1、第 1 页 共 3 页 三次型函数的最值问题 一、合理赋值，解决三次型函数最值问题：一、合理赋值，解决三次型函数最值问题： 例1 ： 已 知 定 义 在Z上 的 函 数( )f x满 足 对 任 意 整 数 有 ()( )( )3(2)3f xyf xf yxy xy，且(1)1f. （1）求( )f t的表达式（tZ） ； （2）若对任意整数4t ，有 2 ( )(41)3f tmtmtm恒成立，试求m的最大值. 思路分析：第（1）小问难点有两个，其一，是如何合理对, x y赋值求出( )f t的表达式，常 规策略是保留一个变量，对另一变量赋值，根据条件(1)1f，可以将另一变量赋予值 1；
2、 其二，, x y不一定是正整数。第（2）小问处理三次函数恒成立问题时我们经常利用导数这 一工具求解，通过本题求解可以反思一下：一定要求导吗？ 解： （1）令,1xt y，得 2 (1)( )(1)3 (3)3( )394f tf tft tf ttt 当t为正整数时， 2 ( )(1)3(1)9(1)4f tf ttt 2 (1)(2)3(2)9(2)4f tf ttt 2 (2)(1)3 19 1 4ff 以上1t个式子相加，得 11 2 11 (1) (21)(1) ( )(1)394(1)1 394(1) 62 tt ii ttttt f tfiitt 32 33tt. 当0t 时，令
3、0xy，得(0)3f 当t为负整数时，t为正整数， 由题设， 2 (0)()( )()633ff ttf tftt ， 则 232232 ( )()66()3()36()633f tfttttttt . 综上， 32 ( )33f ttt. （2）由（1）得 对任意整数4t ， 322 33(41)3ttmtmtm 恒成立， 即(1)(3)(1)(3 )tttmtm恒成立，亦即(1)(3)(1)0tttm恒成立， 由4t ，知(1)(2)0tt，于是1tm 恒成立，从而3m. m的最大值为 3. 练习 1：已知对任意实数2, 2t 均有 432 3210 11 22 tb tb tbtb成立，
4、求 13 bb. 思路分析： 本题的最大难度如何处理(1,2,3,4) i b i 中的 0 b和 2 b， 可以联系函数的奇偶性通 过恰当赋值逼出 0 b和 2 b的值. 解：令 432 3210 ( )f ttb tb tbtb，考察 42 20 ( )() ( ) 2 f tft g ttb tb ，易得 ( 2)(0)2 (1)2ggg，又 1 ( ) 2 g t ，则 1 ( 2) 2 1 (0) 2 1 (1) 2 g g g ，解得 02 1 ,2 2 bb ， 第 2 页 共 3 页 代入得 13 13 1 (1) 2 1 ( 1) 2 fbb fbb ，又 1 ( ) 2 f
5、 t ，可得 13 0bb. 练习 2：设 2 ( )max(13)f xxaxbxcx，当, ,a b c取遍所有实数时，求( )f x的 最小值. 解：令2tx，则原问题等价于 32 111 ( )max( 11)f ttatbtct ， 令 32 111 ( ), 1,1g ttatbtc t ，则 11 11 4 (1)4 ( 1)88 ,8 ( )8 ()28 22 ggbggb 11 24 ( )4(1)4( 1)8( )8() 22 f tgggg 11 4 (1)4 ( 1)8 ( )8 ()6 22 gggg. 因此， 1 ( ) 4 f t ，此时 111 3 0,0 4
6、abc. 不难得到，此时 4513 6, 42 abc . 故( )f x的最小值为 1 4 . 二、抓住主元，二、抓住主元，解决三元解决三元最值问题：最值问题： 例 2 已知, ,0x y z 且1xyz，求 32 10 ( , , )2 3 f x y zxyz的最大值和最小值. 思路分析：本题最大值通过放缩较易下手，问题在求解最小值时难以控制.可以考虑扣住最 高次 3 x，利用条件化三元为二元，再抓主元x得到原问题最小值的求解策略. 解： （1） 3232 101010101010 ( , , )2() 333333 f x y zxyzxyzxyz， 当且仅当0,1xyz时取等号. （
7、 2 ） 求( ,)fx y z的 最 小 值 ， 考 虑 运 用 逐 步 调 整 法 ， 即 假 设y为 定 值 ， 则 1(01)xzyxy ， 有 3232 1 01 01 0 ( , , )22( 1) 333 f x yzxyzxxyy， 对x求导数有 2 10 ( , , )30 3 x fx y zx，所以当1xy 时，( , , )f x y z有最小值，此时 0,1zyx ， 故 3232 m i n (, , )()2 ( 1)242 ( 01 )f xyzgxxxxxxx 的最 小值，而 2 ( )344(32)(2)g xxxxx， 所以，( )g x在 2 3 x 处
8、取到的最小值即为在区间0,1上最小值. minmin 14 ( , , )( ) 27 f x y zg x，当且仅当 21 ,0 33 xyz时成立. 综上， maxmin 1014 ( , , ),( , , ) 327 f x y zf x y z. 练习 1：设, ,a b cR，并且存在, ,1,1 ，使得0abc. 第 3 页 共 3 页 求 2 333 abc f abc 的最小值. 解：, ,1,1a ，由抽屉原理，可知三个实数,a 中至少有两个相等. （1） 三 个 实 数 完 全 相 等 ，1, 1 ， 则 必 有0abc ， 从 而 22 2 333333 ()3() 9
9、 abcababab ab f abcabcabc . （2） 三个数不全相等，不妨设，则必有abc，从而 2222 33333322222 ()()2() () abcbcbcbcbbccbcbc f abcbc bcbcbc 当0bc 时，25f ，当且仅当0bc时取等号. 综上， min 9f. 练习 2：已知, ,a b c是满足 222 abc的正数，求函数 333 222 ( , , ) ()()() abc f a b c a bcb acc ab 的最小值. 解： 3232323222 2222bbccb cb bccb cb cbc. 3322. bcb cbc（此不等式也可
10、直接作差因式分解得到） 故 3322 ( 2 )2( 2 )ababab， 即 3322 2422 2aba bab. 同理， 3322 2422 2aca cac. 综上可得， 33322222 2 2772()2 2()3()abca bcb ac ab cc b 由 2 222 () 2 bc abc ，得 2 bc a . 323222 (52)(42)(2 21)() 2 bc aaaa bcb ac a 注意到 22 3222 1 ()()2()2() 22 bc aa bcbcbc bcb cc b . 则 322 (22)(2 22)()ab cc b 将三式相加，整理得 333222 2 21 ()()() 7 abca bcb cacab .当且仅当22abc时取等 号. 故( , , )f a b c的最小值为 2 21 7 .
