1、2022-10-262021版高中全程复习方版高中全程复习方略配套课件：空间向量略配套课件：空间向量及其运算及其运算三年三年1010考考 高考指数高考指数:1.1.了解空间向量的概念了解空间向量的概念.2.2.掌握空间向量的线性运算掌握空间向量的线性运算.3.3.掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直线与垂直.1.1.在客观题中考查向量的概念及其运算性质在客观题中考查向量的概念及其运算性质.2.2.利用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、线共面、平利用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、线共面、平行行,垂直等垂直等.
2、3.3.数量积的运算及应用是考查热点数量积的运算及应用是考查热点.1.1.空间向量的有关概念空间向量的有关概念名名 称称定定 义义空间向量空间向量自由向量自由向量单位向量单位向量零向量零向量在空间中在空间中,具有具有_和和_的量叫做空间向量，的量叫做空间向量，其大小叫作向量的其大小叫作向量的_或或_大小大小方向方向长度长度模模与向量的与向量的_无关的向量无关的向量起点起点长度或模为长度或模为_的向量的向量1 1长度为长度为_的向量的向量0 0名名 称称定定 义义相等向量相等向量相反向量相反向量向量向量的的夹角夹角 方向方向_且模且模_的向量的向量相同相同相等相等方向方向_而模而模_的向量的向量
3、相反相反相等相等过空间任意一点过空间任意一点O O作向量作向量 的相等向量的相等向量则则AOBAOB叫作向量叫作向量 的夹角，记作的夹角，记作 范围是范围是0,0,名名 称称定定 义义平行向量平行向量共面向量共面向量直线的方直线的方向向量向向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或或_,_,则这些向量叫作则这些向量叫作_或或_平行平行重合重合共线向量共线向量平行向量平行向量平行于同一平行于同一_的向量的向量平面平面若若A A，B B是空间直线是空间直线l上任意两点，则称上任意两点，则称_为直为直线线l的方向向量的方向向量.（与（与_平行的任意非零向
4、量平行的任意非零向量 也是直线也是直线l的方的方向向量）向向量）名名 称称定定 义义法向量法向量如果直线如果直线l垂直于平面垂直于平面,那么把直线那么把直线l的方向向的方向向量量 叫作平面叫作平面的法向量的法向量.（所有与直线（所有与直线l平行的非零向量都是平面平行的非零向量都是平面的法的法向量）向量）【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考思考:若若a与与b确定平面为确定平面为,则用则用a、b表示的表示的c与与的关系是的关系是怎样的怎样的?提示：提示：可能与可能与平行平行,也可能在也可能在内内.(2)(2)下列命题中，真命题的序号是下列命题中，真命题的序号是_._.分别表示空间向量的有向线段
5、所在的直线是异面直线分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两则这两个向量是不共面向量个向量是不共面向量若若|a|=|=|b|,|,则则a,b的长度相等而方向相同或相反的长度相等而方向相同或相反若向量若向量 满足满足 且且 同向同向,则则若两个非零向量若两个非零向量 满足满足 则则【解析】【解析】错错.因为空间任两向量平移之后可共面因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任所以空间任两向量均共面两向量均共面.错错.因为因为|a|=|=|b|仅表示仅表示a与与b的模相等的模相等,与方向无关与方向无关.错错.空间任两向量不研究大小关系空间任两向量不研究大小关系,因此也就没有因此也就没有
6、这种写法这种写法.对对.共线共线,故故 正确正确.答案：答案：2.2.空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运算空间向量的加、减、数乘运空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广算是平面向量运算的推广 如图，设如图，设a,b是空间任意是空间任意两向量，若两向量，若POCPOC，(1)(1)加法：加法：(2)(2)减法：减法：a+ba-bO OB BC CbA AP Pa(3)(3)数乘：数乘：(R).).(4)(4)空间向量加法、数乘运算满足的运算律空间向量加法、数乘运算满足的运算律 交换律：交换律：a+b=_=_，结合律：结合律：(a+b)+)+c=_=_，(a)=_()=_(
7、R,R)，分配律：分配律：(a+b)=_()=_(R).).b+aa+(+(b+c)()()aa+b【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考思考:当当|a|=|=|b|0,|0,且且a,b不共线时不共线时,a+b与与a-b是否共面是否共面?提示：提示：由加法法则可知由加法法则可知a+b与与a-b可以是菱形的对角线可以是菱形的对角线,故满足题故满足题意的意的a+b与与a-b一定共面一定共面.(2)(2)判断下列命题的正误判断下列命题的正误(请在括号内填请在括号内填“”“”或或“”)”)空间任意五边形空间任意五边形ABCDEABCDE，则，则 ()()若若ab，则，则a所在直线与所在直线与b所在直
8、线平行所在直线平行 ()()空间任意两非零向量空间任意两非零向量a、b共面共面 ()()空间向量空间向量a平行于平面平行于平面，则，则a所在直线平行于平面所在直线平行于平面()()【解析】【解析】由向量加法知由向量加法知(1)(1)正确；当正确；当ab时，时，a与与b所在直线平行所在直线平行或重合，故或重合，故(2)(2)是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向是错误的；由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面，即(3)(3)是正确是正确的；的；a所在的直线可能在平面所在的直线可能在平面内，故内，故(4)(4)是
