1、2021-2022学年广东省深圳实验学校光明部高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）在空间直角坐标系中，点P（2，4，6）关于平面Oyz对称的点的坐标是（）A（2，4，6）B（2，4，6）C（2，4，6）D（2，4，6）2（5分）若直线l的方向向量为a=（1，0，2），平面的法向量为n=（2，1，1），则（）AlBlCl或lDl与斜交3（5分）已知直线l1：y3x2，直线l2：6x2y+10，则l1与l2之间的距离为（）A52B54C102D1044（5分）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，
2、M为AC与BD的交点，若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量运算不正确的是（）AB1M=-12a+12b+cBB1D=-a+b+cCA1C=a+b+cDA1M=-12a-12b+c5（5分）直线xsiny+20的倾斜角的取值范围是（）A0，4B0，34C4，2)(2，34D0，434，)6（5分）已知直线l经过两条直线2x3y+100和x+2y20的交点且垂直于直线3x2y+40，则直线l的方程为（）A2x+3y20B2x+3y+20C2x3y+100D2x3y1007（5分）若实数x，y满足x2+y2+4x2y40，则x2+y2的最大值是（）A5+3B65+14C-5+3D65
3、+148（5分）已知点P为圆（x1）2+（y2）21上动点，O为坐标原点，则向量OP在向量a=（2，1）方向上投影的最大值为（）A5B455+1C455-1D455二、多选题（每小题5分）（多选）9（5分）给出下列命题，其中正确的是（）A若AB=CD，则必有直线AB平行直线CDB对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，zR），则P，A，B，C四点共面C若ABCD=0，则直线AB与直线CD的夹角为2D若a，b，c是空间的一个基底，则a+b，b+c，c+a也是空间的一个基底（多选）10（5分）下列说法不正确的是（）A直线xy20与两坐标轴围成的三角形
4、面积是2B若三条直线x+y0，xy0，x+ay3a能构成三角形，则a的取值范围是a|a1且a1C任意一条过点P（1，2）的直线方程可表示为y2k（x1）D经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y30（多选）11（5分）以下四个命题表述正确的是（）A与圆C：（x4）2+（y+2）21关于直线3x4y+50对称的方程为（x+2）2+（y6）21B曲线C1：x2+y2+2x0与曲线C2：x2+y24x8y+m0，恰有四条公切线，则实数m的取值范围为（4，+）C圆x2+y22上有且仅有3个点到直线l：xy+10的距离等于22D已知圆C：x2+y22，P为直线x+y+23=0上一动点
5、，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为2（多选）12（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足D1F=D1C1，D1P=D1B，其中，0，1，则下列说法正确的是（）A当=12时，三棱锥PEFD的体积为定值B当=12时，四棱锥PABCD的外接球的表面积是34C若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为23，则=13D存在唯一的实数对（，），使得DP平面EFP三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）与向量（3，4，5）反向共线的单位向量是 14（5分）在棱长为2的正四面体ABCD中，点E，F分别为
6、AB，CD的中点，则E，F两点间的距离为 15（5分）若圆C的圆心（a，b）在直线x3y0上，与y轴相切，且被直线xy0截得的弦长为27，则a+b的值为 16（5分）直线l：yx+b与曲线c：y=1-x2仅有一个公共点，则b的取值范围 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）已知直线l1：ax+2y+60和直线l2：x+（a1）y+a210（）当l1l2时，求a的值；（）当l1l2时，求a的值18（12分）已知a=（1，1，0），b=（1，0，2），（1）求|2a-b|；（2）若ka+b与2a-b的夹角为钝角，求实数k的取值范围19（12分
