1、2021-2022学年广东省深圳市龙岗区布吉中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知a=（2，3，1），则下列向量中与a平行的是（）A（1，1，1）B（2，3，5）C（2，3，5）D（4，6，2）2（5分）已知点A（2，0），B(3，-3)，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C120D1353（5分）已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，-2)，若(ka+b)(a+kb)=2，则k等于（）A1B35C25D154（5分）若两平行直线x+2y+m0（m0）与xny30之间的距离是5，则m+n（）A0B1C1D25（5分）已知直线l：yx+1与曲
2、线C：x2+y22=1相交于A，B两点，F（0，1），则ABF的周长是（）A2B22C4D426（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF1垂直于x轴，|PF1|1，F1F2P30，则C的方程为（）Ax29+y23=1Bx29+y26=1C4x29+2y23=1D4x29+4y23=17（5分）点（1，1）在圆（xa）2+（y+a）24的内部，则a的取值范围是（）A1a1B0a1Ca1或a1Da18（5分）唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽
3、火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y22，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A25B17-2C17D3-2二、多选题（共4小题，每小题5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，满分20分）（多选）9（5分）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆（如图所示）已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面m千米，远月点B（离月球表面最远的点）距离月球表面n千米，A
4、B为椭圆的长轴，月球的半径为R千米设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有（）Aa=m+n2Ba=m+n2+RCc=n-m2Dc=n-m2+R（多选）10（5分）在三维空间中，定义向量的外积：ab叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：a（ab），b（ab），且a，b和ab构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；ab的模|ab|a|b|sina，b（a，b表示向量a，b的夹角）在正方体ABCDA1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（）A|AB1AC|=|AD1DB|BABAD=ADABCA1C1A1D与BD1方向相同
5、D6|BCAC|与正方体表面积的数值相等（多选）11（5分）圆O1：x2+y22x0和圆O2：x2+y2+2x4y0的交点为A，B，则有（）A公共弦AB所在直线方程为xy0B线段AB中垂线方程为x+y10C公共弦AB的长为22DP为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为22+1（多选）12（5分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，且PAACBC1，则下列说法中正确的有（）AACPBB平面PAB平面ABCC二面角CPBA的大小为60D三棱锥PABC外接球的表面积为3三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）直线l1：x+my+10与直线l2：y2x1垂直，则m
6、14（5分）与圆（x2）2+（y+3）26同圆心且过点P（1，1）的圆的方程是 15（5分）若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是 16（5分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，PF2与椭圆交于Q若PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，则椭圆的离心率为 四、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知向量a=（2，4，2），b=（1，0，2），c=（x，2，1）（1）若ac，求|c|；（2）若bc，求（a-c）（2b+c）的值18（12分）如图，在平行六面体ABCD
7、A1B1C1D1中，ABAD1，AA12，A1ADA1AB60，DAB90，M为A1C1与B1D1的交点若AB=a，AD=b，AA1=c（1）用a，b，c表示BM；（2）求BM的长；（3）求BM与AC所成角的余弦值19（12分）一动点到两定点距离的比值为非零常数，当1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A、B的坐标分别为：A（4，0）、B（1，0），动点M满足AM2BM（1）求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；（2）过P（2，3）作该圆的切线l，求l的方程20（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，2AB2ADCD，ADCD，侧面PAD面ABCD，PAD
