1、第 1 页 共 5 页 数列的函数特性及背景探究 第三课时 函数性质的运用则进入到了较高的层面要求，则如一次、二次函数的性质、函数的单调 性、周期性、凹凸性等在数列中有广泛的应用 例 1已知首项为 3 2 的等比数列 n a 的前 n 项和为() n S n ，且 234 ,2,4SSS成等差数 列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）证明 13 6 1 n n Sn S 【分析】 （1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； （2）求出前 n 项和，根据函数的单调性证明 【解析】 （1）设等比数列 n a的公比为q 因为 234 24S SS, ，成等差数列，所以 3243
2、 24SSSS，即 4324 SSSS, 可得 43 2aa ，于是 4 3 1 . 2 a q a 又因为 1 3 2 a ，所以等比数列 n a的通项公式 为 n a 1 1313 1. 222 n n n （2） 111 1,1 22 nn nn n SS S 1 2, 221 1 1 1 2, 1 2212 nn n nn n n 为奇数, 为数.偶 当n为奇数时， 1 n n S S 随n的增大而减小，所以 1 1 1113. 6 n n SS SS 当n为偶数时， 1 n n S S 随n的增大而减小，所以 2 2 1125 . 12 n n SS SS 故对于 *, nN有 11
3、3. 6 n n S S 第 2 页 共 5 页 【分析】本题入口相对较宽，出现的函数模型也属于容易辨识，只要能抓住对应函数的单调 性，便可获得数列的单调性 例 2设向量)12, 2 , 1 , 0)( 6 cos 6 sin, 6 (cosk kkk ak ，则 12 0 1) ( k kk aa的值 为 【解析】 1 (1)(1)(1) (cos,sincos) (cos,sincos) 666666 kk kkkkkk aa (1)(1)(1) coscos+(sincos) (sincos) 666666 kkkkkk (1)(1)(1)(1)(1) (coscos+sinsin)(s
4、incoscossin)coscos 6666666666 kkkkkkkkkk 2(1)3 321(21) cossincoscossincos 66664626 kkkkk 因为 2 sin 6 k ， 1(21) cos 26 k 的周期均为 6，一个周期的和皆为 0， 因此 11 1 0 3 3 129 3 4 kk k aa 【分析】本题是数列、三角函数、平面向量的综合应用，以数列和平面向量为载体，内核是 考察三角函数的周期性， 大量复杂的三角化简是命题者设置的障碍， 如果能觉察到三角函数 的周期本题就能迎刃而解 例 3 已知函数( ) x f xeax(a 为常数)图象与 y 轴交
5、于点 A，曲线( )yf x在点 A 处的切 线斜率为1 (1)证明：当0x 时， 2x xe； (2)证明：对任意给定的正数 c，总存在 0 x，使得当 0 (,)xx时，恒有 2x xce 【解析】(1)易证，不予详解； (2)即证 2 1 x ex c ，不妨设 0 0x ， 由(1)易知 2 222 22 ( )( ) 2216 xx x xxx eeex， 第 3 页 共 5 页 令 2 1 16 x c ，解得 4 x c 故当 0 4 x c 时，恒有 2x xce 【变式】 证明： 对任意给定的正数 c 和正整数 n， 总存在 0 x， 使得当 0 (,)xx时， 恒有 nx
6、xce 解析：即证 1 xn ex c ，不妨设 0 0x ， 由(1)易知 2 22 2 ( )( ) xxn x nn n xxx eee nnn ， 令 2 2 1 n n n x x nc ，解得 2 n n x c 故当 2 0 n n x c 时，恒有 nx xce 例 5 设是等比数列 ，的各项和，其中， （1）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为） ， 且； （2） 设有一个与上述等比数列的首项、 末项、 项数分别相同的等差数列， 其各项和为， 比较与的大小，并加以证明 分析：在等差数列 k a中，表示等差数列各项( ,) k k a，(11)kn ，在通项公式所 确定的函数（
7、一次函数）的图像上，即( ,) k k a在一条直线上，在等比数列 k b中，表示等 差数列各项( ,) k k b，(11)kn ，在通项公式所确定的函数（指数函数）的图像上， 即( ,) k k b在一条曲线上又因为 11 1ab， 11 n nn abx ，无论等比数列公比 x 和 1 的大小关系如何，都会有 kk ab，故当1x 时，恒有( )( ) nn fxgx 方法一： n fx1x 2 x n x0xn2n F2 nn xfx 1 ,1 2 n x 1 11 22 n nn xx n gx n fx n gx 第 4 页 共 5 页 设 当时, 当时, 若,( )0h x ；若
8、,( )0h x 所以，即 综上所述，当时, ；当时 方法二： 令 当时, ,所以 当时, 易知在上递减,在上递增所以， 所以当又,， 故 方法三： 当时, kk ab； 当时， 11 ()()()()(1 1) nknnknn k bxxxx (1)1(1)(1) 1 nn nn kxnkkx nn ()n k a 即此时 kk ab 易知，当时, ；当时 方法四： 由题意 (1)(1) ( ) 2 n n nx gx ， 2 ( )1(0) n n fxxxxx ， ()() 2 1 1 ( )( )( )1,0. 2 n n nn nx h xfxgxxxxx + =-= + +- 1x
9、=( )( ) nn fxgx=1x 1 1 1 ( )12. 2 n n n nx h xxnx 01x ( )(1)0h xh=( )( ) nn fxgx 1x=( )( ) nn fxgx=1x ( )( ) nn fxgx= 01(2), kk xxabkn且时, 11 ab= 11nn ab + = ( )( ) nn fxgx 1x= 1x 1x=( )( ) nn fxgx=1x ( )( ) nn fxgx 第 5 页 共 5 页 当1x 时，( )( ) nn fxgx； 当1x 时， 若0,kn时，则10 nkn k xxx ； 若11()knkN时，则1(1)(1)0 nkn kkn k xxxxx ； 所以1 nkn k xxx 故 2 (1)(1)2(1) nn nxxxx， 即( )( ) nn gxfx 【分析】以等比数列为例，其离散点对应的连续曲线符合指数函数凸性背景，可以看出本 题源自于函数，以数列为载体呈现，其实还是以函数为主导的考察
