1、第 1 页 共 31 页 解析几何中解析几何中若干若干经典结论经典结论及其应用及其应用结论部分结论部分 一、定点类结论 结论 1 设 AB 是圆锥曲线 C 的弦，点 A 关于 x 轴的对称点 A （点 A ，B 不重合） ，且 AB 过点 P（t，0） （1）若曲线 C 为椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab ，则直线 A B 过定点 Q 2 (0) a t ，； （2）若曲线 C 为双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，则直线 A B 过定点 Q 2 (0) a t ，； （3）若曲线 C 为抛物线 2 2(0)ypx p，则直线 A B 过定点 Q(0)t
2、， 结论 2 过圆锥曲线上的一个定点 00 ()M xy，任作两条互相垂直的弦 MP，MQ，若曲线为非 等轴双曲线，则直线 PQ 必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线 PQ 斜率为定值 （1）若 M 在椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上，则 PQ 过定点 2222 00 2222 abab xy abab ，； （2）若 M 在双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，上， 当ab时， PQ 过定点 2222 00 2222 abab xy abab ，； 当ab时， PQ 的斜率为 0 0 y x ； （3）若 M 在抛物线 2 2(0)ypx p上，则 P
3、Q 过定点 00 (2)xpy， 结论 3 A，B 是抛物线 2 2(0)ypx p上异于顶点的两动点，点 00 ()M xy，为抛物线上 一定点，过 M 作两条弦 MA，MB （1）若 MA MB kkm（非零常数） ，则直线 AB 过定点 00 2p xy m ，； （2）若 MAMB kkn（非零常数） ，则直线 AB 过定点 0 00 22yp xy nn ，； （3） 若直线 MA， MB 的倾斜角分别为， 且(0)为定值， 当， 变化时，直线 AB 过定点 0 00 22 2 tantan yp xpy ， 一般结论：A，B 是圆锥曲线上两动点，点M为其上一定点，MA，MB 的倾斜
4、角分 别为，则以下条件均可得出直线 AB 过定点： MA MB kkm（非零常数） ； MAMB kkn（非零常数） ； (0)为定值； MA MB为常数 结论 4 已知点 P 为圆锥曲线上一点，若曲线在点 P 处的切线交准线于点 A，则以线段 PA 为 直径的圆恒过与该准线对应的焦点 第 2 页 共 31 页 结论 5 已知曲线 2 2 22 1 y x ab 的左顶点为 A，过右焦点 F 的直线交曲线于点 B，C，直线 AB， AC 分别交右准线于点 M，N，则以 MN 为直径的圆必过 F 注：在抛物线中，将抛物线的一个顶点看作在无穷远处，有类似结论成立 结论 6 已知 AB 是过圆锥曲线
5、的焦点 F 的弦， E 是与焦点 F 相对应的准线 l 和圆锥曲线对称 轴的交点，点 C 在 l 上，则直线 AC 过线段 EF 的中点的充要条件是 BCEF 推论 1 若 F 是圆锥曲线的焦点，E 是与 F 相对应的准线 l 和圆锥曲线对称轴的交点，AB 是 过焦点 F 的弦，FEBC，N 是线段 EF 的中点，则 BC 与 AN 的交点 C 在准线 l 上 推论 2 若 F 是圆锥曲线的焦点，E 是与 F 相对应的准线 l 和圆锥曲线对称轴的交点，点 B 在圆锥曲线上，点 C 在准线 l 上，FEBC，N 是线段 EF 的中点，则直线 BF 与 CN 的交点 A 恰在圆锥曲线上 结论 7
6、已知椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab ，过椭圆内 x 轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的 弦 AB，CD，设 M，N 分别为 AB，CD 的中点，则直线 MN 必过定点 2 22 0 a m ab ， 二、定值类结论 21 与 2 2 b a 有关的结论 结论 8 （1）已知 M，N 是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上关于原点对称的两动点，P 是椭圆上 异于 M，N 的一点，若直线 PM，PN 均存在斜率，则 2 2 PMPN b kk a ； （2）已知 M，N 是双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，上关于原点对称的两动点，P 是
