1、讲座讲座1 1、值域（最值）问题常见类型、值域（最值）问题常见类型 及解法及解法 函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样
2、的，但是有许多方法是类似的，下面就这些方法逐一举例说明。许多方法是类似的，下面就这些方法逐一举例说明。一、直接法：一、直接法：典例导悟二、配方法二、配方法【理论阐释理论阐释】利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=y=af(x)af(x)2 2+bf(x)+c(a0)+bf(x)+c(a0)的函数的值域与最值。的函数的值域与最值。典例导悟【理论阐释理论阐释】判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有
3、一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0 0的讨论。的讨论。三、三、判别式法（判别式法（法）：法）：典例导悟 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法。判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至判别式法。判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0 0的的讨论。讨论。四、换元法：四、换元法：【理论阐释理论阐释】当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远
4、）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个或时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个或几个新的量来代替原来的量，掌握它的关键在于通过观几个新的量来代替原来的量，掌握它的关键在于通过观察、联想、发现并构造出变换式（或新元换旧式、或新察、联想、发现并构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。式换旧元、或新式换旧式）。典例导悟五、五、基本不等式法：基本不等式法：典例导悟典例导悟典例导悟六、函数的单调性法：六、函数的单调性法：【理论阐释理论阐释】在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。知区间上的
5、单调情况。典例导悟七、数形结合法：七、数形结合法：【理论阐释理论阐释】适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.典例导悟八、求导法：八、求导法：【理论阐释理论阐释】求函数最值的步骤：求函数最值的步骤：在闭区间在闭区间aa，bb上连续，在（上连续，在（a a，b b）内可导，）内可导，f f（x x）在）在aa，bb上求最大值与最小值的步骤：求上求最大值与最小值的步骤：求f f（x x）在（）在（a a，b b）内的极值；将）内的极值；将f f（x x）的各极值与）的各极值与f f（a a）、）、f f（b b）比）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。典例导悟