8、为正三角形，E为PD中点（1）求证：AE面PBC；（2）求AE与平面PAB所成的角的大小21（12分）如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC（1）证明：BCBD；（2）求二面角FCDB的正弦值22（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点（0，2），且e=22（）求椭圆C的方程；（）若直线ykx+m与椭圆C相切于点M，与直线xx0相交于点N已知点P（2，0），且PMPN，求此时x0的值2021-2022学年广东省深圳市龙岗区布吉中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知a
9、=（2，3，1），则下列向量中与a平行的是（）A（1，1，1）B（2，3，5）C（2，3，5）D（4，6，2）【解答】解：若b=（4，6，2），则b=-2（2，3，1）2a，所以ab故选：D2（5分）已知点A（2，0），B(3，-3)，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C120D135【解答】解：点A（2，0），B(3，-3)，则直线AB的斜率k=0+32-3=-3，则直线的倾斜角120，故选：C3（5分）已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，-2)，若(ka+b)(a+kb)=2，则k等于（）A1B35C25D15【解答】解：向量a=(1，0，1)，b=(2，0，-2)，所以ka+b=
10、（k+2，0，k2），a+kb=（2k+1，0，2k+1），又(ka+b)(a+kb)=2，所以（k+2）（2k+1）+（k2）（2k+1）2，解得k=15故选：D4（5分）若两平行直线x+2y+m0（m0）与xny30之间的距离是5，则m+n（）A0B1C1D2【解答】解：两直线x+2y+m0（m0）与xny30平行，n20，解得n2又两平行直线x+2y+m0（m0）与xny30之间的距离是5，|m+3|12+22=5，解得m2m+n0故选：A5（5分）已知直线l：yx+1与曲线C：x2+y22=1相交于A，B两点，F（0，1），则ABF的周长是（）A2B22C4D42【解答】解：曲线C：x
11、2+y22=1的焦点坐标（0，1）与（0，1），直线l：yx+1经过椭圆的焦点，所以直线l：yx+1与曲线C：x2+y22=1相交于A，B两点，F（0，1），则ABF的周长是：4a42故选：D6（5分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（ab0）的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，PF1垂直于x轴，|PF1|1，F1F2P30，则C的方程为（）Ax29+y23=1Bx29+y26=1C4x29+2y23=1D4x29+4y23=1【解答】解：PF1垂直于x轴，|PF1|1，F1F2P30，在RtPF1F2中，tan30=|PF1|F1F2|=33，|PF2|2|PF1|2，|F1F2|
12、=3，即c=32，|PF1|+|PF2|2a，2a1+23，即a=32，b2=a2-c2=94-34=32，椭圆C的方程为4x29+2y23=1故选：C7（5分）点（1，1）在圆（xa）2+（y+a）24的内部，则a的取值范围是（）A1a1B0a1Ca1或a1Da1【解答】解：因为点（1，1）在圆（xa）2+（y+a）24的内部，所以表示点（1，1）到圆心（a，a）的距离小于2，即(1-a)2+(1-(-a)22两边平方得：（1a）2+（a+1）24，化简得a21，解得1a1，故选：A8（5分）唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一
13、“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y22，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A25B17-2C17D3-2【解答】解：设点A关于直线x+y4的对称点A（a，b），设军营所在区域为的圆心为C，根据题意，AC-2为最短距离，先求出A的坐标，AA的中点为（a+32，b2），直线AA的斜率为1，故直线AA为yx3，由a+32+b2=4b=a-3，联立得故a4，b1，所以AC=42+12=17，
14、故AC-2=17-2，故选：B二、多选题（共4小题，每小题5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，满分20分）（多选）9（5分）2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F为一个焦点的椭圆（如图所示）已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面m千米，远月点B（离月球表面最远的点）距离月球表面n千米，AB为椭圆的长轴，月球的半径为R千米设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的有（）Aa=m+n2Ba=m+n2+RCc=n-m2Dc=n-m2+R【解答】解：由题意可得：|AB|2am+n+2R，所以a=m+n2+R，故B正确，A错误，又|A
15、F|m+Rac，所以camR=m+n2+R-m-R=n-m2，故C正确，D错误，故选：BC（多选）10（5分）在三维空间中，定义向量的外积：ab叫做向量a与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：a（ab），b（ab），且a，b和ab构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；ab的模|ab|a|b|sina，b（a，b表示向量a，b的夹角）在正方体ABCDA1B1C1D1中，有以下四个结论，正确的有（）A|AB1AC|=|AD1DB|BABAD=ADABCA1C1A1D与BD1方向相同D6|BCAC|与正方体表面积的数值相等【解答】解：对于A，由ab模的