7、 双曲线上异于 M，N 的一点，若直线 PM，PN 均存在斜率，则 2 2 PMPN b kk a 结论 9 （1）已知 M，N 是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上的两动点，P 是线段 MN 的中点， O 为坐标原点，若直线 OP，MN 均存在斜率，则 2 2 OPMN b kk a ； （2）已知 M，N 是双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，上的两动点，P 是线段 MN 的中 点，O 为坐标原点，若直线 OP，MN 均存在斜率，则 2 2 OPMN b kk a 结论 10 已知 1122 ()()M xyN xy，是椭圆 2 2 22 +1(0)
8、 y x ab ab 上的两动点， OMN 的面 积为 S，点 M，N 均不在坐标轴上，O 为坐标原点，则以下五个命题等价： 第 3 页 共 31 页 2 2 OMON b kk a ； 222 12 xxa； 222 12 yyb； 1 2 Sab； 2222 OMONab； 若 P 为椭圆上一点，且OPOMON，则 22 1 结论 11 已知圆锥曲线 22 ()0f xyAxCyDxEyF：，上一定点 P（x0，y0） ，过 P 作倾斜角互补的两条直线 PM，PN 分别与交于异于 P 的两点 M，N，则直线 MN 的倾斜角为定值 注：若曲线为椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab a
9、b ，则 2 2 OPMN b kk a ，即 2 0 2 0 MN b x k a y ； 若曲线为双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，则 2 2 OPMN b kk a ，即 2 0 2 0 MN b x k a y ； 若曲线为抛物线 2 2(0)ypx p，则 0 MN p k y 该命题的逆命题也成立 证明：当点 P 在曲线 22 ()0f xyAxCyDxEyF：，的对称轴上时， 直线 MN 的倾斜角为 0或 90，结论显然成立； 当点 P 不在曲线的对称轴上时，直线 PM，PN，MN 的斜率均存在且都不为零， 此时条件可设为 PMPN kkkk ，设 1122
10、 ()()M xyN xy， 则 001122 ()0()0()0f xyf xyf xy， 由 1100 ()()0f xyf xy，两边同时除以 10 xx， 得 1010 ()()0C yyE kDA xx ， 同理 2020 ()()()0C yyEkDA xx ， ，得 12120 ()()220Ck yyA xxDAx ， ，得 12120 ()()220A xxCk yyEkCky ， 又 10102020 ()()yyk xxyyk xx ， 所以 1212012120 1 ()2()2xxyyxyyk xxy k ， 代入，得 120120 ()(24)()(24) AA C
11、kyyDAxCkxxECy kk ， 两式相除，得 012 120 2 2 MN DAxyy k xxECy （定值） 所以当 2 2 22 ()+10 y x f xy ab ，时， 2 0 2 0 MN b x k a y ； 第 4 页 共 31 页 当 2 2 22 ()10 y x f xy ab ，时， 2 0 2 0 MN b x k a y ； 当 2 ()20f xyypx，时， 0 MN p k y 22 与 a2有关的结论 结论 12 已知曲线 E： 2 2 22 1(00) y x ab ab ，的左右顶点为(0)(0)AaB a ， ， 点()Q m n， (0)mn
12、ma ，不在曲线 E 上，QA，QB 分别交 E 于 C，D，直线 CD 交 x 轴于 点 P，则有 2 OP OQa 注：曲线 E 可以表示焦点在 x 轴或 y 轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致 结论 13（1）已知 A，B 为椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上两动点且关于 x 轴对称，P 为 x 轴上 一定点，连结 PA 交椭圆于点 M，则 BM 恒过定点 Q，且有 2 OP OQa； （2）已知 A，B 为双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，上两动点且关于 x 轴对称，P 为 x 轴上一定点， 连结 PA 交双曲线于点 M， 则 BM 恒过定点