9、错误的是错误的答案：答案：(3)(3)在在ABCABC中中,已知已知D D是是ABAB边上一点边上一点,若若 则则的值等的值等于于_._.【解析】【解析】答案：答案：3.3.共线向量定理与共面向量定理共线向量定理与共面向量定理(1)(1)共线向量定理共线向量定理空间两个向量空间两个向量a与与b(b0)共线的充要条件是存在实数共线的充要条件是存在实数，使得，使得_._.(2)(2)共面向量定理共面向量定理如果两个向量如果两个向量a，b_，那么向量，那么向量p与向量与向量a，b共面的共面的充要条件是存在唯一的有序实数对充要条件是存在唯一的有序实数对(x(x，y)y)，使，使_._.a=b不共线不共
10、线p=x=x a+y+y b【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考思考:向量向量 平面平面与直线与直线ABAB平面平面是同一概念吗？是同一概念吗？提示：提示：不是不是.向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或或在平面在平面内两种情况内两种情况.因此，在用共面向量定理证明线面平行时，因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内必须说明向量所在的直线不在平面内.(2)(2)思考思考:已知已知a,b，p是平面是平面内的向量，则内的向量，则p=x=x a+y+y b的表示的表示形式唯一吗？形式唯一吗？提示：提示：若若a,b不共线，则
11、表示形式唯一；若不共线，则表示形式唯一；若a,b共线，与共线，与p不共线，不共线，则不存在这种表示形式；若则不存在这种表示形式；若a,b(a,b都是非零向量都是非零向量),),p共线，则共线，则这种表示形式不唯一这种表示形式不唯一.(3)(3)a=b(R)是是a与与b共线的条件共线的条件_.(_.(填填“充分不充分不必要必要”、“必要不充分必要不充分”、“充要充要”、“既不充分也不必要既不充分也不必要”)”)【解析】【解析】若若a=b,则则a与与b一定共线一定共线,反之反之,若若a与与b共线共线,其中其中b=0,a0,则则a=b不成立不成立.故故“a=b(R)”)”是是“a与与b共线共线”的充
12、分不必要条件的充分不必要条件.答案：答案：充分不必要充分不必要(4)(4)若若 则下列结论中正确的序号是则下列结论中正确的序号是_._.O,P,A,BO,P,A,B四点一定共线四点一定共线P,A,BP,A,B共线共线P,A,BP,A,B不共线不共线O,P,A,BO,P,A,B不共面不共面【解析】【解析】如图所示如图所示,A,B,PA,B,P三点共线三点共线.答案：答案：4.4.空间向量的数量积空间向量的数量积(1)(1)定义：定义：ab=_.=_.(2)(2)运算律运算律交换律：交换律：ab=_=_；分配律：分配律：a(b+c)=_)=_；(ab)=_()=_(R).).|a|b|cos|co
13、sa,bbaab+ac(a)b(3)(3)常用结论常用结论|a|=_|=_；ab_；coscosa,b=_(=_(a0,b0).).ab=0=0【即时应用】【即时应用】(1)(1)思考：对于实数思考：对于实数a,ba,b，若，若ab=0ab=0，则一定有，则一定有a=0a=0或或b=0b=0，而对于，而对于向量向量a,b，若，若ab=0=0，则一定有，则一定有a=0或或b=0吗？吗？提示：提示：不一定，因为当不一定，因为当a0且且b0时，若时，若ab，也有，也有ab=0=0(2)(2)思考思考:(:(ab)c=a(bc)成立吗？成立吗？提示：提示：不一定成立不一定成立.(ab)c表示一个与表示
14、一个与c共线的向量，而共线的向量，而a(bc)表示一个与表示一个与a共线的向量，又共线的向量，又c与与a不一定共线，不一定共线，上式上式不一定成立不一定成立.(3)(3)已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为120120，且，且a=b=4=4，那么那么b(2(2a+b)等于等于_【解析】【解析】b(2(2a+b)=2)=2ba+b2 2=2=24 44cos1204cos120+4+42 2=0=0答案：答案：0 0(4)(4)a,b是两个非零向量，现给出以下命题：是两个非零向量，现给出以下命题：ab00a,b0,);0,);ab=0=0a,b=;=;ab000coscosa,b00a,b0
15、,);0,);ab=0=0coscosa,b=0=0a,b=;=;ab00coscosa,b0|b|时成立，故不正确；当时成立，故不正确；当a与与b共面时，向量共面时，向量a与与b所所在的直线平行、相交或异面，故不正确；由在的直线平行、相交或异面，故不正确；由 1 1知，三点知，三点不共线，故不正确综上可得正确不共线，故不正确综上可得正确答案：答案：4.(20124.(2012兰州模拟兰州模拟)已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,AB,AB1 1BCBC1 1,求证求证:AB:AB1 1AA1 1C.C.【证明】【证明】方法一方法一:取取 建立基底建
16、立基底.则则由由ABAB1 1BCBC1 1(a+c)c+(+(b-a)=0,=0,c2 2-a2 2=0,=0,ABAB1 1AA1 1C.C.方法二方法二:根据题意根据题意,建立空间直角坐标系如图所示建立空间直角坐标系如图所示,不妨设不妨设AB=a,AAAB=a,AA1 1=b,=b,则则A(0,0,0),C(0A(0,0,0),C(0，a,0),Ba,0),B1 1(a,a,b),(a,a,b),B(a,a,0),CB(a,a,0),C1 1(0,a,b),A(0,a,b),A1 1(0,0,b),(0,0,b),由由ABAB1 1BCBC1 1ABAB1 1BCBC1 1=0,=0,即即b b2 2=a=a2 2,ABAB1 1AA1 1C.C.