16、定义知，|ab|a|b|sina，b=|b|a|sinb，a=|ba|，所以A对；对于B，由a，b和ab构成右手系知，ab与ba方向相反，再由A知，ab=-ba，所以B错；对于C，A1C1B1D1，A1C1BB1A1C1平面BB1D1D，BD1平面BB1D1DBD1A1C1，BD1A1D，再由右手系知，A1C1A1D与BD1同向，所以C对；对于D，正方体棱长为a，6|BCAC|=6|BC|AC|sin45=62aa22=6a2，正方体表面积为6a2，所以D对故选：ACD（多选）11（5分）圆O1：x2+y22x0和圆O2：x2+y2+2x4y0的交点为A，B，则有（）A公共弦AB所在直线方程为
17、xy0B线段AB中垂线方程为x+y10C公共弦AB的长为22DP为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为22+1【解答】解：圆O1：x2+y22x0和圆O2：x2+y2+2x4y0的交点为A，B，圆O1与圆O2公共弦AB所在的直线方程为xy0，故A正确；O1（1，0），O2（1，2），O1O2所在直线斜率为1，线段AB的中垂线的方程为y0（x1），即x+y10，故B正确；圆O1：x2+y22x0的圆心为O1（1，0），半径r11，圆心O1（1，0）到直线xy0的距离d=12=22P到直线AB距离的最大值为22+1，圆O1与圆O2公共弦AB的长为21-12=2，故C错误，D正确故选：ABD
18、（多选）12（5分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，且PAACBC1，则下列说法中正确的有（）AACPBB平面PAB平面ABCC二面角CPBA的大小为60D三棱锥PABC外接球的表面积为3【解答】A分析法：若ACPB，则有因为ACBC，PBBCB，则AC平面PBC，由此可得ACPC，这个这个结论与PAAC相矛盾，故A错误；B因为PA平面ABC，PA平面PAB，所以根据面面垂直的判定定理可得，平面PAB平面ABC，故B正确；C过点C作CC1PA，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1点所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如下图），则有A（1，0，0），B（0，1，0），P（
19、1，0，1），所以AP=（0，0，1），BP=(1，-1，1)，CB=(0，1，0)，设平面PAB的一个法向量为m=(a，b，c)，则有mAP=0mBP=0c=0a-b+c=0m=(1，1，0)，设平面CPB的一个法向量为n=(r，s，t)，则有nCB=0nBP=0s=0r-s+t=0n=(1，0，-1)，设二面角CPBA的平面角为，则有coscosm，n=12，即得 60故C正确D根据题意，可将三棱锥PABC添补为底面为正方体，则可得其外接球的直径为正方体的体对角线，即2R=3，因此可得R=32，所以外接球的表面积为S4R23（如下图）故D正确故选：BCD三、填空题（共4小题，每小题5分，满
20、分20分）13（5分）直线l1：x+my+10与直线l2：y2x1垂直，则m2【解答】解：直线l1：x+my+10与直线l2：y2x1垂直，21+（1）m0，解得m2故答案为214（5分）与圆（x2）2+（y+3）26同圆心且过点P（1，1）的圆的方程是 （x2）2+（y+3）225【解答】解：圆（x2）2+（y+3）26的圆心坐标为（2，3），所以圆的半径为：R=(2+1)2+(-3-1)2=5，故圆的方程为（x2）2+（y+3）225故答案为：（x2）2+（y+3）22515（5分）若三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直，且满足PAPBPC1，则点P到平面ABC的距离是 33【解答】解：设点P
21、到平面ABC的距离为h，在三棱锥PABC中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，三棱锥PABC是正三棱锥，ABBCAC=2，SABC=32，根据VAPBCVPABC，可得131213=1332h，h=33，即点P到平面ABC的距离为3316（5分）已知椭圆：x2a2+y2b2=1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，PF2与椭圆交于Q若PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，则椭圆的离心率为 33【解答】解：M为PF1的中点，|PM|MF1|=12|PF1|，PF1Q的内切圆与线段PF1在其中点M处相切，与PQ切于F2，由内切圆的性质可得，|PM|PF2|，
22、P为椭圆上的一点，|PF1|+|PF2|2a，|PM|=23a，|PF2|=23a，|PF1|=43a，设PF1Q的内切圆与F1Q切于C，结合内切圆的性质可得，|F1C|F1M|=23a，PF2与椭圆交于Q，|QF2|+|QF1|2a，C，F2为切点，由内切圆的性质可得，|QC|QF2|，又|F1C|=23a，|QC|QF2|=23a，PF1Q为等边三角形，2c=324a3，e=ca=33故答案为：33四、解答题（共6小题，满分70分）17（10分）已知向量a=（2，4，2），b=（1，0，2），c=（x，2，1）（1）若ac，求|c|；（2）若bc，求（a-c）（2b+c）的值【解答】解：（
