1、2020 届高考数学（理） 【最新省市名校好题】精选（3 月版） 考点考点 13 计数原理计数原理 P1 考点考点 14 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 P4 考点考点 15 不等式选讲不等式选讲 P9 考点考点 13 计数原理计数原理 1.【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8， 9中各任取 2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不 同排法种数为（ ） A85 B95 C2040 D2280 【答案】C 【解析】根据题意，分 2 步进行分析： ，先在两个集合中选出 4
2、 个元素，要求字母 C 和数字 4，7 至少出现两个， 若字母 C 和数字 4，7 都出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，有 5 种选法， 若字母 C 和数字 4 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、6、8、9 中选出 1 个数字，有 5 735 种选法， 若字母 C 和数字 7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、6、8、9 中选出 1 个数字，有 5 735 种选法， 若数字 4、7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 2 个字母，有 C5210 种选法， 则有 5+35+3
3、5+1085 种选法， ，将选出的 4 个元素全排列，有 A4424 种情况， 则一共有 85 242040 种不同排法；故选 C 2.【湖北省监利一中 2020 届高三年级第十一次网考数学理科试题】 【答案】A 【解析】根据排列组合，得到一共有 2231 3 5352 3 22 22 () C CC C A AA 种排法，结合古典概型公式得到选项 A。 3.【湖北省襄阳四中 2020 届高三下学期理科数学 3 月月考试题】现有四名高三学生准备高考后到长三角城 市群（包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市” ）旅游，假设每名学生 均从上海市、江苏省、浙江省、安徽省这
4、四个地方中随机选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概 率为 A. 27 64 B. 9 16 C. 81 256 D. 7 16 【答案】B 4.【福建省厦门大学附属科技中学 2019-2020 学年高三年在线检测理科数学试题 3.2】 【答案】A 【解析】 5.【山东省淄博市 2020 届高三下学期 3 月部分学校教学质量检测数学试题】从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案） 【答案】16. 【解析】可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有 12 24 C C12（种） ；第二种情况，有 2
5、 位女生入选，不同的选法有 21 24 C C4（种） 根据分类加法计数原理知，至少有 l 位女生人选的不同的选法有 16 种 6. 【广东省深圳外国语学校 2020 届高三第 6 次月考理科数学试题卷】 2021 年广东新高考将实行 3+1+2 模式， 即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有 12 种选课模式.今年高一的小明与 小芳都准备选物理，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为:（ ） A. 1 8 B. 1 6 C. 1 36 D. 1 16 【答案】B 7.【江苏省启东市 2020 届高三下学期期初考试数学试题】劳动最光荣某班在一次劳动教育实
6、践活动中， 准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室玻璃，则恰好选中 2 名男生的概率为 【答案】 3 10 【解析】某班在一次劳动教育实践活动中，准备从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生去擦教室玻璃， 基本事件总数 n= 5 2 =10，恰好选中 2 名男生包含的基本事件个数 m= 3 2 =3， 恰好选中 2 名男生的概率 p= = 3 10， 故答案为 3 10 8. 【浙江省 2020 届高三高考模拟试题数学试卷】 在二项式( + 1 2) 5(0)的展开式中 x5的系数与常数项 相等，则 a 的值是 【答案】2 【解析】二项式( + 1 2) 5(0)的展
7、开式的通项公式为 Tr+1= 5(1 ) 55 2， 令55 2 = 5，求得 r3，故展开式中 x 5的系数为 5 3(1 ) 3； 令55 2 =0，求得 r1， 故展开式中的常数项为 5 11 = 5 ， 由为5 3(1 ) 3 =51 ，可得 a= 2，故答案为：2 9.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】已知 6 (1 2 ) x展开式的二项式 系数的最大值为a，系数的最大值为b，则 b a _. 【答案】12 【解析】由题意可知 6 (1 2 ) x展开式的二项式系数为 6( 0,1,6) r Cr ， 当3r 时，取得最大值 3 6 20aC，
