1、第第9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换THE LAPLACE TRANSFORM4.双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；本章基本内容：本章基本内容：1.双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2.双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；5.系统函数；系统函数；6.单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；3.零极点图；零极点图；9.0 引言引言 Introduction 傅里叶变换是以复指数函数的特例傅里叶变换是以复指数函数的特例 和和 为基底分解信号的。对更一般的复指数函数为基底分解信号的。对更一般的复指数函数 和和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。也理应能以此为基底对信号进
2、行分解。jtejnestenz 傅里叶分析方法之所以在信号与傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数复指数函数是一切函数是一切 LTI 系统的特征函数。系统的特征函数。通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和通过本章及下一章，会看到拉普拉斯变换和变变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能仅能解决解决用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析
3、问题，而且还能分析问题，而且还能用于用于傅里叶分析方法不适用的傅里叶分析方法不适用的许多方面。许多方面。拉普拉斯变换与拉普拉斯变换与变换的分析方法是傅变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。9.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 复指数信号复指数信号 是一切是一切LTI系统的特征函数。系统的特征函数。如果如果LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为 ，则系统对，则系统对 产生的响应是产生的响应是:ste()
4、h tste()()sty tH s e()()stH sh t edt，其中，其中显然当显然当 时，就是连续时间傅里叶变换。时，就是连续时间傅里叶变换。sjThe Laplace Transform一一.双边拉氏变换的定义：双边拉氏变换的定义：()()stX sx t edt称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换，其中，其中 。()x tsj若若 ，则有则有:0sj()()j tXjx t edt 这就是这就是 的傅里叶变换。的傅里叶变换。()x t表明：表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在在 或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。0j()()()
5、tj ttj tX sx t eedtx t eedt()tx t e F由于由于 所以所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广拉氏变换是对傅里叶变换的推广，的的拉氏变换就是拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合的傅里叶变换。只要有合适的适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。这表明明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。()x tte()tx t e()()atx teu
6、 t例例1.()001()atsts a tX seedtedtsaRe sa 在在 时，积分收敛。时，积分收敛。当当 时，时，的傅里叶变换存在的傅里叶变换存在()x t0a 01()atj tX jeedtaj(0)a 显然，在显然，在 时，拉氏变换收敛的区域为时，拉氏变换收敛的区域为 ，包括了，包括了 （即（即 轴）。轴）。0aRe sa 0j比较比较 和和 ，显然有，显然有 ()X j()X s()()sjX sX j当当 时，时，()()()atx teu tu t0a 1()u ts可知可知Re 0s 例例2.()()atx teut 00()1()atsts a tX se e d
7、tedts a Re sa 与例与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。比较，区别仅在于收敛域不同。由以上例子，可以看出由以上例子，可以看出:1.拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。的任何复数都能使拉氏变换收敛。2.使拉氏变换积分收敛的那些复数使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称的集合，称为拉氏变换的为拉氏变换的收敛域收敛域。拉氏变换的拉氏变换的收敛域收敛域 ROC（Region of Convergence）对拉氏变换）对拉氏变换是
