1、第 1 页 共 9 页 三次型函数切线问题的求解策略 三次函数频频出现在高考试卷中,成为高考试卷的一大亮点.其中三次函数 的切线问题是高频考点，通常结合三次函数的零点问题考查.三次型函数最值问 题是竞赛和自主招生的难点，有一定的思考力. 三次型函数的切线问题（一） 一、三次函数的概念：一、三次函数的概念： 形如 32 0yaxbxcxd a的函数，称之为三次函数. 二、三次函数的图象特征和零点分布：二、三次函数的图象特征和零点分布： 对于三次函数 32 ( )0f xaxbxcxd a，其导函数为二次函数 2 ( )320fxaxbxc a，( )fx的判别式 2 43bac .现以0a为例，
2、 （1）若03 2 acb，则)(xf在),(上为增函数，)(xf在R上无极值； （2）若03 2 acb，则)(xf在),( 1 x和),( 2 x上为增函数，)(xf在),( 21 xx上为 减函数，其中 a acbb x a acbb x 3 3 , 3 3 2 2 2 1 .)(xf在R上有两个极值，且 )(xf在 1 xx 处取得极大值，在 2 xx 处取得极小值. 综上可得，当三次函数( )f x存在极值时，其图象、零点、极值的关系： 性质状态性质状态 三次函数图象三次函数图象 说说 明明 0a 0a 三次项系数a 对图象的影响 当0a时， 在x+右向上伸展， x-左向下伸展. 当
3、0a时， 在x+右向下伸展， x-左向上伸展. 零点 个数 三个 03 2 acb, 12 ( )( ) 0f xf x， 两个极值异号；图象与 x轴有三个交点. 两个 03 2 acb,0)()( 21 xfxf 有一个极值为 0， 图象与 x轴有两个交点. 一个 1.存在极值时， 03 2 acb, 0)()( 21 xfxf； 2.不存在极值时，函数 ( )yf x是单调函数， 图象与x轴有一个交点. x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O 第 2 页 共 9 页 问题一：过三次函数极值点的切问题一：过三次函数极值点的切线线 例例
4、1（2016 年天津年天津卷卷）设函数 3 ( )(1)f xxaxb,Rx ，其中 ,.a bR 若)(xf存在极 值点 0 x，且)()( 01 xfxf，其中 01 xx ，求证： 10 23xx. 策略一：验证 10 32xx，即验证 10 32f xfx. 322 00000001 (3 2)(22)3(1) (3 2)(1)21()( )fxxxxbxxbf xf x 根据函数( )f x的单调性直接推出结论. 本策略不具有一般性，能否寻求解决这类问题的一般性思路呢？ 策略二：直接求零点 33 010011 ()( )(1) (1)f xf xxaxbxaxb 33 0101 (1
5、)(1)()xxa xx 22 010011 ()(1)(1)(1)(1)xxxxxxa 222 0100110 ()(1)(1)(1)(1)3(1) xxxxxxx 22 010011 () 2(1)(1)(1)(1) xxxxxx 2 0101 () 2(1)(1)xxxx 2 0101 () ( 23)0xxxx（*） 又 01 xx，故 10 23xx. 我们可以关注到策略二可以推广到一般情形，利用三次函数在极值点处的切线列出等 式， （*）式的一般形式含有因式 2 0 xx，从而迅速求出另外一个交点横坐标.其一般形式 如下： 若若 0 x为为三次函数三次函数 32 ( )f xaxb
6、xcxd的极值点，过的极值点，过 00 (,()xf x的直线的直线 yk与与三次函数三次函数( )f x交于点交于点 11 ( ,( )x f x，则研究函数，则研究函数( )( )g xfxk的零点问题的零点问题 可以利用可以利用 2 01 ( )() ()g xa xxxx. 例例 2（2012 年江苏卷）年江苏卷）若函数( )yf x在 0 xx处取得极大值或极小值，则称 0 x为函数 ( )yf x的极值点.已知, a b是实数，1和1是函数 32 ( )f xxaxbx的两个极值点.设 ( )( ( )h xf f xc，其中2,2c ，求函数( )yh x的零点个数. 思路分析：
7、本题本质上是研究由三次函数复合的函数零点问题，可先从“形”入手，直接将 c的取值分为2c 和2c 两类.我们以2c 为例，直线2y 为过极值点1x 的切线， 则 32 ( )232(1) (2)yf ttttt，迅速求得另一交点横坐标为2.为零点的讨论 带来极大的方便. 解：易得=3ab0，. 令( )=f xt，则( )( )h xf tc. 先讨论关于x的方程( )=f xd根的情况：2, 2d 当=2d时，由（2 ）可知，( )=2f x的两个不同的根为 1 和一 2 ，注意到( )f x是奇函数， ( )=2f x的两个不同的根为一和 2.当2d ， (1)= ( 2)=20fd fd
