1，y1)，A(x2，y1)两个点的纵坐标相同步骤设：根据题中已知条件，设函数解析式为y=ax2+bx+c或y=a(xh)2+
9、k或y = a(x -x1)(x -x2) 代：代入已知的三点的坐标后得到一个方程组； 解：解方程组得到 a，b，c 等系数的值还原：把求出的系数a，b，c 还原到解析式中.8.二次函数与一元二次方程的区别与联系二次函数与一元二次方程的关系y=ax2+bx+cy=Max2+bx+c=0=b24ac0=b24ac=0=b24ac0a0的解集a0xx2x x1的一切实数全体实数不等式ax2+bx+c0的解集x1x0的解集a0x1xx2无解无解不等式ax2+bx+c0的解集xx2x x1的一切实数全体实数9.二次函数值的大小比较方法代入法直接将横坐标x的值代入函数里比较y的大小增减性法距离比较法开口
10、向上：抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值就越大开口向下：抛物线上的点，离对称轴越远，对应的函数值就越小10.二次函数y=ax2+bx+c的最值二次函数y=ax2+bx+c的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定.y=ax2+bx+c的最值当自变量 x 为全体实数时当a0时，x=b2a，y最小值=4acb24a当a0抛物线开口向上| a |抛物线开口大小，| a |越大开口越小a0抛物线与y轴的交点在x轴上方c0抛物线与x轴有两个交点=b24ac=0抛物线与x轴有一个交点=b24ac0抛物线与x轴没有交点=b24ac0抛物线与x轴有交点a+b+c的符号，ab+c的符号4a+
11、2b+c的符号x=24a2b+c的符号a+b+c表示x=1时的函数值，即x=1时，y=a+b+c，决定a+b+c的符号（找到x=1时所对应的点，看是在y轴正半轴还是负半轴）ab+c表示x=1时的函数值，即x=1时，y=a-b+c，决定ab+c的符号（找到x=-1时所对应的点，看是在y轴正半轴还是负半轴）4a+2b+c的符号，即x=2时的函数值，4a2b+c的符号，即x=-2第二十三章 旋转1.旋转的定义定义把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转旋转三要素旋转中心：点 O 叫做旋转中心.旋转方向：分为顺时针与逆时针.旋转角：转动的角叫做旋转角对应元素对应点、对应角、对应线
12、段旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.确定旋转中心的位置两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心.旋转作图步骤连接并转动：连接关键点与旋转中心，并把连线绕旋转中心旋转一定角度；截：截取相等线段，找到对称点；连：顺次连接对称点；2.中心对称定义把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心(简称中心). 对称中心的性质中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心所平分（每组对称点与对称中心都在同一条直线上，即三点共线）；中心对
13、称的两个图形是全等形确定对称中心的方法：连接任意一组对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心；连接任意两组对称点，两条线段的交点就是对称中心.对称中心作图步骤连接并延长：连接图形上的关键点与对称点，并延长连线截取：截取相等线段，找到对称点顺次连接对称点3.中心对称图形定义把一个图形绕某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称图形的性质中心对称图形上的每一组对称点所连成的线段都被对称中心平分过对称中心的任意一条直线可以把中心对称图形分成全等的两部分.4.中心对称和中心对称图形的区别中心对称有两个图形中心对称只有
14、一个图形5.关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时，他们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P（-x，-y）.6.关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别名称区别表达式关于坐标轴对称关于x轴对称横坐标相同，纵坐标互为相反数（横不变，纵相反）P（x，y）关于x轴对称的点为P（x，y）关于y轴对称纵坐标相同，横坐标互为相反数（纵不变，横相反）P（x，y）关于y轴对称的点为P（x，y）关于原点对称横、纵坐标分别互为相反数P（x，y）关于原点对称的点为P（x，y）口诀：“关于谁，谁不变，关于原点都改变”7.关于直线对称的点坐标名称区别表达式关于直线y=x对称横、纵坐标
15、位置颠倒P（x，y）关于直线y=x对称的点为P（y，x）关于直线y=x对称横、纵坐标位置颠倒再变号P（x，y）关于直线y=x对称的点为P（y，x）8.作关于原点对称的图形的一般步骤：(1) 写出图形顶点坐标；(2) 写出图形顶点关于原点的对称点的坐标；(3) 描点；(4) 顺次连接；(5) 下结论.9.点的平移点P（x，y）沿x轴向右（左）平移m个单位后对应的坐标是P（xm，y）点P（x，y）沿y轴向上（下）平移n个单位后对应的坐标是P（x，yn）口诀：横坐标右加左减，纵坐标上加下减中点坐标任意两点P1(x，y)，P2(x，y)，则线段P1P2的中点坐标为(x1+x22，y1+y22)第二十四
16、章 圆1.圆的概念圆的旋转定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，一般用 r 表示圆的表示法以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.确定一个圆需要的“两要素”一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小注意：圆是一条封闭的曲线， “圆” 指的是 “圆周”，而不是 “圆面”；圆的集合定义圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是平面内所有到定点 (圆心O )的距离等于定长(半径 r) 的点的集合结论(1) 圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长（半径r）(2) 到定点的距离等于定长的点都在