8、非常重是非常重要的概念。要的概念。3.不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。式，只是它们的收敛域不同。j()()s jX jX s5.如果拉氏变换的如果拉氏变换的ROC包含包含 轴，则有轴，则有4.只有只有拉氏变换的表达式拉氏变换的表达式连同连同相应的收敛域相应的收敛域，才，才能和信号建立一一对应的关系能和信号建立一一对应的关系。二二.拉氏变换的拉氏变换的ROC及零极点图：及零极点图：2()()()ttx te u te u t例例3.200()tsttstX se edteedt1(),1te u tsRe 1s 21(),
9、2teu tsRe 2s 1j2j可见：可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分分。ROC总是以平行于总是以平行于 轴的直线作为边界的，轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与的边界总是与 的的分母的根分母的根相对应的。相对应的。j()X sRe 1s 若若 是有理函数是有理函数()X s()()()()()iiiisN sX sMD ssj2121123(),1232sX sssss 分子多项式的根称为分子多项式的根称为零点零点，分母多项式的根，分母多项式的根称为称为极点极点。将将 的全部零点和极点表示在的全部零点和极点表示在S平面上，平面上，就构成了就
10、构成了零极点图零极点图。零极点图及其收敛域可以。零极点图及其收敛域可以表示一个表示一个 ，最多与真实的，最多与真实的 相差一个常相差一个常数因子数因子 。()X s()X s()X sM因此，因此，零极点图是拉氏变换的图示方法零极点图是拉氏变换的图示方法。9.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域v可以归纳出可以归纳出ROC的以下性质：的以下性质：The Region of Convergence for Laplace Transformsj4.右边信号的右边信号的ROC位于位于S平面平面内一条平行于内一条平行于 轴的直线的右边。轴的直线的右边。3.时限信号的时限信号的ROC是整个是整个 S
11、平面。平面。2.在在ROC内内无任何极点无任何极点。j1.ROC是是 S 平面上平行于平面上平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。5.左边信号的左边信号的ROC位于位于S平面内一条平行于平面内一条平行于 轴的直线的左边。轴的直线的左边。j6.双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j0()tTx t edt 若若 ，则，则101()tTx t edt010100()()()()ttTTtTx t eedtex t edt1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。若若 是右边信号是右边信号,在在ROC内内，则有则有 绝对可
12、积，即：绝对可积，即：00()tx t e()x tTt 5.左边信号的左边信号的ROC位于位于S平面内一条平行于平面内一条平行于 轴的直线的左边。轴的直线的左边。j 若若 是左边信号，定义于是左边信号，定义于 ,在在 ROC 内，内，则，则100()x t(,T0101()()()TTtttx t edtx t eedt100()()TTtex t edt 1表明表明 也在收敛域内。也在收敛域内。6.双边信号的双边信号的ROC如果存在，一定是如果存在，一定是 S 平面内平面内平行于平行于 轴的带形区域。轴的带形区域。j0()()0()11TatstTs a ts a TX seedtedte
13、sa 例例1.(时限信号时限信号)()x t ate0其它其它0tT t考查零点，令考查零点，令()1s a Te 例例2.()b tx te()()()btbtx teu te ut有极点有极点sa()X s 显然显然 在在 也有一阶零点，由于零极也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个点相抵消，致使在整个S平面上无极点。平面上无极点。sa()X s2sajkT 得得（k为整数）为整数）当当 时，上述时，上述ROC有公共部分，有公共部分，0b11()X ssbsbRe bsb 当当 时，上述时，上述 ROC 无公共部分，表明无公共部分，表明 不存在。不存在。0b()X s1(),bte u
14、tsb Re sb 1(),bteu tsbRe sbbjb 当当 是有理函数时，其是有理函数时，其ROC总是由总是由 的的极点分割极点分割的。的。ROC必然满足下列规律：必然满足下列规律：()X s()X s3.双边信号的双边信号的ROC可以是任意可以是任意两相邻极点之间两相邻极点之间的带形区域的带形区域。()X s2.左边信号左边信号的的ROC一定位于一定位于 最左边极点最左边极点的左边。的左边。()X s1.右边信号右边信号的的ROC一定位于一定位于 最右边极点最右边极点的右边。的右边。例例3.21()321112X sssss可以形成三种可以形成三种 ROC：ROC：ROC：1)ROC