13、 Q， 且有 2 OP OQa； （3）已知 A，B 为抛物线 2 2(0)ypx p上两动点且关于 x 轴对称，P（a，0）为 一定点，连结 PA 交抛物线于点 M，则 BM 恒过定点 Q，且有 2 OP OQa 结论 14（1）设 A，B 是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 长轴上分别位于椭圆内（异于原点） ，外 部的两点， 若过 A 点引直线 （直线不与坐标轴垂直） 与椭圆相交于 P， Q 两点， 且PBAQBA，则点 A，B 的横坐标满足 2 AB xxa； （2）设 A，B 是双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，实轴上分别位于双曲线一支内（含 焦
14、点的区域） ，外部的两点，若过 A 点引直线（直线不与坐标轴垂直）与双曲 线的这一支相交于 P，Q 两点，且PBAQBA，则点 A，B 的横坐标满足 2 AB xxa. 23 焦半径公式 结论 15 （1）已知椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 中，弦 AB 过左焦点 F，且倾斜角为 ， 点 A 在 x 轴上方，则 2 cos b AF ac ， 2 cos b BF ac （2）已知双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，中，弦 AB 过左焦点 F，且倾斜角为 ， 第 5 页 共 31 页 点 A 在 x 轴上方，则 2 cos b AF ac ， 2 cos
15、 b BF ac （3）已知抛物线 2 2(0)ypx p中，弦 AB 过焦点 F，且倾斜角为 ，点 A 在 x 轴 上方，则 1cos p AF ， 1cos p BF 注：在（1） （2）中易得 2 222 2 cos ab AB ac ，若左焦点改为右焦点，其他条件不变， 则 2 cos b AF ac ， 2 cos b BF ac 结论 16（1）设直线 l 过椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 的一个焦点 F，且与椭圆相交于 P，Q 两点，若PFmFQn，则 2 112a mn b （ 112 mnep ）. （2）设直线 l 过双曲线 2 2 22 1(00) y
16、 x ab ab ，的一个焦点 F，且与双曲线的同一 支相交于 P，Q 两点，若PFmFQn，则 2 112a mn b . （3）设直线 l 过抛物线 2 2(0)ypx p的焦点 F，且与抛物线相交于 P，Q 两点， 若PFmFQn，则 112 mnp . 注：以上结论利用结论 15 极易获证 结论 17 在圆锥曲线中，设过焦点 F 且不垂直于坐标轴的弦为 AB，其垂直平分线和焦点所 在坐标轴交于点 R，则 2 FRe AB = 24 与垂直有关的结论 结论 18 （1）已知 O 为原点，P，Q 为椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上两点且 OPOQ，则 2222 111
17、1 + OPOQab =，O 到 PQ 的距离为 22 ab ab （2）已知 O 为原点，P，Q 为双曲线 2 2 22 1(0) y x ab ab 上两点且 OPOQ，则 2222 1111 + OPOQab =， O 到 PQ 的距离为 22 ab ba 结论 19 已知 O 为原点， P， Q 为抛物线 2 2(0)ypx p上两点且 OPOQ， 则 2 4 OPQ Sp . 结论 20 （1）若 AB，CD 是过椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 焦点的弦，且 ABCD， 则 2 112 2 e ABCDep ； （2）若 AB，CD 是过双曲线 2 2 22 1(
18、00) y x ab ab ，焦点的弦，且 ABCD， 第 6 页 共 31 页 则 2 |2| 11 2 e ABCDep ； （3）若 AB，CD 是过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的弦，且 ABCD，则 111 2ABCDp 注：其中 e 为圆锥曲线的离心率，p 为焦点到相应准线的距离 三、定轨类结论 结论 21 已知 1122 ()()M xyN xy，是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上的两动点，O 为坐标原 点，则 2 2 OMON b kk a 与以下命题等价： 线段 MN 中点的轨迹方程为 2 2 22 1 2 y x ab ； 若动点 P 满足OPOM