7、）已知ABC的顶点A（5，1），边AB上的中线CM所在直线方程为2xy50，边AC上的高BH所在直线方程为x2y50求：（1）顶点C的坐标；（2）边BC的垂直平分线方程20（12分）如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60（1）求证：BF平面CDE；（2）求点D到平面BEF的距离21（12分）已知圆C：x2+y22x4y200，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m40（1）求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限；（2）直线被圆C截得的弦何时最长、何时最短？（3）求出截得的弦长最短时m的值和最短弦长22（12分）如图，平
8、面五边形PABCD中，PAD是边长为2的等边三角形，ADBC，AB2BC2，ABBC，将PAD沿AD翻折成四棱锥PABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F、M分别是AB、CE的中点，且_请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：BA（PA+PD）0；PC=7；点P在平面ABCD的射影在直线AD上（1）求证：ABFM；（2）当EF与平面PAD所成角最大时，求平面ACE与平面PAD所成角的余弦值2021-2022学年广东省深圳实验学校光明部高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
9、.1（5分）在空间直角坐标系中，点P（2，4，6）关于平面Oyz对称的点的坐标是（）A（2，4，6）B（2，4，6）C（2，4，6）D（2，4，6）【解答】解：在空间直角坐标系中，点P（2，4，6）关于平面yOz对称的点的坐标为（2，4，6），故选：A2（5分）若直线l的方向向量为a=（1，0，2），平面的法向量为n=（2，1，1），则（）AlBlCl或lDl与斜交【解答】解：根据直线l的方向向量为a=（1，0，2），平面的法向量为n=（2，1，1），有n=1（2）+210，所以n，故l或l，故选：C3（5分）已知直线l1：y3x2，直线l2：6x2y+10，则l1与l2之间的距离为（）A52
10、B54C102D104【解答】解：直线l1的方程可化为3xy20，即6x2y40；所以两平行线l1与l2之间的距离为d=|-4-1|62+(-2)2=104故选：D4（5分）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量运算不正确的是（）AB1M=-12a+12b+cBB1D=-a+b+cCA1C=a+b+cDA1M=-12a-12b+c【解答】解：由已知得：-12a+12b+c=12b+c-12a=B1M，故A正确；-a+b+c=B1A1+A1D=B1D，故B正确；a+b+c=A1C，故C正确；A1M=A1A+AM=c+12
11、AC=c+12a+12b-12a+12b+c，故D错误故选：D5（5分）直线xsiny+20的倾斜角的取值范围是（）A0，4B0，34C4，2)(2，34D0，434，)【解答】解：直线xsiny+20的斜率ksin1，1，设直线xsiny+20的倾斜角为（0），则tan1，1，解得0，434，)故选：D6（5分）已知直线l经过两条直线2x3y+100和x+2y20的交点且垂直于直线3x2y+40，则直线l的方程为（）A2x+3y20B2x+3y+20C2x3y+100D2x3y100【解答】解：解方程组：2x-3y+10=0x+2y-2=0，解得交点坐标为（2，2），直线l垂直于直线3x2y
12、+40，可设直线l的方程为：2x+3y+m0，则直线l过点（2，2），2（2）+32+m0，m2，直线l的方程为：2x+3y20，故选：A7（5分）若实数x，y满足x2+y2+4x2y40，则x2+y2的最大值是（）A5+3B65+14C-5+3D65+14【解答】解：x2+y2+4x2y40 即 （x+2）2+（y1）29，表示一个圆心在（2，1），半径等于3的圆，x2+y2表示圆上的点与原点之间的距离，原点到圆心的距离为5，结合图形知，x2+y2的最大值是5+3，故选：A8（5分）已知点P为圆（x1）2+（y2）21上动点，O为坐标原点，则向量OP在向量a=（2，1）方向上投影的最大值为（
13、）A5B455+1C455-1D455【解答】解：设P（x，y），则OPa=2x+y，所以向量OP在向量a上的投影为OPa|a|=2x+y5，令t2x+y，则原问题转化为求t的最大值，当直线2x+yt0与圆相切时，t能取得最值，此时圆心（1，2）到该直线的距离为|2+2-t|5=1，即t45，显然tmax4+5，tmin4-5，所以2x+y54+55=455+1故选：B二、多选题（每小题5分）（多选）9（5分）给出下列命题，其中正确的是（）A若AB=CD，则必有直线AB平行直线CDB对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，zR），则P，A，B，C