15、：Re 2s Re 1s 2Re 1s j12()x t此时此时 是是右边信号右边信号。()x t此时此时 是是左边信号左边信号。()x t此时此时 是是双边信号双边信号。11()12Xsss21:Re 2ROC()2tseu ts 在三种在三种 ROC下：下：ROC：1)ROC：Re 2s Re 1s ()x t此时此时 是是右边信号右边信号。tuesROCst-1-Re:11 tuetuetxtt2-tuesROCst-2-Re:11-tuesROCst-2-Re:212-1:Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC()2tseu ts 2()()()ttx teu te
16、ut tuetuetxtt-2-ROC:2Re 1s The Inverse Laplace Transform 一一.定义：定义：由由()()stX sx t edt若若 在在ROC内，则有内，则有:sj()()()tj ttXjx t eedtx t eF1()()2tj tx t eXjed11()()()22tj tstx tXje e dX s e d9.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 当当 从从 时时,从从sjj 由由sjdsjd得得 拉氏反变换表明拉氏反变换表明:可以被分解成复振幅为可以被分解成复振幅为 的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。()x t1()2X s
17、 dsjste1()()2jstjx tX s e dsj 的反变换的反变换()X s二二.拉氏反变换的求法拉氏反变换的求法:对有理函数形式的对有理函数形式的 求反变换一般有两种方求反变换一般有两种方法法,即即部分分式展开法部分分式展开法和和留数法留数法。()X s 1.将将 展开为部分分式。展开为部分分式。()X sv 部分分式展开法部分分式展开法：3.利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。对每一项进行反变换。()X s2.根据根据 的的ROC，确定每一项的，确定每一项的ROC。1,2ss 极点：极点：确定其可能的收敛域及所对应信号的属
18、性。确定其可能的收敛域及所对应信号的属性。1()(1)(2)X sss例例1.右边信号右边信号12j左边信号左边信号12j双边信号双边信号12j例例2.1()(1)(2)X sssROC:2Re 1s 11()12Xsss1:Re 1()R1OCtse uts 21:Re 2ROC()2tseu ts 2()()()ttx teu te ut 1.求出求出 的全部极点。的全部极点。()X sv 留数法留数法（当（当 是有理函数时）：是有理函数时）：()X s()stX s e()x t3.求出求出 在在 ROC 右边右边的所有极点处的留的所有极点处的留数之和，数之和，并加负号并加负号，它们构成
19、了，它们构成了 的反因果的反因果部分。部分。()stX s e()x t2.求出求出 在在 ROC 左边左边的所有极点处的留的所有极点处的留数之和，它们构成了数之和，它们构成了 的因果部分。的因果部分。例例3.1()12X sss:2ReO1RCs 12()Res(),Res(),ststx tX s esX s es 12211()()21()()ststsstteuteu tsse ute u t ()X s 的极点的极点 位于位于ROC的右边，的右边，位位于于ROC的左边。的左边。22s 11s v可以用零极点图表示可以用零极点图表示 的特征的特征。当。当ROC包包括轴时，以括轴时，以
20、代入代入 ，就可以得，就可以得到到 。以此为基础可以用几何求值的方法。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得从零极点图求得 的特性。这在的特性。这在定性分析定性分析系统频率特性时有很大用处。系统频率特性时有很大用处。()X sjsj()X j()X j()X sGeometric Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值由零极点图对傅里叶变换几何求值()X ssa1.单零点情况：单零点情况：矢量矢量 称为称为零点矢量零点矢量，它的长度，它的长度 表示表示 ,其幅角即为其幅角
21、即为 。1()X s1sa 1|sa1sa0a1sj 零点零点 ,要求出要求出 时的时的 ，可以，可以作两个矢量作两个矢量 和和 ，则，则 。1ss11()()X ssa 1()X s1sasa1sa 1sX1(),X ssa极点极点sa111()X ssa 直接由极点向直接由极点向 点作矢量（称为点作矢量（称为极点矢量极点矢量），），其长度的倒量为其长度的倒量为 ,幅角的负值为幅角的负值为 。1s1()X s2.单极点情况：单极点情况：1sa0a1sj1sa assX11-1sX 因此有因此有:111()iiiisX sMs 对有理函数形式的对有理函数形式的()X s()()()iiiisN