19、ON，则 P 点的轨迹方程为 2 2 22 22 y x ab 注：命题与结论 10 中六个命题均等价 结论 22 设定点 00 ()Q xy，不在圆锥曲线 22 0AxBxyCyDxEyF上，过 Q 作直线 交曲线于 M，N 两点，P 为动直线 MN 上异于 Q 的另一点，且满足 MQ MP PNQN ，则 P 点的轨迹是直线 0000 00 0 222 x yy xxxyy Ax xBCy yDEF 或其局部 证明：设 1122 ()()()M xyN xyP xy， 则 2222 11 1111222222 00AxBx yCyDxEyFAxBx yCyDxEyF， 不妨设 Q 在圆锥曲
20、线外部，令 MQ MP PNQN ，则 1212 0 1212 0 11 . 11 xxxx xx yyyy yy ， 和 所以 0000 00 222 x yy xxxyy Ax xBCy yDEF 22222222 2 121122121212 222222 111111 AxAxBx yBx yCyCyDxDxEyEy FF 22222 111111222222 2 1 1 AxBx yCyDxEyFAxBx yCyDxEyF 2 2 1 000 1 此时 P 点的轨迹是直线 0000 00 0 222 x yy xxxyy Ax xBCy yDEF 在曲 线内的部分同理易证得，当点 Q
21、 在曲线内部时，P 点轨迹为直线本身 第 7 页 共 31 页 结论 23 过椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 外一点 P 向椭圆作两条切线 PA，PB，若 PAPB，则 点 P 的轨迹方程为 2222 xyab（蒙日圆） 注：在双曲线 2 2 22 1(0) y x ab ab 中，点 P 的轨迹方程为 2222 xyab 结论 24 过抛物线 2 2(0)ypx p外一点 P 向抛物线作两条切线 PA，PB，若 PAPB，则 点 P 的轨迹为抛物线的准线 结论 25 （1） 已知长轴为 A1A2的椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上有一动点 P （不与
22、A1， A2重合） ， 直线 PA1，PA2分别与右准线 l 交于点 M，N，右焦点为 F，则 2 MFN； （2）已知长轴为 A1A2的双曲线 2 2 22 1(00) y x ab ab ，上有一动点 P（不与 A1，A2 重合） ， 直线 PA1， PA2分别与右准线 l 交于点 M， N， 右焦点为 F， 则 2 M F N； （3）已知抛物线 2 2(0)ypx p上有一动点 P（不与顶点 O 重合） ，直线 PO 与准 线 l 交于点 M，P 向准线作垂线，垂足为 N，右焦点为 F，则 2 MFN 四四、极点与极线 极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所
23、体现 极点与极线定义： 已知圆锥曲线 22 220AxCyDxEyF：， 则称点 00 ()P xy，和 直线 0000 ()()0lAx xCy yD xxE yyF：是圆锥曲线的一对极点和极线 事实上，在圆锥曲线方程中，以 0 x x替换 2 x，以 0 2 xx 替换x(另一变量y也是如此) 即可得到点 00 ()P xy，极线方程 极点与极线作法：如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线 于四点 E，F，G，H，连接 EH，FG 交于 N，连接 EG，FH 交于 M， 则直线 MN 为点 P 对应的极线 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 由
24、图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线，PN 为点 M 所对应的极线MNP 称为自极三点形若连接 MN 交圆锥曲线于 点 A，B，则 PA，PB 恰为圆锥曲线的两条切线 P E F G H M A N B 图 1 第 8 页 共 31 页 事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法 结论 26（1）当 P 在圆锥曲线上时，则极线l是曲线在 P 点处的切线； （2）当 P 在外时，则极线l是曲线从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线 （即切点弦所在直线） ； （3）当 P 在内时，则极线l是曲线过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹 证明： （1）由极点极线的定义，