14、四点共面C若ABCD=0，则直线AB与直线CD的夹角为2D若a，b，c是空间的一个基底，则a+b，b+c，c+a也是空间的一个基底【解答】解：若AB=CD，则必有AB与CD共线，则直线AB平行直线CD或AB与CD重合，故A错误；对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，zR），当且仅当x+y+z1时，P，A，B，C四点共面，故B错误；ABCD=|AB|CD|cosAB，CD，若ABCD=0，则cosAB，CD=0，而AB，CD0，AB，CD=2，即直线AB与直线CD的夹角为2，故C正确；若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c不共面，假设a+b，
15、b+c，c+a共面，则存在实数，使a+b=(b+c)+(c+a)，a+b=b+a+(+)c，a，b，c不共面，=1+=0，无解，故a+b，b+c，c+a不共面，a+b，b+c，c+a也是空间的一个基底，故D正确故选：CD（多选）10（5分）下列说法不正确的是（）A直线xy20与两坐标轴围成的三角形面积是2B若三条直线x+y0，xy0，x+ay3a能构成三角形，则a的取值范围是a|a1且a1C任意一条过点P（1，2）的直线方程可表示为y2k（x1）D经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y30【解答】解：对于A选项，直线xy20与两坐标轴交点为（0，2），（2，0），直线xy
16、20与两坐标轴围成的三角形的面积是S=12222，故A正确；对于B选项，构不成三角形时，即x+ay3a，与已知直线平行或者过原点，故a1且a1且a3，故B选项错误；对于C选项，当斜率存在时，过点P（1，2）的直线可表示为y2k（x1），当斜率不存在时，x1故C选项错误；对于D选项，设直线的截距式为xa+yb=1，把点（1，2）代入，且ab，可求出直线方程为x+y30当直线过原点的时，截距也相等，可求出直线方程为y2x，故D选项错误故选：BCD（多选）11（5分）以下四个命题表述正确的是（）A与圆C：（x4）2+（y+2）21关于直线3x4y+50对称的方程为（x+2）2+（y6）21B曲线C1
17、：x2+y2+2x0与曲线C2：x2+y24x8y+m0，恰有四条公切线，则实数m的取值范围为（4，+）C圆x2+y22上有且仅有3个点到直线l：xy+10的距离等于22D已知圆C：x2+y22，P为直线x+y+23=0上一动点，过点P向圆C引一条切线PA，其中A为切点，则|PA|的最小值为2【解答】解：对A：由于点C（4，2）与点D（2，6）的中点M（1，4）不在直线3x4y+50上，故圆心不关于直线对称，选项A错误；对B：若曲线C2：x2+y2-4x-8y+m=0能够表示圆，则需满足16+644m0，解得m20，显然B选项错误；对C：圆心（0，0）到直线xy+10的距离d=22=12r，故
18、圆上存在三点到直线的距离是22C正确；对D：根据题意，显然PA2+2PC2，当PA最小时，则PC最小，其最小值为（0，0）到直线x+y+23=0的距离，即d=232=6故PA的最小值为2故D正确故选：CD（多选）12（5分）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E为线段B1C的中点，点F和点P分别满足D1F=D1C1，D1P=D1B，其中，0，1，则下列说法正确的是（）A当=12时，三棱锥PEFD的体积为定值B当=12时，四棱锥PABCD的外接球的表面积是34C若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为23，则=13D存在唯一的实数对（，），使得DP平面EFP【解答】解：对于A，当=
19、12时，所以F是D1C1的中点，连接 BC1，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以E为 BC1的中点，所以EFBD1，BD1面EFD，又点P在BD1上，所以点P到面EFD的距离为定值，所以三棱锥PEFD的体积为定值，故A正确；对于B，当=12时，点P为BD1的中点，设四棱锥PABCD的外接球的半径为r，则有r2（r-12）2+（22）2，所以r=34，所以外接球的表面积为94，故B错误；对于C，连接BD，过点P作PMBD于M，连接CM，因为B1B面ABCD，所以面BDD1B1面ABCD，面BDD1B1面ABCDBD，所以PM面ABCD，所以PCM为CP与平面ABCD所成角，由D1P=D1B