22、 sX sMD ss111()iiiisX sMs3.一般情况：一般情况：iiiisssX111 即：从所有零点向即：从所有零点向 点作点作零点矢量零点矢量，从所有极，从所有极点向点向 点作点作极点矢量极点矢量。所有零点矢量的长度之积。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为除以所有极点矢量的长度之积即为 。所有。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为和即为 。1s1()X s1s 当当 取为取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的轴上的点时，即为傅里叶变换的几何求值。几何求值。考查考查 在在 轴上移动时所有零、极轴上移动时所有零、
23、极点矢量的长度和幅角的变化点矢量的长度和幅角的变化，即可得出，即可得出 的的幅频特性和相频特性。幅频特性和相频特性。1s1sjj()X j 1sX例例1.一阶系统：一阶系统：1()(),th teu t1/(),(1/)H ss1Re s()()()dy ty tx tdt 随着随着 ，单调下降，单调下降，()H j1时时,下降到最大值的下降到最大值的12最大值在最大值在 时取得。时取得。0j1/11/|()|H j1/2相位特性：当相位特性：当 时，时，0 随着随着 ，趋向于趋向于 。/2/2则则 趋向趋向于于 。1/1/0jHjHjHjH例例2.二阶系统：二阶系统：12()(),c tc
24、th tM eeu t21,21nnc 221nM2222()()2()()()nnnd y tdy ty tx tdtdx t222212()2nnnnH sssscsc111/21/221nj21njn221n 1.当当 时，时，有两个实数极点，此时系有两个实数极点，此时系统处于统处于过阻尼状态过阻尼状态。起主要作用。随着起主要作用。随着 ,两极点相向移动，向两极点相向移动，向 处靠拢。处靠拢。n1c1()H s 2.当当 时，两极点重合于时，两极点重合于 处，成为二处，成为二阶极点。系统处于阶极点。系统处于临界阻尼状态临界阻尼状态。1n 3.进一步减小，则二阶进一步减小，则二阶 极点分裂
25、为极点分裂为共轭复数共轭复数极点，极点，且随且随 的减小而逐步靠近的减小而逐步靠近 轴。极点运轴。极点运动的轨迹动的轨迹根轨迹是一个半径为根轨迹是一个半径为 的圆周的圆周。jn 此时系统处于此时系统处于欠阻尼状态欠阻尼状态，随着，随着 ，位于第，位于第2象限的极点矢量比第象限的极点矢量比第3 象限的极点矢量更短，因象限的极点矢量更短，因此它对系统特性的影响较大（被称为此它对系统特性的影响较大（被称为主极点主极点）。）。当当 时，由于该极点矢量变得很短，因而时，由于该极点矢量变得很短，因而 会使会使 出现峰值。其峰点位于出现峰值。其峰点位于 处，处，1/2()H j212n max21()21H
26、 j峰值为峰值为 在在 时，若认为时，若认为主极点矢量主极点矢量增长增长 倍倍时，对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以时，对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以近似确定此时的系统带宽约为近似确定此时的系统带宽约为 。1/222nn2n21nj04.当当 时，两极点分别位于时，两极点分别位于 轴上的轴上的 处，此时系统处于处，此时系统处于无阻尼状态无阻尼状态。0jnj 系统的相位特性也可以从零极点图得到。此系统的相位特性也可以从零极点图得到。此时，只需考察当动点沿时，只需考察当动点沿 轴移动时所有极点轴移动时所有极点矢量和所有零点矢量的幅角变化，用所有零点矢量和所有零点矢量的幅角变化，用所有零
27、点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和，矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和，即可得到系统的相位特性。即可得到系统的相位特性。j例例3.全通系统：全通系统：考查零极点对称分布的系统考查零极点对称分布的系统()saH ssa（一阶全通系统（一阶全通系统）v 该系统的该系统的 在任何时候都等于在任何时候都等于1 1，所以，所以 称为称为全通系统全通系统。()H j|()|H j1jaaj1v 其相位特性其相位特性全通系统的零极点分布呈四角对称特征。全通系统的零极点分布呈四角对称特征。j三阶全通系统三阶全通系统全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡。-2-
28、111jH可以不讲例可以不讲例4.最小相位系统：最小相位系统：考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关考察两个系统，它们的极点相同，零点分布关于于 轴对称。其中一个系统的零点均在左半平轴对称。其中一个系统的零点均在左半平面，另一个系统的零点均在右半平面。面，另一个系统的零点均在右半平面。jjj 显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半平面的系统。因此将平面的系统。因此将零极点均位于左半平面的零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系统。系统称为最小相位系统。工程应用中设计的各种频率