25、对于曲线 22 :220AxCyDxEyF的方程， 两边求导得22220AxCyyDEy，解得 AxD y CyE ， 于是曲线在 P 点处的切线斜率为 0 0 AxD k CyE ， 故切线l的方程为 0 00 0 () AxD yyxx CyE ， 化简得 22 000000 0Ax xCy yAxCyDxEyDxEy（*） ， 又点 P 在曲线上，故有 22 0000 220AxCyDxEyF， 从中解出 22 00 AxCy，然后代入（*）式，可得曲线在点 P 处的切线为 0000 ()()0lAx xCy yD xxE yyF： （2）设过点 P 所作的两条切线的切点分别为 1122
26、 ()()M xyN xy， 则由（1）知，在点 M，N 处的切线方程分别为 1111 ()()0AxxCyyD xxE yyF 和 2222 ()()0AxxCyyD xxE yyF， 又点 P 在切线上，所以有 01011010 ()()0Ax xCy yD xxE yyF， 和 020220 ()Ax xCy yD xx 20 ()0E yyF， 观察这两个式子，易知点 1122 ()()M xyN xy，都在 0000 ()()0Ax xCy yD xxE yyF上， 又两点确定一条直线，故切点弦 MN 所在的直线方程为 0000 ()()0Ax xCy yD xxE yyF （3）设
27、曲线过 00 ()P xy，的弦的两端点分别为 1122 ()()S xyT xy， P M N 图 2 Q(m,n) T S 图 3 P(x0,y0) . 第 9 页 共 31 页 则由（1）知，曲线在这两点处的切线方程分别为 1111 ()()0AxxCyyD xxE yyF 和 2222 ()()0AxxCyyD xxE yyF， 设两切线的交点为()Q mn，则有 1111 ()()0Ax mCy nD xmE ynF， 2222 ()()0Ax mCy nD xmE ynF， 易发现 1122 ()()S xyT xy，均在直线()()0AxmCynD xmE ynF上， 又两点确定
28、一条直线，所以直线 ST 的方程为()()0AxmCynD xmE ynF， 又直线 ST 过点 00 ()P xy，所以 0000 ()()0Ax mCy nD xmE ynF， 因而点()Q mn，在直线 0000 ()()0Ax xCy yD xxE yyF上， 所以两切线的交点的轨迹方程是 0000 ()()0Ax xCy yD xxE yyF 结论 27 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P，则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的 极线，反之亦然 即极点与极线具有对偶性如图 4（1） （2）所示 结论 28 设 AB，CD 是圆锥曲线过焦点 F 的两动弦，弦端点连线 AC，BD 交于
29、点 M，则动点 M 的轨迹是圆锥曲线的相应准线 注：直线 AD，BC 交点的轨迹也是圆锥曲线的准线当焦点弦 AB，CD 重合时，直 线 AC，BD 退化为圆锥曲线的两条切线 推 论 设 AB 是圆锥曲线的动焦点弦，过弦端点 A，B 分别作圆锥曲线的切线，则两切线 交点的轨迹是圆锥曲线的准线 P A B P 点 P 的极线 点P的极线 图 4（1） 图 4（2） 第 10 页 共 31 页 第一讲第一讲 解解析几何经典结论选证析几何经典结论选证 例例 1 设 AB 是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 的弦， 点 A 关于 x 轴的对称点 A （点 A ， B 不重合） ， 且
30、AB 过点 P（t，0） ，求证：直线 A B 过定点 Q 2 (0) a t ， 分析：欲证明直线 A B 过定点，可设出直线 A B 的方程：ykxm，接下来的目标 为根据条件寻找 k，m 的关系式条件 AB 过点 P（t，0） ，可转化为APAB，从而有 112121 ()()()txyyy xx，消去 y1，y2得 1212 2()()2kx xmkt xxmt，以下进入设 而不求的套路 证明：设 1122 ()()A xyB xy，则 11 ()A xy，设直线 A B：ykxm， 将其代入 2 2 22 +1 y x ab 消去 y 并整理，得 222222222 ()20k ab
31、 xkma xa ma b， 则 22222 1212 222222 2kmaa ma b xxx x k abk ab ， 因为直线 AB 过点 P（t，0） ，所以APAB， 所以 112121 ()()()txyyy xx， 消去 y1，y2得 1212 2()()2kx xmkt xxmt， 即 22222 222222 2 2()2 a ma bkma kmktmt k abk ab ，化简得 2 0 ka m t ，所以 2 ka m t ， 所以直线 A B： 22 () kaa ykxk x tt ，所以直线 A B 过定点 Q 2 (0) a t ， 点评：本结论也可通过设