8、6 (1 2 ) x展开式的系数为 62 ( 0,1,6) rr Cr ， 当满足 11 66 11 66 22 22 rrrr rrrr CC CC 时，系数最大. 即 1 1 6!6! 22 ! (6)!(1)!6(1)! 6!6! 22 ! (6)!(1)!6(1)! rr rr rrrr rrrr 12 61 21 7 rr rr ，即 12(6) 2(7) rr rr 解得11 14 33 r . 又0,1,6r ，4r 时，系数的最大值为 44 62 240bC，则 240 12 20 b a ，故答案为 12。 考点考点 14 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1.【湖北省监利一
9、中 2020 届高三年级第十一次网考数学理科试题】 【解析】 2.【福建省厦门大学附属科技中学 2019-2020 学年高三年在线检测理科数学试题 3.2】 3.【湖北省襄阳四中 2020 届高三下学期理科数学 3 月月考试题】已知曲线 C 的极坐标方程为4cos， 直线 l 的参数方程为 3 1 2 1 2 xt yt （t 为参数）. （1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程. （2）已知点 M(1,0)，直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，求|MAMB. 4.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】在平面直角坐标系xoy中，曲 线 1 C
10、的参数方程为 1 ( xcos ysin 为参数）， 以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 点A为曲线 1 C上的动点，点B在线段OA 的延长线上，且满足| | 8OAOB，点B的轨迹为 2 C. （1）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （2）设点M的极坐标为2, 2 ，求ABM面积的最小值 【解析】 （1）因为 1 C的参数方程为 1 ( xcos ysin 为参数）， 消去参数得 22 (1)1xy，则一般式为 22 20xyx， 由 222, cosxy x，可得 1 C的极坐标方程为2cos； 设 1 (, )A ，则 1 OA， 而A为曲线 1 C上的动点，则
11、1 2cos， 因为点B在线段OA 的延长线上，则设( , )B ，有OB， 因为 1 | |8OAOB， 所以得2cos8 ，即cos4， 所以 2 C的极坐标方程为cos4. （2）由（1）可知， 1 4 =2cos cos ABOBOA ， AB边上的高为sin()2cos 2 hOM ， 则 2 14 (2cos ) 2cos42cos 2cos ABM S ， 因为 2 cos0,1，所以当 2 cos1时， min 422S. 5. 【广东省广州市 2020 届天河区普通高中毕业班综合测试（二）数学（理）试题】已知曲线 C 的参数方程 为 = 2 = 2（t 为参数） ，以原点 O
12、 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 l1，l2 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A，B 两点（不同于点 O） ，且 l1的倾斜角为锐角 （1）求曲线 C 和射线 12的极坐标方程； （2）求OAB 的面积的最小值，并求此时 的值 【解析】 （1）由曲线 C 的参数方程为 = 2 = 2， （t 为参数） ，得普通方程为 4yx 2， 由 xcos，ysin，得 4sin2cos2， 所以曲线 C 的极坐标方程为 cos24sin，或 = 4 2 过极点的两射线 l1、l2相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O） ， 且 l1的倾斜角为锐角 故
13、l2的极坐标方程为 = + 2； （2）依题意设(，)，(， 2 + )，则由（1）可得= 4 2， 同理得= 4(+ 2) 2(+ 2) ，即= 4 2， = 1 2| | = 1 2 | | = 8| 22 0 2，0， = 8 = 16 2 16， OAB 的面积的最小值为 16，此时 sin21， 得2 = 2， = 4 6.【广东省深圳外国语学校 2020 届高三第 6 次月考理科数学试题卷】以原点 0 为极点，x 轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 22 cos2a（aR，a 为常数） ，过点(2,1)P、倾斜 角为 30的直线 1 的参数方程满足： 3
14、 2 2 xt， （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程. （2）若直线 1 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且| | 2PAPB，求 a 和PAPB的 值. 【解析】 （1） 22 cos2a得 2222 cossina， 又cosx，siny，得 222 xya，C 的普通方程为 222 xya， 过点(2,1)P、倾斜角为 30的直线 1 的普通方程为 3 (2)1 3 yx， 由 3 2 2 xt得 1 1 2 yt ，直线 l 的参数方程为 3 2 2 1 2 xt t y （t 为参数） ， （2）将 3 2 2 1 2