29、选择性滤波器，工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，如：如：Butterworth、Chebyshev、Cauer滤波器滤波器都是最小相位系统。都是最小相位系统。当工程应用中要求实现一个非最小相位系统当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通系统级联来实现。系统级联来实现。从本质上讲从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点系统的特性是由系统的零、极点分布决定的分布决定的。对系统进行优化设计，实质上就。对系统进行优化设计，实质上就是优化其零、极点的位置。是优化其零、极点的位置。最小相位系统最小相位系统全通系统全通系统j最小
30、相位系统最小相位系统j全通系统全通系统j非最小相位系统非最小相位系统Properties of the Laplace Transform1212()()()()ax tbx taXsbXs则则ROC至少是至少是12RR9.5 拉氏变换的性质拉氏变换的性质v 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于性质。这里只着重于ROC的讨论。的讨论。1.线性（线性（Linearity）：）：11()(),x tXs1ROC:R22()(),x tXs2ROC:R若若112()1,11sX sss ROC:1 21(),1XssROC:1 12()()1x
31、tx tt而而ROC扩大为整个扩大为整个S平面。平面。当当 与与 无交集时，表明无交集时，表明 不存在。不存在。1R2R()X s例例.1()tx tte u t 2()tx te u t（原因是出现了（原因是出现了零极点相抵消的零极点相抵消的现象）现象）2.时移性质（时移性质（Time Shifting）:()(),x tX sROC:R若若00()(),stx ttX s eROC不变不变则则3.S域平移（域平移（Shifting in the s-Domain）:()(),x tX sROC:R若若则则00()(),s tx t eX ss0ReROC:Rs 表明表明 的的ROC是将是将
32、 的的ROC平移了平移了一个一个 。这里是指。这里是指ROC的边界的边界平移平移。0()X s s()X s0Res例例.(),tx te u t1(),1X ss1 23()1(2)3ttx tee u tX ss显然显然ROC:3 Re sa R 4.时域尺度变换（时域尺度变换（Time Scaling）:ROC:R()(),x tX s若若1()()sx atXaaROC:aR则则例例.1()(),1tx te u tX ss1 2()2ttxe u t求求 的拉氏变换及的拉氏变换及ROC当当 时时 收敛，收敛，时时 收敛收敛R()sXaRRe sa()X s12(),1212X sss
33、1ROC:2 可见：可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在在S平面上作相反的尺度变换。平面上作相反的尺度变换。()(),xtXsROC:R例例5.共轭对称共轭对称性性（Conjugation）：）：()(),x tXsROC:R()(),x tX sROC:R若若则则 如果如果 是实信号，且是实信号，且 在在 有极点（或零有极点（或零点），则点），则 一定在一定在 也有极点（或零点）。这也有极点（或零点）。这表明：表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现成对出现。()x t()X s0s()X s0s当当
34、 为实信号时，有：为实信号时，有：()x t()()x tx t由此可得以下由此可得以下重要结论重要结论：()()X sX s()()XsX s或或1212()()()()x tx tX s XsROC:12RR包括包括 6.卷积性质卷积性质:（Convolution Property）11()(),x tXs1ROC:R22()(),x tXs2ROC:R若若则则121RR显然有显然有:例例.11(),1X ss21(),23sX sss1ROC:1R 2ROC:2R 121()(),23X s Xsss2,ROC扩大扩大 原因是原因是 与与 相乘时，发生了零极点相相乘时，发生了零极点相抵消
35、的现象。当被抵消的极点恰好在抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边的边界上时，就会使收敛域扩大。界上时，就会使收敛域扩大。2()X s1()X s7.时域微分时域微分:（Differentiation in theTime Domain）()(),dx tsX sdt()(),x tX sROC:RROC包括包括R,有可能扩大。有可能扩大。若若则则8.S域微分域微分:（Differentiation in the s-Domain）()(),x tX s()(),dX stx tds若若则则ROC:RROC:R21()()X ssaROC:a 例例.求求()x t211()()dsadss
36、a()()atx tteu t 9.时域积分时域积分:（Integration in the Time Domain）()(),x tX sROC:R若若1()()txdX ssROC:包括包括(Re 0)Rs 则则()()()txdx tu t1()()txdX ssROC:包括包括(Re 0)Rs 如果如果 是是因果信号因果信号，且在，且在 不包含奇异函不包含奇异函数，则数，则()x t0t(0)lim()sxsX s初值定理初值定理()()()x tx t u t0t()0 x t 时时 ，且在，且在 不包含奇异函数。不包含奇异函数。0t 证明证明:将将 在在 展开为展开为Taylor级
