1、 1.1.定义：一般地定义：一般地,形如形如 y=axy=ax+bx+c+bx+c(a,b,c(a,b,c是常数是常数,a0a0)的函数叫做的函数叫做二次函数二次函数.2.2.定义定义要点要点:(1)(1)关于关于x x的代数式一定是的代数式一定是整式整式,a,b,c,a,b,c为常数为常数,且且a0a0.(2)(2)等式的右边等式的右边最高次数最高次数为为2 2,可以没有一次项可以没有一次项和常数项和常数项,但不能没有二次项但不能没有二次项.1、下列函数中，哪些是二次函数？如果是，请、下列函数中，哪些是二次函数？如果是，请说出二次项系数，一次项系数，常数项。说出二次项系数，一次项系数，常数项
2、。(1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x-2+x (6)y=x2-x(1+x)2、当m取何值时，函数是取何值时，函数是y=(m+2)x 分别分别 是一次函数？是一次函数？反比例函数？反比例函数？m2-2二次函数？二次函数？2、当m取何值时，函数是取何值时，函数是y=(m+2)x 分别分别 是一次函数？是一次函数？反比例函数？反比例函数？m2-2二次函数？二次函数？2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（m,k），通常设），通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,
3、0)、(x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为、已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-m)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)一般式一般式顶点式顶点式交点式或两根式交点式或两根式y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)练习练习:根据下列条件，求二次函数的解析式。根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)图象经过图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；三点；(2)图象的顶点图象的顶点(2，3)，且经过点且经过点(3，1)；(3)图象经过（
4、图象经过（0，1）、（）、（1，0）、（）、（3，0）4、写出一个开口向下，顶点坐标是（、写出一个开口向下，顶点坐标是（2，3）的）的函数解析式函数解析式_。5、已知二次函数的图像经过（、已知二次函数的图像经过（3,0）、（）、（2，-3）点，）点，对称轴对称轴x=l，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式6、已知二次函数的图像经过点（、已知二次函数的图像经过点（0，4），），且当且当x=2，有最大值，有最大值2。求该二次函数的关系式：。求该二次函数的关系式：（1）a0时，对称轴左侧时，对称轴左侧(x )，函数值函数值y随随x的增大而减小的增大而减小；对称轴；对称轴右侧右侧(x )，函数值，函
5、数值y随随x的增大而的增大而增大增大。a0时，时，ymin=a0时，时，ymax=图 26.2.4 三、二次函数三、二次函数 y=ax2+bx+c(a0)0)的函数的函数性质性质：2ba2ba2ba2ba244acba244acba1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：的自变量的值：(3)y=2x(3)y=2x2 28x8x1 1；(4)y=(4)y=3x3x2 25x5x1 1三、如何求二次函数的最值三、如何求二次函数的最值kmxaycbxaxy22)(顶点式一般式当当x=-m时时y最小（大）最小（大）=kabacyabx4422)(大最
6、小时，当(1)、y=-2(x+1)2-3(2)、y=2x2+32、已知二次函数已知二次函数y=x2+4x+c有最小值为有最小值为2，求，求c的值的值3、已知二次函数已知二次函数y=-2x2+bx+c，当，当x=-2时函时函数有最大值为数有最大值为2，求，求b、c的值的值二次函数y=ax2、y=a（x+m）2、y=a（x+m）2+k的平移规律口诀：口诀：m决定左右平移，决定左右平移，k 决定上下平移决定上下平移 左左”+”右右“”，上上“+”下下“”（1）Y=（x-4）2+5是由哪条抛物线经怎样平移得到？是由哪条抛物线经怎样平移得到？（2）Y=x2-8x+21是由哪条抛物线经怎样平移得到的？是由
7、哪条抛物线经怎样平移得到的？(3)由由y=2x2的图象向左平移两个单位的图象向左平移两个单位,再向下平移三个单再向下平移三个单位位,得到的图象的函数解析式得到的图象的函数解析式_(4)由函数由函数y=-3(x-1)2+2的图象向右平移的图象向右平移4个单位个单位,再向上平移再向上平移3个单位个单位,得到的图象的函数解析式为得到的图象的函数解析式为_y=2(x+2)2-3y=-3(x-1-4)2+2+3例例1.已知一抛物线的顶点坐标为已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点且过点(1,-2),求该抛物线的解析式求该抛物线的解析式.例例2.已知抛物线已知抛物线(1)将函数化为将函数化为 的形式
8、的形式.(2)说出该函数图象可由抛物线说出该函数图象可由抛物线 如何平移得到如何平移得到?(3)说出该函数的对称轴说出该函数的对称轴,顶点坐标顶点坐标,最值情况，增减性最值情况，增减性562xxykmxay2)(2xy 2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2)、当、当x为何值时，为何值时，y0。yOx(3)、求它的解析式和顶点坐标；、求它的解析式和顶点坐标；1.如图如图,抛物线抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列请判断下列各式的符号：各式的符号：a 0;c 0;b2-4ac 0;b