17、同一个圆上数学语言（1）点A、B在圆上OA=OB（2）OA=OB点A、B在圆上2.圆的有关概念弦定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径注意：1. 弦和直径都是线段；2. 直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.直径是最长的弦弧定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。以 A、B 为端点的弧记作读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆劣弧小于半圆的弧叫做劣弧,如优弧大于半圆的弧叫做优弧，如等圆定义;能够重合的两个圆叫做等圆.等圆是两个半径相等的圆.等弧在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.注意：等弧仅仅
18、存在于同圆或者等圆中. 3.垂直于弦的直径圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴.垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.数学语言： CD 是O 的直径，CDAB，(条件) AP = BP，(结论)垂径定理的推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.数学语言： CD 是O 的直径，AP = BP，AB不是直径(条件) CDAB，(结论)弓形中的重要数量关系弦长 a，弦心距 d（指圆心 O 到弦的距离），弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：d + h = r ,4.圆心角、弧、弦圆是中心对称图形圆是旋转对称图形，具有旋转不变性圆心角定义顶点在
19、圆心的角，叫圆心角，如AOB .弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等数学语言：AOB = COD ，AB = CD弧、弦与圆心角关系定理的推论推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等数学语言： AOB = COD，AB = CD推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等AB = CD AOB = COD，（优弧或劣弧）注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.5.圆周角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对
20、的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即：圆周角定理的推论1同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理的推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.A+C=180，B+D=1806.点和圆的位置关系点和圆的位置关系特点等价关系图示点在圆内点到圆心的距离小于半径点P在圆内dr数形结合：位置关系数量关系7.圆的确定过已知点作圆条件作法作圆的个数图示过一个点A作圆以点A 以外的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径
21、画圆；无数个圆过两点A、B作圆连接AB，作线段 AB 的垂直平分线，以垂直平分线上任意一点为圆心，以这点到点 A （或点B）的距离为半径画圆；无数个圆过不在同一条直线上的三点A,B,C作圆的作法连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，以DE和FG的交点O为圆心，以OA（或OB，OC）为半径作圆，O就是所求的圆.一个圆确定一个圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个 圆.锐角三角形的外心位于三角形内；直角三角形的外心位于斜边的中点处；钝角三角形的外心位于三角形外.8.三角形的外接圆及外心三角形的外接圆的定义经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。三角形的外心
22、的定义外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形外心作图的方法三角形三边垂直平分线的交点.三角形外心的性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径.即OA=OB=OC9.反证法的定义先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤反设：假设命题的结论不成立(或其反面成立)；推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.10.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系相交相切相交图示公共点个数2个1个0个公共点名称交点切点直线名称割线切线1
23、1.直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系特点等价关系图示相交直线到圆心的距离小于半径直线和圆相交dr0个公共点数形结合：位置关系数量关系公共点个数12.切线的判定与性质切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA 为O 的半径BCOA 于点ABC 为O 的切线切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径直线 l 是O 的切线，A 是切点直线 lOA.判断一条直线是一个圆的切线的三个方法：1.定义法直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；3.判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直