15、xt t y 代入 222 xya， 得 22 2(2 31)2 30tta，依题意知 22 2(2 3 1)8 30a 则上方程的根 1 t、 2 t就是交点 A、B 对应的参数， 2 12 2 3t ta， 由参数 t 的几何意义知 1212 | |PAPBttt t，得 12 2t t ， 点 P 在 A、B 之间， 12 0t t ， 12 2t t ，即 2 2 32a ，解得 3 4a （满足0 ） ，2a 1212 |PAPBtttt ，又 12 2(2 3 1)tt |4 32PAPB， 7.【山西省临汾市 2020 年高考考前适应性训练考试（一）理科数学】在直角坐标系xOy中
16、，直线l的参数 方程为 3 2 3 2 t x yt .（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极 坐标方程为 2 4 cos30p. （1）求l的通方程及C的直角坐标方程； （2）求曲线C上的点P到l距离的取值范围. 【解析】 （1）直线l的参数方程为 3, 2 3 2 t x yt （t为参数） ，消去参数t可得l的普通方程为 33 30xy. 曲线C的极坐标方程为 2 4 cos30， 可得C的直角坐标方程为 22 430xyx. （2）C的标准方程为 22 (2)1xy，圆心为(2,0)C，半径为 1， 所以，圆心C到l的距离为 |2 303 3 |5
17、 3 22 d ， 所以，点P到l的距离的取值范围是 5 35 3 1,1 22 . 考点考点 15 不等式选讲不等式选讲 1.【湖北省监利一中 2020 届高三年级第十一次网考数学理科试题】 2.【湖北省襄阳四中 2020 届高三下学期理科数学 3 月月考试题】已知函数( ) |23|21|f xxx. (1)解不等式:f(x)6； (2)设 xR 时,f(x)的最小值为 M.若正实数 a，b，c 满足 a+b+c=M,求 ab+bc+ca 的最大值. 3.【2020 届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题】设( )22 1f xxxm （1）当5m时，解不等式( )0f
18、x ； （2）若 3 ( ) 2 f x 对任意xR恒成立，求实数m的取值范围 【解析】 （1）当5m时，( )2215f xxx， 不等式( )0f x 为2215xx， 当2x时，不等式为：31 5x ，即2x，满足； 当 1 2 2 x 时，不等式为：35x ，即2x，不满足； 当 1 2 x 时，不等式为：315x ，即 4 3 x ，满足 综上所述，不等式( )0f x 的解集为 4 |2 3 x xx 或 （2）设( )221g xxx，若 3 ( ) 2 f x 对于xR恒成立， 即 3 ( )221 2 g xxxm对于xR恒成立， 31(2) 1 ( )22132 2 1 3
19、1. 2 xx g xxxxx xx ， ， 由图可看出( )221g xxx的最小值是 5 2 ， 所以 35 22 m，1m，即 m 的取值范围是(1， 4.【福建省厦门大学附属科技中学 2019-2020 学年高三年在线检测理科数学试题 3.2】 5. 【广东省广州市 2020 届天河区普通高中毕业班综合测试 （二） 数学 （理） 试题】 已知函数 f （x） |xa|+x， aR （）若 f （1）+f（2）5，求 a 的取值范围； （）若 a，bN*，关于 x 的不等式 f（x）b 的解集为（，3 2） ，求 a，b 的值 【解析】 （）由 f（1）+f（2）5 得|1a|+|2a|
20、2， 当 a2 时，a1+a22，解得：a 5 2， 当 1a2 时，a1+2a2，不等式无解， 当 a1 时，1a+2a2，解得：a 1 2， 综上，a 的范围是（，1 2）（ 5 2，+） ； （）f（x）b， |xa|+xb， 当 xa 时，xa+xb，解得：x + 2 ， 当 xa 时，ax+xb，得 ab， 由不等式的解集是（，3 2） ， 则 + 2 = 3 2 ，又 a，bN*， 故 a1，b2 6 【广东省深圳外国语学校2020届高三第6次月考理科数学试题卷】 设函数( ) |1|f xx，( )2|g xxa. （1）当1a 时，求不等式(1)gfxx 的解集； （2）若关于
21、 x 的不等式 2 2 ( )( ) (1)f xg xa有解，求 a 的取值范围. 【解析】 （1）当1a 时，(1)gfxx ， 即|1| 2|1| 1xx， 即 1 1 21 1 x xx 或 11 1 21 1 x xx 或 1 1 211 x xx ， 所以21x 或 2 1 3 x . 所以原不等式的解集为 2 2, 3 ， （2）2 ( )( )2|1| 2|f xg xxxa |22|22 | |2222 | |22|xxaxxaa 因为不等式 2 2 ( )( )(1)f xg xa有解， 所以 2 2 ( )( )(1)f xg xa. 所以 a 的取值范围是(, 31,)
22、 1 . 7.【山西省临汾市 2020 年高考考前适应性训练考试（一）理科数学】已知函数 2 ( )log (|5|1|)f xxxm. （1）当2m时，求( )f x的最小值； （2）若函数( )f x的定义域为R，求实数m的取值范围. 【解析】 （1）根据题意，由于|1|5| |(1)(5)| 4xxxx， 当且仅当(1)(5)0xx时，等号成立. 可知，当2m时，有 222 ( )log (|5|1|)log (4)log (42)1f xxxmm 故可知 min ( )1f x. （ 2 ） 当 函 数( )f x的 定 义 域 为R时 ， 那 么|5 |1 |0xxm对 于 任 意 的x恒 成 立 ， 即 |5 |1 |xxm对于任意的x恒成立， 而|1|5| |(1)(5)| 4xxxx， 所以4m.