9、0;xyO小结：小结：a 决定开口方向，决定开口方向，c决定与决定与y轴交点位置，轴交点位置，b2-4ac决定与决定与x轴交点个数，轴交点个数，a,b结合决定对称轴结合决定对称轴;1111、练一练：已知、练一练：已知y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示,a_0,b_0,c_0,abc_0a_0,b_0,c_0,abc_0 b_2a,2a-b_0,2a+b_0 b_2a,2a-b_0,2a+b_0 b b2 2-4ac_0-4ac_0 a+b+c_0,a-b+c_0 a+b+c_0,a-b+c_0 4a-2b+c_0 4a-2b+c_00-11-22c 2c _
10、 3b 3ba+b a+b _ m(am+b)m(am+b)1111、练一练：已知、练一练：已知y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示,a_0,b_0,c_0,abc_0a_0,b_0,c_0,abc_0 b_2a,2a-b_0,2a+b_0 b_2a,2a-b_0,2a+b_0 b b2 2-4ac_0-4ac_0 a+b+c_0,a-b+c_0 a+b+c_0,a-b+c_0 4a-2b+c_0 4a-2b+c_00-112c 2c _ 3b 3ba+b a+b _ m(am+b)m(am+b)2.已知：二次函数已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如的图
11、象如图所示，则点图所示，则点M（，a）在（）在（）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoyDABCD2yaxc1.下列各图中可能是函数下列各图中可能是函数与与 ()的图象的是的图象的是()ayx0,0ac1 1、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)与一与一次函数次函数y=ax+cy=ax+c在同一坐标系内的大致在同一坐标系内的大致图象是（）图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C（3）销售量可以表示为）销售量可以表示为（1）销售价可以表示为）销售价可以表示为（50+x）
12、元）元 个（2）一个商品所获利）一个商品所获利可以表示为可以表示为（50+x-40）元）元（4）共获利）共获利可以表示为可以表示为2 2、如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为2424米的篱笆，围成中间隔有米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽ABAB为为x x米，面积为米，面积为S S平方米。平方米。(1)(1)求求S S与与x x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)(2)当当x x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)(3)若墙的最
13、大可用长度为若墙的最大可用长度为8 8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。ABCD解：解：(1)(1)AB AB为为x x米、篱笆长为米、篱笆长为2424米米 花圃宽为（花圃宽为（24244x4x）米）米 (3)墙的可用长度为墙的可用长度为8米米(2)当当x 时，时，S最大值最大值 36（平方米）（平方米）32ababac442 S Sx x（24244x4x）4x4x2 224 x 24 x （0 x60 x6）0244x 8 4x6当当x4m时，时，S最大值最大值32 平方米平方米3yx 2yxbxc CAB=SPABSxyCABO3、如图，直线 与x轴，y轴分别交于B
14、，C两点，抛物线 经过B，C两点，(3)在抛物线上是否存在点P，使若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。点A是抛物线与x轴的另一个交点。(1)求B、C两点坐标；(2)求此抛物线的函数解析式；，如图，已知抛物线如图，已知抛物线y=-xy=-x2 2-2x+3-2x+3与与X X轴交于点轴交于点A,BA,B两两点（点点（点A A在点在点B B的左侧），与的左侧），与y y轴交于点轴交于点C C，顶点为，顶点为P P。若以。若以A,C,P,MA,C,P,M为顶点的四边形是平行四边形，为顶点的四边形是平行四边形，求点求点M M的坐标的坐标在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0），B(0，-4),C(2，0)三点，P为抛物线上一动点，点Q为直线y=-x上一动点，若以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形是平行四边形，求点Q的横坐标。如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3.若抛物线经过O,A两点，直线AC交抛物线与点D。(1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上,问是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在。求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。