20、，所以BM=2（1），PM1，在MBC由余弦定理有CM=2(1-)2+2-1，在RtCPM中由勾股定理有PC=3(1-)2+2-1，所以sinPCM=PMPC=1-u3(1-)2+2-1=23，解得=13，故C正确对于D，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为D1F=D1C1，所以点F在D1C1上，又E在BC1上，P在BD1上，所以平面PEF即为平面BC1D1，又易证B1C平面BC1D1，所以B1C是平面BC1D1的法向量，又因为C（0，1，0），B1（1，1，1），P（，1），所以B1C=（1，0，1），DP=（，1），当B1C与DP共线时DP平面EFP，则存在t使B1C=tDP成立，
21、所以-1=t0=-1=t(1-)，方程组无解，所以不存在唯一的实数对（，），使得DP平面EFP，故D错误，故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）与向量（3，4，5）反向共线的单位向量是 （3210，225，-22）【解答】解：向量（3，4，5）的模为(-3)2+(-4)2+52=52，与向量（3，4，5）反向共线的单位向量是-152（3，4，5），即与向量（3，4，5）反向共线的单位向量是（3210，225，-22）故答案为：（3210，225，-22）14（5分）在棱长为2的正四面体ABCD中，点E，F分别为AB，CD的中点，则E，F两点间的距离为 2【解答
22、】解：在正四面体中连接BF，AF，EF，由正四面体可得BCD，ACD为全等的等边三角形，且边长为2，因为F为CD中点，所以BFAF=3，在等腰FAB中，因为E为AB中点，所以EFAB，所以EF=2，故答案为：215（5分）若圆C的圆心（a，b）在直线x3y0上，与y轴相切，且被直线xy0截得的弦长为27，则a+b的值为 4或4【解答】解：设圆半径为r，由题意可得a-3b=0r=|a|(|a-b|2)2+(7)2=r2，解得a3，b1，r3或a3，b1，故a+b的值为4或4故答案为：4或416（5分）直线l：yx+b与曲线c：y=1-x2仅有一个公共点，则b的取值范围b|-1b1或b=2【解答】
23、解：依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x21（y0）要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为1，即b2=1，b=2（2）直线过半圆的右顶点和过半圆的左边顶点之间的直线都满足过右顶点时，1+b0，b1；过左顶点时1+b0，b1，故b的范围为1b1综合得b的范围b|-1b1或b=2故答案为：b|-1b1或b=2三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17（10分）已知直线l1：ax+2y+60和直线l2：x+（a1）y+a210（）当l1l2时，求a的值；（）当l1l2时，求a的值【解答】解：（I）由a（a1）2
24、0，解得a2或1经过验证a2时两条直线重合，舍去a1（II）a1时，两条直线不垂直，舍去a1时，由l1l2时，-a2(-1a-1)=-1，解得a=2318（12分）已知a=（1，1，0），b=（1，0，2），（1）求|2a-b|；（2）若ka+b与2a-b的夹角为钝角，求实数k的取值范围【解答】解：（1）a=（1，1，0），b=（1，0，2），2a-b=（3，2，2），|2a-b|=9+4+4=17；（2）ka+b=（k1，k，2），2a-b=（3，2，2），（ka+b）（2a-b）3k3+2k45k7，ka+b与2a-b的夹角为钝角，（ka+b）（2a-b）5k70，且k2，解得k75，且k
25、2，实数k的取值范围是（，2）（2，75）19（12分）已知ABC的顶点A（5，1），边AB上的中线CM所在直线方程为2xy50，边AC上的高BH所在直线方程为x2y50求：（1）顶点C的坐标；（2）边BC的垂直平分线方程【解答】解：（1）由题意，得直线AC的方程为2x+y110，解方程组2x-y-5=02x+y-11=0，得点C的坐标为（4，3）（2）设B（x0，y0），则M（x0+52，y0+12），于是有x0+5-y0+12-50，即2x0y010，与x02y050联立，解得点B的坐标为（1，3）则kBC=3-(-3)4-(-1)=65，则BC的垂直平分线的斜率为-56，又B（1，3），
26、C（4，3），则BC中点为（32，0）所以方程为y0=-56(x-32)，即5x+6y-152=0，BC的垂直平分线方程为5x+6y-152=020（12分）如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60（1）求证：BF平面CDE；（2）求点D到平面BEF的距离【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABDC，AB平面DCE，DC平面DCE，AB平面DCE，AFDE，AF平面DCE，DE平面DCE，AF平面DCE，AB、AF平面ABF，ABAFA，平面ABF平面DCE，而BF平面ABF，BF平面CDE；（2）解：由DE平面AB