8、d ，于是( )f x是单调增函数，从而( )(2)=2f x f. 此时( )=f xd在2 ，无实根. 当1 2x ，时( )0f x ，于是( )f x是单调增函数.又(1)0fd ， = ( )y f xd的图象不间断，( )=f xd 在（1 , 2 ）内有唯一实根. 同理，( )=f xd在（一 2 ，一 1）内有唯一实根. 当1 1x ，时，( )0f x ， (1)0fd 0， g（1）t10，解得3t1. 故当过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切时，t 的取值范围是(3，1) (3)过点 A(1，2)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切； 过点 B(2，
9、10)存在 2 条直线与曲线 yf(x)相切； 过点 C(0，2)存在 1 条直线与曲线 yf(x)相切 练习 1： 已知函数),(3)( 23 Rbaxbxaxxf,在点)1 (, 1 (f处的切线方程为02 y. 若过点)2)(, 2(mmM,可作曲线)(xfy 的三条切线,求实数m的取值范围. 解析：设切点坐标为 00 ,x y，则 3 000 3yxx， 2 00 ()33fxx,切线的斜率为 2 0 33.x 则 32 0000 3332xxmxx，即 32 00 2660xxm. 又过(2,)(2)Mm m 可作三条切线，故关于 0 x的方程 32 00 2660xxm有三个不同
10、的实数解.即函数 32 ( )266xxxm 有三个不同的零点. 令 2 ( )6120xxx，解得0x或2x. x (,0) 0 (0,2) 2 (2,) ( )x + 0 0 + ( )x 极大值6m 极小值2m 60 20 m m ，解得62m . 实数m的取值范围为( 6,2). 练习 2： （07 全国全国 II 理理 22）已知函数 3 ( )f xxx设0a，若过点()ab，可作曲线 ( )yf x的三条切线 ，证明：( )abf a . 解： （1）( )f x的导数 2 ( )31xx f 曲线( )yf x在点( )M tf t，处的切线方程为： ( )( )()yf tf
11、 t xt，即 23 (31)2ytxt （2）如果有一条切线过点()ab，则存在t，使 23 (31)2btat若过点()ab，可作 曲线( )yf x的三条切线，则方程 32 230tatab有三个相异的实数根 记 32 ( )23g ttatab，则 2 ( )66g ttat6 ()0t ta，解得0t 或ta 由( )g t的单调性，当极大值0a b 或极小值( )0bf a时，方程( )0g t 最多有一个实数 t (0)， 0 (0)a， a ()a ， g(x) 0 0 g(x) 极大值 极小值 第 7 页 共 9 页 根；当0ab时，解方程( )0g t 得 3 0 2 a
12、tt，即方程( )0g t 只有两个相异的实 数根；当( )0bf a时，解方程( )0g t 得 2 a tta ，即方程( )0g t 只有两个相异 的实数根 综上所述，如果过()ab，可作曲线( )yf x三条切线，即( )0g t 有三个相异的实数根， 则 0 ( )0. ab bf a ， 即( )abf a 点评： （1） 本题是前一个问题的延伸，其以导数几何意义为载体； （2） 本题最终将问题转化为研究三次函数根的分布，采用极值（最值）控制法； （3）在这里应结合上面例题进一步揭示研究二次方程与三次方程实根分布问题在方法上的 本质关系，以便进一步加深对函数极值（最值）的认识和对利
13、用导数研究函数性质. 小结：小结：三次函数图象三次函数图象切线条数的研究切线条数的研究： 三次函数)0()( 23 adcxbxaxxf，设其切线的斜率为k. k与系数的关系 0a 0a a bac k 3 3 2 一条 一条 a bac k 3 3 2 两条 零条 a bac k 3 3 2 零条 两条 证明： 2 ( )32fxaxbxc，若0a，则 当 a b x 3 时， 2 min 3 ( ). 3 acb fx a 当 a bac k 3 3 2 时，方程 a bac cbxax 3 3 23 2 2 有两个相同解， 所以此时切线有且只有一条；其方程为). 3 ( 3 3 ) 3