37、数有：级数有：()x t0t 10.初值与终值定理初值与终值定理:（The Initial-and Final-Value Theorems)2()()(0)(0)(0)(0)()2!nnttx txxtxxu tn对上式两边做拉氏变换：对上式两边做拉氏变换：()21111()(0)(0)(0)nnX sxxxsss()101(0)nnnxslim()(0)ssX sx 如果如果 是是因果信号因果信号，且在，且在 不包含奇异不包含奇异函数，函数，除了在除了在 可以有单阶极点外，其可以有单阶极点外，其余极点均在余极点均在S平面的左半边，则平面的左半边，则()x t0t()X s0s0lim()l
38、im()tsx tsX s终值定理终值定理0000()()()()ststststdx tedtedx tdtx t esx t edt是因果信号，且在是因果信号，且在 无奇异函数无奇异函数,()x t0t 证证:的实部的实部 可以大于零，因此可以大于零，因此s0()(0)stx t ex 除了在除了在 可以有一阶极点外，其它可以有一阶极点外，其它极点均在极点均在S平面平面的左半平面（即的左半平面（即保证保证 有终有终值值），），故故 的的ROC中必包含中必包含 轴。表明：轴。表明：()X s0s()x t()sX sj当当 时，时，0lim()lim()tsx tsX s0s ssXx0上式
39、右边 0lim000 xtxtdxdtedttdxtsst上式左边极点在极点在S平面的分布与信号终值的关系平面的分布与信号终值的关系Some Laplace Transform Pairs9.6 常用拉氏变换对常用拉氏变换对 S1()ateu tas 1()nt u t1!nsn)(t1)(0tt 0ste()u tAnalysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一.系统函数的概念：系统函数的概念：以卷积特性为基础，可以建立以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉系统的拉氏变换分析方法，即氏变换分析方法
40、，即()()()Y sX sH s 其中其中 是是 的拉氏变换，称为的拉氏变换，称为系统函数系统函数或或转移函数、传递函数转移函数、传递函数。()H s()h t9.7 用拉氏变换分析与表征用拉氏变换分析与表征LTI系统系统()()()Y jX jH j 这就是这就是LTI系统的傅里叶分析。系统的傅里叶分析。即是系统即是系统的的频率响应频率响应。()H j 这些方法之所以成立的本质原因在于这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函复指数函数是一切数是一切LTI系统的特征函数系统的特征函数。当以。当以 为基底为基底分解信号时，分解信号时，LTI系统系统对输入信号的响应就是对输入信号的响应就是j t
41、e 如果如果 的的ROC包括包括 轴，则轴，则 和和 的的ROC必定包括必定包括 轴，以轴，以 代入，即有代入，即有j()X s()H sjsj()Y s 连同相应的连同相应的ROC也能完全描述一个也能完全描述一个LTI系系统。系统的许多重要特性在统。系统的许多重要特性在 及其及其ROC中一定中一定有具体的体现。有具体的体现。()H s()H s()()X jH jste()()X sH s ；而以而以 为基底分解信号时，系为基底分解信号时，系统的输出响应就是统的输出响应就是 。二二.用系统函数表征用系统函数表征LTI系统：系统：1.因果性：因果性：如果如果 时时 ，则，则系统是因果的系统是因
42、果的。0t()0h t 如果如果 时时 ，则，则系统是反因果的系统是反因果的。()0h t 0t 因此，因此，因果系统因果系统的的 是右边信号，其是右边信号，其 的的ROC必是最右边极点的右边必是最右边极点的右边。由于。由于反因果系反因果系统统的的 是左边信号，其是左边信号，其 的的ROC必是最必是最左边极点的左边。左边极点的左边。()H s()h t()h t()H s 应该强调指出，由应该强调指出，由ROC的特征，反过来并不的特征，反过来并不能判定系统是否因果。能判定系统是否因果。ROC是最右边极点的右是最右边极点的右边并不一定系统因果边并不一定系统因果。2.稳定性：稳定性：如果系统稳定，
43、则有如果系统稳定，则有 。因。因此此 必存在。意味着必存在。意味着 的的ROC必然包必然包括括 轴。轴。()h tdt()H s()H jj()H s只有当只有当 是有理函数时，逆命题才成立。是有理函数时，逆命题才成立。综合以上两点，可以得到：综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于，其全部极点必须位于S平面的左半边。平面的左半边。()H s例例1.某系统的某系统的 显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。2()()()tth te u teu t21123(),1232sH sssssROC:Re 1s 显然，显然，ROC