23、1）ac，存在实数k使得c=ka，可得：x=2k2=4k-1=-2k，解得x1|c|=12+22+(-1)2=6；（2）bc，bc=-x+020，解得x2c=（2，2，1）（a-c）（2b+c）（4，2，1）（4，2，3）16+431518（12分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，A1ADA1AB60，DAB90，M为A1C1与B1D1的交点若AB=a，AD=b，AA1=c（1）用a，b，c表示BM；（2）求BM的长；（3）求BM与AC所成角的余弦值【解答】解：（1）BM=BB1+B1M=AA1+12B1D1=AA1+12BD=AA1+12(AD-AB)=c
24、+12(b-a)；（2）|BM|2=c+12(b-a)2=c2+cb-ca+14b2+14a2-12ba=4+2112-2112+1412+1412-12110=92，|BM|=322，即BM=322；（3）AC=a+b，|AC|2=(a+b)2=a2+b2+2ab=2，则|AC|=2，又ACBM=(a+b)c+12(b-a)=ac+bc+12ba-12a2+12b2-12ba=ac+bc=1212+1212=2cosBM，AC=BMAC|BM|AC|=23222=2319（12分）一动点到两定点距离的比值为非零常数，当1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A、B的坐标分别为：
25、A（4，0）、B（1，0），动点M满足AM2BM（1）求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；（2）过P（2，3）作该圆的切线l，求l的方程【解答】解：（1）设动点M坐标为（x，y），则AM=(x-4)2+y2，BM=(x-1)2+y2，又知AM2BM，则(x-4)2+y2=2(x-1)2+y2，得x2+y24（2）当直线l的斜率存在为k时，则直线l的方程为ykx2k+3，l与圆相切，则d=|-2k+3|k2+1=2，得k=512，此时l的方程为5x12y+260；当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x2，综上：直线l的方程为x2与5x12y+26020（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面AB
26、CD为直角梯形，ABCD，2AB2ADCD，ADCD，侧面PAD面ABCD，PAD为正三角形，E为PD中点（1）求证：AE面PBC；（2）求AE与平面PAB所成的角的大小【解答】（1）证明：取PC中点F，连接EF、BF，因为E为PD中点，所以EFCD，EF=12CD，又因为ABCD，2ABCD，所以EFAB，EFAB，所以四边形ABFE为平行四边形，所以AEBF，因为BF平面PBC，AE平面PBC，所以AE面PBC（2）解：取AD中点H，由PAD为正三角形可知PHAD，又侧面PAD平面ABCD，侧面PAD平面ABCDAD，PH平面ABCD，以HA为x轴，过H平行于DC的直线为y轴，HP为z轴，
27、建立空间直角坐标系，如图，设AB2，A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，3），E（-12，0，32），PA=（1，0，-3），AB=（0，2，0），AE=（-32，0，32），设平面PAB的法向量n=（x，y，z），则ABn=2y=0PAn=x-3z=0，取x=3，得n=（3，0，1），设AE与平面PAB所成的角的大小为，则sin|cosn，AE|=|AEn|AE|n|=323=12，30，所以AE与平面PAB所成的角的大小为3021（12分）如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC（1）证明：BCBD；（2）求二面角FCDB的正弦值【解答
28、】（1）证明：如图，过点D作DOAC，交AC与点O，连接OB，由ACD45，DOAC，所以CD=2CO，由平面ACFD平面ABC，平面ACFD平面ABCAC，DO平面ACFD，故DO平面ABC，又BC平面ABC，所以DOBC，由ACB45，BC=12CD=22CO，则BOBC，又DOBOO，DO，BO平面BDO，所以BC平面BDO，又DB平面BDO，故BCDB；（2）解：以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设CD2BC=22，则O（0，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，2），所以OC=(0，2，0)，BC=(-1，1，0)，CD=(0，-2，2)，OD=(0，
29、2，0)，设平面BCD的法向量为n=(x，y，z)，则nBC=0nCD=0，即-x+y=0-2y+2z=0，令x1，则yz1，故n=(1，1，1)，设平面FCOD的法向量为m=(a，b，c)，则mOC=0mOD=0，即2c=02b=0，令x1，则m=(1，0，0)，所以|cosm，n|=|mn|m|n|=113=33，故二面角FCDB的正弦值为1-(33)2=6322（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点（0，2），且e=22（）求椭圆C的方程；（）若直线ykx+m与椭圆C相切于点M，与直线xx0相交于点N已知点P（2，0），且PMPN，求此时x0的值【解答】解：（）由已
30、知得，e=ca=22b=a2-c2=2，解得a2=8b2=4，椭圆E的方程为x28+y24=1（）设N（x0，0），设直线方程为ykx+m，代入x28+y24=1得x2+2（kx+m）28，化简得（2k2+1）x2+4kmx+2m280，由（4km）24（2k2+1）（2m28）0，得8k2+4m20，m28k2+4，方程的解为x=-2km2k2+1=-8km，ykx+mk-8km+m=4m，则M(-8km，4m)，设N（x0，y0），则y0kx0+m，则N（x0，kx0+m），所以在x轴存在P（2，0）使MPMQPN=(x0+2，kx0+m)，PM=(-8km+2，4m)，PMPN=(x0+2)(-8km+2)+(kx0+m)4m=0，4kx016k+2x0m+8m0，x0=-(8m-16k)2m-4k=-4，所以x04第20页（共20页）