24、线是圆的切线.13.证切线时辅助线的添加方法(1) 有交点，连半径，证垂直；(2) 无交点，作垂直，证半径.14.有切线时常用辅助线添加方法见切点，连半径，得垂直.15.切线的其他重要结论(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点（找切点用）；(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（找圆心用）.16.切线长定理切线长定义经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长与切线的区别切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹
25、角.数学语言：PA、PB 是O 的切线PA = PB，OPA = OPB切线长定理小结论OP 垂直平分 AB.AB + CD = AD + BC.17.三角形的内切圆与外心三角形内切圆的定义与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形内心的定义三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.三角形内切圆的作法1. 作ABC 和ACB 的平分线BM 和 CN，交点为 O. 2. 过点 O 作ODBC，垂足为 D.3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.O 就是所求的圆.三角形内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点.OA、OB、OC 分别平分CAB、ABC、B
26、CA，三角形的内心到三角形三边的距离相等.OE = OF = OG.18.正多边形和圆正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.正n边形的对称性正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且圆心相同.正多边形的中心正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.如点O正多边形的半径外接圆的半径叫做正多边形的半径.如OD，OC正多边形的边心距正多边形中心到每条边的距离叫做正多边形的边心距.如OE正多边形的中心角正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于360n .
27、如DOC 圆内接正 n 边形面积公式：S正多边形=周长边心距2圆内接正多边形的辅助线1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形.19.正多边形内角计算公式正多边形的边数内角中心角外角n(n2)180n360n360n20.弧长和扇形面积弧长公式：l（n表示1的n倍，不带单位）弧、弧长、弧的度数之间的关系弧相等表示弧长、弧的度数都相等度数相等的弧，弧长不一定相等；弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧；扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.记作扇形OAB.扇形面积公式半径为 r 的圆中，圆心角为 n 的扇形的面积。已知弧长
28、l和半径r，则S扇形=12lr推导过程;S扇形=nR2360=12nR180R=12lR21.圆锥的面积圆锥的母线我们把连接圆锥顶点 (点 S ) 和底面圆上任意一点的线段 (如线段 SA，SB 等) 叫做圆锥的母线圆锥有无数条母线，它们都相等圆锥的高从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高底面半径(r)，圆锥的高(h)，圆锥的母线(l)三者关系r2 + h2 = l2圆锥的侧面积S圆锥侧 = rl圆锥的全面积公式S圆锥全 = S圆锥侧 + S圆锥底= rl + r2圆锥两个重要结论 圆锥侧面展开图扇形的半径 = 母线长 ( l ) 圆锥侧面展开图扇形的弧长 = 底面圆周长( 2r )n
29、l180=2r（可求母线长和底面半径）第二十五章 概率初步1.随机事件必然事件在一定条件下，有些事件必然（一定）会发生，这样的事件称为必然事件。必然事件是指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；必然事件和不可能事件统称为确定性事件.发生的结果事先可以确定不可能事件在一定条件下，有些事件必然（一定）不会发生，这样的事件称为不可能事件.不可能事件是指一定不能发生的事件，或者说发生的可能性是0%；随机事件在一定条件下，有些事件有可能发生，也有可能不发生，这样的事件称为随机事件.发生的结果事先无法确定随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性大小有可能不同.2.概率定义一般地
30、，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A).计算方法一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率为： 一般地，所有情况的总概率之和为1 当 A 为必然事件时，P(A) = 1； 当 A 为不可能事件时，P(A) = 0.当A为随机事件时，0P(A) 1事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0.可能性与概率的关系3.列举法求概率列举法通过列举试验结果求概率直接列举法直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.如：正正，正反，反正，反反列表法当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.列树状图法试验涉及到两个或两个以上因素，事件可能出现的结果较多注意做题时，特别要注意取出放回与不放回的问题；4.用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么，这个常数p就叫做事件A的概率，记为：P(A) = p，即：=p试验次数越多，得到的频率越接近概率第 3
