1、思想篇数学思想方法的应用思想篇思想一函数与方程思想函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题.求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题.方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题.思想一函数与方程思想函数思想与方程思想密切相关:方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标;y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(
2、x)=a有根,若函数f(x)的值域为M,则aM.函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.函数思想与方程思想密切相关:方程f(x)=0 的根就是函数y=真题示例解法关键用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于cos 的一元二次方程,求解得出cos,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.答案:A.真题示例解法关键用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于c真题示例解法关键真题示例解法关键真题示例解法关键2019江苏卷 已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.由题意首先列出方程组求得首项和公差,然后求
3、解数列的前8项和即可.答案:16.真题示例解法关键 2 0 1 9 江苏卷 已知数列 a n (nA自测题 A 自测题C C D D D D 2 2 思想二数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化.数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题.思想二数形结合思想真题示例解法关键2
4、020全国卷 已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的外接圆,若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64B.48C.36D.32画出图形,由已知可得等边三角形ABC的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球的截面性质,求出球的半径.答案:A.真题示例解法关键 2 0 2 0 全国卷 已知A,B,C 为球真题示例解法关键真题示例解法关键真题示例解法关键真题示例解法关键真题示例解法关键2020全国新高考卷 若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()A.-1,13,+)B.-3,-10
5、,1C.-1,01,+)D.-1,01,3首先根据函数的奇偶性与单调性,画出函数f(x)的草图,得到在相应区间上的符号,再根据xf(x-1)0分类转化为对应自变量的不等式,最后求并集得结果.答案:D.真题示例解法关键 2 0 2 0 全国新高考卷 若定义在R 的B自测题解析 如图所示,设椭圆的下焦点为F,连接AF,AF,MF,则|AF|=|AF|=4,|MF|+|MF|=2a=6.|MA|-|MF|AF|,当且仅当A,F,M共线且F在线段AM上时等号成立,|MA|+|MF|=|MA|+6-|MF|6+4=10,即|MA|+|MF|的最大值为10,故选B.B 自测题 解析 如图所示,设椭圆的下焦
6、点为F ,连接A FA A B B D D 5.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0 x1)的液体,旋转容器,若液面恰好经过正方体的某条体对角线,则液面边界周长的最小值为.5.向体积为1 的正方体密闭容器内注入体积为x(0 x 1,a=1,-1a0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.92020江苏卷 已知5x2y2+y4=1(x,yR),则x2+y2的最小值是.真题示例解法关键 2 0 2 0 全国卷 已知A 为抛物线C:真题示例解法关键2020全国新高考卷 将数列2n-1与3n-2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前n项和为
7、.首先判断出数列2n-1与3n-2项的特征,从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差,转化为等差数列的求和问题.答案:3n2-2n.真题示例解法关键 2 0 2 0 全国新高考卷 将数列 2 n真题示例解法关键2020全国卷 已知M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|AB|最小时,直线AB的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0将求|PM|AB|的最小值转化为求|PM|的最小值,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆系的知识即可求出直线AB的方程.答案:D.真题示例解法关键 2 0 2 0 全国卷 已知M:x 2+y真题示例解法关键图S-2真题示例解法关键图S-2真题示例解法关键将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离.答案:4.真题示例解法关键将原问题转化为切点与直线之间的距离,然后利D自测题 D 自测题C C C C D图S-3 D 图S-3