32、1122 ()()A xyB xy，得 11 ()A xy，从而直线 AB 的方程 为： 21 11 21 () yy yyxx xx ，所以点 P 的坐标为（ 1221 21 x yx y yy ，0） ，同理求出 Q 点坐 标，以下通过消去 x1，x2，容易证出 PQ 的横坐标乘积为 a2，获证 例例 2 过抛物线 2 2(0)ypx p上的一个定点 00 ()M xy，任作两条互相垂直的弦 MP，MQ， 求证：直线 PQ 必过定点 分析：先设出 222 012 120 222 yyy PyQyMy ppp ，将弦 MP，MQ 互相垂直转化 为0MP MQ，将其表示成 1212 yyy y
33、，的关系，代入直线 PQ 的方程化简即可获证 A B Q O x y P A 第 11 页 共 31 页 证明：设 222 012 120 222 yyy PyQyMy ppp ， 因为0MP MQ， 所以 2222 0012 1020 0 2222 yyyy MP MQyyyy pppp ， 即 2 1020 4yyyyp ， 所以 22 120120 4y yyyyyp （*） ， 直线 PQ 的方程是 1212 2yyypxy y， 由（*）式， 22 120120 4y ypyyyy ，又 2 00 2ypx， 代入上式化简得， 1200 22yyyyp xxp， 显然直线 PQ 必过
34、定点 00 2xpy， 注：也可设直线 PQ 的方程是xmyn，代入抛物线方程消去 x，由韦达定理，可求 出 1212 22yypmy ypn ，代入（*）式，化简可得 00 2nmyxp，从而获证 例例 3 已知 AB 是过圆锥曲线的焦点 F 的弦，E 是与焦点 F 相对应的准线 l 和圆锥曲线对称 轴的交点，点 C 在 l 上，求证：直线 AC 过线段 EF 的中点的充要条件是 BCEF 证明：充分性：如图，设直线 AC 与 EF 交于 N，过 A 作 ADl 于 D 由圆锥曲线的定义，有 AFBF e ADBC ， 由 ADFEBC，得 NECNBFFNAF ADCAABBCAB ， 从
35、而 AD BFAD BCAF BC NEeFN ABABAB 必要性：由 ADFE，FN=NE，连结 BD， 则 NEECFNFB ADDCADAB ， 所以 ECFB DCAB ，所以 FEBC A B C D E F N P O x y M Q 第 12 页 共 31 页 例例 4 已知椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 中，弦 AB 过左焦点 F，且倾斜角为 ，点 A 在 x 轴上 方，求证： 2 cos b AF ac ， 2 cos b BF ac 证明：如图， 2 |cos| a PFcFMAF c ， 所以 2 cos a dPMcAF c ， 又AFed，所以
36、AF d e ， 所以 2 cos aAFa AF cAF cec ， 所以 2 cos b AF ac ，用替换，得 2 cos b BF ac 说明：该结论用圆锥曲线的极坐标方程 1cos ep e 稍作变形即可证明 例例 5 已知 1122 ()()M xyN xy，是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上的两动点，O 为坐标原点， 2 2 OMON b kk a ，求证：线段 MN 中点的轨迹方程为 2 2 22 1 2 y x ab 证明：设线段 MN 中点为 00 ()P xy，则由题意可得 2222 1122 2222 +1+1 xyxy abab ，且 1201
37、20 22xxxyyy， 因为 2 2 OMON b kk a ，所以 2 12 2 12 yy b xx a ，所以 1212 22 0 x xy y ab ， 所以 22222222 00121211221212 2222222222 ()()22 11 + 42 44 xyxxyyxyxyx xy y ababababab ， 所以线段 MN 中点 P 的轨迹方程为 2 2 22 1 2 y x ab 练练习习 1 在椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 中，设过焦点 F 且不垂直于坐标轴的弦为 AB，其垂直平 分线和焦点所在坐标轴交于点 R，求证： 2 FRe AB =