27、CD，DE平面ADEF，得平面ABCD平面ADEF，又平面ABCD平面ADEFAD，ABAD，AB平面ADEF，四边形ABCD是边长为3的正方形，BD=32，又BE与平面ABCD所成角为60，即EBD60，得DEBDtan60=36，而DE3AF，AF=6，可得BF=32+(6)2=15，BE=(36)2+(32)2=62，EF=32+(26)2=33，则cosBFE=BF2+EF2-BE22BFEF=15+33-7221533=-455，sinBFE=1-(-455)2=3955SBEF=1215333955=3392，SDFE=12363=962，设点D到平面BEF的距离为h，由VBDFE
28、VDBEF，得139623=133392h，解得h=92613故点D到平面BEF的距离为9261321（12分）已知圆C：x2+y22x4y200，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m40（1）求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限；（2）直线被圆C截得的弦何时最长、何时最短？（3）求出截得的弦长最短时m的值和最短弦长【解答】（1）证明：直线方程即：m（2x+y7）+（x+y4）0，联立方程2x+y-7=0x+y-4=0可得x=3y=1，则直线恒过定点P（3，1），即直线l总经过第一象限（2）解：由圆的方程可知圆心坐标为C（1，2），由圆的性质可知当弦经过圆心时，弦最长，当弦与直线PC垂
29、直时，弦最短（3）解：由斜率公式可得kPC=2-11-3=-12，则满足题意的斜率k2，从而：-2m+1m+1=2，解得m=-34，圆的方程为（x1）2+（y2）225，|PC|=4+1=5，则最短弦长为225-5=4522（12分）如图，平面五边形PABCD中，PAD是边长为2的等边三角形，ADBC，AB2BC2，ABBC，将PAD沿AD翻折成四棱锥PABCD，E是棱PD上的动点（端点除外），F、M分别是AB、CE的中点，且_请从下面三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并作答：BA（PA+PD）0；PC=7；点P在平面ABCD的射影在直线AD上（1）求证：ABFM；（2）当EF与平面PA
30、D所成角最大时，求平面ACE与平面PAD所成角的余弦值【解答】（1）证明：取AD，CD的中点分别为O，G，连接PO，FG，EG，选择：因为BA(PA+PD)=0，PA+PD=2PO，所以BAPO=0，即BAPO，又BAAD，ADPOO，所以BA平面PAD，因为M，G分别为CE，CD的中点，所以MGPD，且MG平面PAD，PD平面PAD，所以MG平面PAD，同理可得：FG平面PAD，因为MGFGG，所以平面FGM平面PAD，所以BA平面FGM，又FM平面FGM，所以BAFM；选择：连接OC，则OCAB2，OP=3，因为PC=7，PC2OP2+OC2，所以BAPO，又BAAD，ADPOO，所以BA
31、平面PAD，因为M，G分别为CE，CD的中点，所以MGPD，且MG平面PAD，PD平面PAD，所以MG平面PAD，同理可得：FG平面PAD，因为MGFGG，所以平面FGM平面PAD，所以BA平面FGM，又FM平面FGM，所以BAFM；选择：因为点P在平面ABCD的射影在直线AD上，所以平面PAD平面ABCD，因为平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，ADPO，所以OP平面ABCD，所以BAPO，又BAAD，ADPOO，所以BA平面PAD，因为M，G分别为CE，CD的中点，所以MGPD，且MG平面PAD，PD平面PAD，所以MG平面PAD，同理可得：FG平面PAD，因为MGFGG，所以平面
32、FGM平面PAD，所以BA平面FGM，又FM平面FGM，所以BAFM；（2）解：连接AE，EF，由（1）可知：AB平面PAD，所以AEF即为EF与平面PAD所成的角，因为tanAEF=AFAE=1AE，所以当AE最小时，AEF最大，所以当AEPD，即E为PD中点，AE最小，以点O为坐标原点，以OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，1，0），E（0，12，32），C（2，0，0），所以AE=（0，32，32），AC=（2，1，0），设平面CAE的法向量为m=（x1，y1，z1），则32y1+32z1=02x1+y1=0，令z1=3，得m=（12，1，3）， 由题意可知：平面PAD的法向量为n=（1，0，0），所以cosm，n=mn|m|n|=1717，所以平面ACE与平面PAD所成角的余弦值为1717第20页（共20页）