44、是最右边极点的右边。是最右边极点的右边。ROC包括包括 轴轴j系统也是稳定的。系统也是稳定的。的全部极点都在的全部极点都在S平面的左半边。平面的左半边。()H s例例2.若有若有(),1seH ssRe 1s 的的ROC是最右边极点的右边，但是最右边极点的右边，但 是非有理函数，是非有理函数，系统是非因系统是非因果的果的。()H s()H s(1)()(1)th teu t 由于由于ROC包括包括 轴，该系统仍是稳定的。轴，该系统仍是稳定的。j而对系统而对系统(),1seH ssRe 1s 仍是非有理函数，仍是非有理函数，ROC是最右边极点的右是最右边极点的右边，边，但由于但由于 ，系统是因果
45、的。，系统是因果的。()H s(1)()(1)th teu t果的处不为零，因此是非因系统在0s1结结 论：论：如果如果LTI系统的系统的系统函数是有理函数系统函数是有理函数，且全部，且全部极点位于极点位于S平面的左半平面，则系统是因果、平面的左半平面，则系统是因果、稳定的。稳定的。2.如果如果LTI系统的系统的系统函数是有理函数系统函数是有理函数，且系统，且系统因果，则系统函数的因果，则系统函数的ROC是最右边极点的右是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最是最左边极点的左边。左边极点的左边。3.如果如果LTI系统是稳定的，则系统函数的系统是稳定
46、的，则系统函数的ROC必然必然包括包括 轴。轴。j三三.由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统函数：系统的系统函数：对对00()()kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt做拉氏变换，可得做拉氏变换，可得00()()(),()()NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一个有理函数是一个有理函数的的ROC需要由系统的相关特性来确定。需要由系统的相关特性来确定。()H s1）如果）如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件，具有一组全部为零的初始条件，则则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。()H s2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统
47、是因果的，则描述的系统是因果的，则 的的ROC必是最右边极点的右边。必是最右边极点的右边。()H s3）如果已知）如果已知LCCDE描述的系统是稳定的，则描述的系统是稳定的，则 的的ROC 必包括必包括 轴。轴。()H sj四四.系统特性与系统函数的关系系统特性与系统函数的关系:自学。请关注例自学。请关注例9.25、9.26、9.27 五五.Butterworth滤波器滤波器:通常通常Butterworth滤波器的特性由频率响应的滤波器的特性由频率响应的模平方函数给出。对模平方函数给出。对N阶阶 Butterworth低通滤波低通滤波器有：器有：221()1/NcB j（N为滤波器的阶数）为滤
48、波器的阶数）由于由于2()()()B jB jBjButterworth滤波器的冲激响应应该是实信号，滤波器的冲激响应应该是实信号，()()BjBj将将 函数拓展到整个函数拓展到整个S平面有：平面有：2()B j21()()1(/)NcB s Bssj共有共有2N个极点个极点12(1)()kj sNkcksjs e(0,1,21)kN 表明表明N阶阶Butterworth低通滤波器模平方函数的低通滤波器模平方函数的全部全部2N个极点均匀分布在半径为个极点均匀分布在半径为 的圆周上的圆周上。c极点分布的特征：极点分布的特征：极点分布总是关于原点对称的。极点分布总是关于原点对称的。/N 相邻两极点
49、之间的角度差为相邻两极点之间的角度差为 。j 轴上不会有极点。当轴上不会有极点。当N为奇数时在实轴上为奇数时在实轴上 有极点，有极点，N为偶数时实轴上无极点。为偶数时实轴上无极点。c 2N个极点等间隔均匀分布在半径为个极点等间隔均匀分布在半径为 的圆周的圆周上。上。要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此要实现的滤波器应该是因果稳定系统，因此位于左半平面的位于左半平面的N个极点一定是属于个极点一定是属于 的。的。()B s()B s 据此，确定出据此，确定出 后，也就可以综合出一个后，也就可以综合出一个Butterworth 滤波器。滤波器。9.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属
50、性与方框图表示System Function Algebra and Block Diagram Representations一一.系统互联时的系统系统互联时的系统函数函数：1.级联：级联：12()()()H sH sHsROC:12RR包括包括3.反馈联结：反馈联结：1()()()()X sX sG s Y s11()()()Y sX s H s1()()()()X sG s Y s H s2.并联：并联：12()()()H sH sHsROC:12RR包括包括11()()()()1()()Y sH sH sX sG s H sROC:12RR包括包括二二.LTI系统的级联和并联型系统的级