38、证明：如图，不妨设直线 AB 的倾斜角为锐角（不为锐角时可类似证明） ， 则 22 ABAFBF FMAFAMAF 22 1 2coscos bb acac （结论 15） 2 222 cos cos b c ac ， A B N O x y P F M l d A B O x y F M R 第 13 页 共 31 页 所以 2 222 cos cos FMb c FR ac ，又 2 222 2 cos ab AB ac ， 所以 22 FRce ABa 练练习习 2 已知椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab ，过椭圆内 x 轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的 弦 AB，C
39、D，设 M，N 分别为 AB，CD 的中点，求证：直线 MN 必过定点 2 22 0 a m ab ， 证明：当直线 AB 的斜率不存在或为零时，易知直线 MN 与 x 轴重合，显然成立； 当直线 AB 的斜率存在且不为零时，设直线 AB 的方程为：y=k(xm)， 则直线 CD 的方程为： 1 ()yxm k ，设 1122 ()()A xyB xy， 将 y=k(xm)代入 2 2 22 +1 y x ab ，得 22222222222 ()20a kb xa k mxa k ma b， 则 22 12 222 2a k m xx a kb ， 所以 2 1212 222 2 (2 ) b
40、 km yyk xxm a kb ， 所以 222 222222 a k mb km M a kba kb ，同理 22 222222 a mb km N ab kab k ， 若MNx 轴，即1k 时，直线 MN 过定点 2 22 0 a m ab ，； 若MN不与 x 轴垂直时，1k ， 直线 MN 的斜率 22 22 222222 22222 222222 () (1) MN b kmb km abk ab ka kb k a ma k mak ab ka kb ， 所以直线 MN 的方程为 22 22 () 1 kab yxm ka ，显然过定点 2 22 0 a m ab ， 练习练
41、习 3 设 A，B 是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 长轴上分别位于椭圆内（异于原点） ，外部的 两点，若过 A 点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于 P，Q 两点， 且PBAQBA求证：点 A，B 的横坐标满足 2 AB xxa 证明：设:PQ xtym，A（m，0） ， 代入椭圆方程得： 22 222222 ()2()0ab tyb mtyb ma， 则 222 2 1212 22 222 2 () 2 b ma b mt yyy y ab tab t ， A B D O x y C M N 第 14 页 共 31 页 若PBAQBA，则 12 12 00 BQB
42、P BB yy kk xxxx ， 即， 所以 1221 0 BB y tymxytymx，所以 1212 20 B ty ymxyy， 所以 2222 22 222 2 2()2() 0 B b mt mxb t ma ab tab t ， 所以 2222 2()2()0 B b t mab mt mx，即 222 0 B m ta tm tmtx， 所以 2 B a x m ，从而 2 2 AB a xxma m 练习练习 4 已知 1122 ()()M xyN xy，是椭圆 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上的两动点，O 为坐标 原点，若 2 2 OMON b kk a ，
43、动点 P 满足OPOMON，则 P 点的轨迹方程为 2 2 22 22 y x ab 证明：由题意可得 2222 1122 2222 +1+1 xyxy abab ，设点()P xy，则 12 12 xxx yyy ， ， 因为 2 2 OMON b kk a ，所以 2 12 2 12 yy b xx a ，所以 1212 22 0 x xy y ab ， 所以 222 2 1212 2222 ()() + xxyyy x abab 22222222 11221212 222222 22 + xyxyx xy y ababab 2222 1+120+ ， 所以 P 点的轨迹方程为 2 2 22 22 y x ab 第 15 页 共 31 页 第二讲第二讲 解析几何结论在高考与模考中的应用解析几何结论在高考与模考中的应用 一、有关定点类结论的应用 例例 1 （2017 年全国卷 1 第 20 题）已知椭圆 C： 2 2 22 +1(0) y x ab ab 上四点 P1（1，1） ， P2（0，1） ，P3 3 ( 1) 2 ，P4 3 (1) 2 ，中恰有三点在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为1，证明：l 过定点 解： （1） 2 2