14、( 2 a b x a bac a b fy 当 a bac k 3 3 2 时，方程kcbxax 23 2 ，有两个不同的解 21,x x，且 21 xx = a b 3 2 ， 即存在两个不同的切点)(,(),(,( 2211 xfxxfx，且两个切点关于三次函数图象对称中心对 称，所以斜率为k的切线有两条. 当 a bac k 3 3 2 时，方程kcbxax 23 2 无实根，所以斜率为k的切线不存在. 同理可证，0a时结论成立. 例例 5（2015 天津卷）天津卷）已知函数( ), n f xnxxxR，其中 *, 2nN n. （1）讨论( )f x的单调性； （2）设曲线( )y
15、f x=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为( )yg x=， 求证：对于任意的正实数x，都有( )( )f xg x； （3）若关于x的方程( )=f xa（a为实数）有两个正实根 12 xx，求证： 21 |-|2 1 a x x n . 【解析】 （1）由( ) n f xnxx，可得，其中*nN且2n，下面分两种情况讨论： 当n为奇数时：令( )0fx，解得1x 或1x ， 当x变化时， ( )f x在(, 1) ，(1,)上单调递减，在( 1,1)内单调递增. 当n为偶数时，当( )0fx，即1x 时，函数( )f x单调递增； 第 8 页 共 9 页 当( )0fx，即
16、1x 时，函数( )f x单调递减. 所以，( )f x在(, 1) 上单调递增，( )f x在(1,)上单调递减. （2）证明：设点P的坐标为 0 (,0)x，则 1 1 0 n xn ， 2 0 ()fxnn，曲线( )yf x在点 P处的切线方程为 00 ()yfxxx，即 00 ( )()g xfxxx，令 ( )( )( )F xf xg x，即 00 ( )( )()F xf xfxxx，则 0 ( )( )()F xfxfx 由于 1 ( ) n fxnxn 在0,上单调递减，故( )F x在0,上单调递减，又因为 0 ()0F x， 所以当 0 (0,)xx时， 0 ()0F
17、x， 当 0 ( ,)xx时， 0 ()0F x， 所以( )F x 在 0 (0,)x内单调递增，在 0 (,)x 内单调递减，所以对任意的正实数x都有 0 ( )()0F xF x，即对任意的正实数x，都有( )( )f xg x. （3）证明：不妨设 12 xx，由（2）知 2 0 ( )g xnnxx，设方程( )g xa的根为 2 x，可得 20 2 a xx nn ，当2n时，( )g x在, 上单调递减，又由（2）)知 222 ()()(),g xf xag x可得 22 xx. 类似的，设曲线( )yf x在原点处的切线方程为( )yh x，可得( )h xnx，当 (0,)x
18、，( )( )0 n f xh xx ，即对任意(0,)x，( )( ).f xh x 设方程( )h xa的根为 1 x，可得 1 a x n ，因为( )h xnx在, 上单调递增， 且 111121210 ()(), 1 a h xaf xxx xxxxx n ， 1 2n= 1 (1 1)n1+ 1 1n Cn ， 故 2 1 1n n = 0 x，原结论成立. 三次函数通常围绕以下四个点进行命题： 第一个点是围绕导数的几何意义展开， 设计求曲线的切线方程， 根据切线方程求参数值 等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难 度不大； 第二个点是围绕
19、利用导数研究函数的单调性、 极值(最值)展开， 设计求函数的单调区间、 极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考 查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法； 第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨 论方程根等问题， 主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和 方程等问题的能力， 该点和第二个点一般是解答题中的两个设问， 考查的核心是导数研究函 数性质的方法和函数性质的应用； 第四个点是利用函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力， 该点和第二个点一般是 解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用 第 9 页 共 9 页
