1、aa a b b b3.2 3.2 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两两点确定一条直线，将两点的点的同名投影同名投影用直线连接，就用直线连接，就得到直线的同名投影。得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短 ab=ABAB.cos A AB Bab A AM MB Babm 直
2、线在三个投影面中的投影特性直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面而平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与三个投影其投影特性取决于直线与三个投影面间的相
3、对位置。面间的相对位置。OXZYabababABXabab baOZYHYW 同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性同样，对于水平线和侧平线也可得到类似的特性。直线的正面投影直线的正面投影ab反映直线反映直线 AB 的实长的实长,并且反映并且反映直线直线 AB 对对H、W面的倾角面的倾角、。直线的水平投影直线的水平投影ab和侧面投影和侧面投影 ab 分别平行分别平行于于OX 轴和轴和OZ 轴。轴。投影特性：投影特性：(1)投影面平行线投影面平行线正平线正平线翻到书上第翻到书上第10页页 铅笔常削成圆锥形和矩形，圆铅笔常削成圆锥形和矩形，圆锥形用于画细线和写字，矩形用于锥形用于画细线和写字，
4、矩形用于绘制粗实线。绘制粗实线。HHBHB铅笔的使用方法铅笔的使用方法修磨成矩修磨成矩形断面用形断面用棱画粗线棱画粗线修磨成锥形、修磨成锥形、画细线、写字画细线、写字画细线时画细线时垂直纸面，垂直纸面，向前进方向前进方向倾斜向倾斜15(1)投影面平行线投影面平行线X XZ ZbaaabbO OY YY Y水平线水平线实长实长 在其平行的那个投影在其平行的那个投影 面上的投影反映实长，面上的投影反映实长，并反映直线与另两投并反映直线与另两投 影面倾角的实大。影面倾角的实大。另两个投影面上的投另两个投影面上的投 影平行于相应的投影影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴轴，其到相应投影轴 距离反映直
5、线与它所距离反映直线与它所 平行的投影面之间的平行的投影面之间的 距离。距离。投影特性：投影特性：V VH HabAaaBbbW WYXZOXZa b bbaOYHYWaaa b a bb侧平线侧平线AB判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？侧平线侧平线正平线正平线与与H面的夹角面的夹角:与与V面的角面的角:与与W面的夹角面的夹角:实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：OXZY水平投影水平投影abOX,侧面投影侧面投影abOZ。投影特性投影特性:直线直线AB的正面投影的正面投影ab积聚成一点积聚成一
6、点;同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。同样，对于铅垂线、侧垂线也可得到类似的特性。AB（a）babbazX（a）b baOYHYWab(2)(2)投影面垂直线投影面垂直线-正垂线正垂线YXZb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWaAB铅垂线铅垂线YXZABbaababZXabbaOYHYWab侧垂线侧垂线 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。(2)(2)投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影，在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性:a b a(
7、b)a b c(d)cdd c e f efe(f)(3)(3)一般位置直线一般位置直线Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段的实长。的实长。投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b c a c X X a b c Y Y Y Y b O O a Z Z b c A H H a c a V V b B a b c C b
8、 W W 二、二、直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上,则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投影同名投影上。上。点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同 的比例。即：的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c:c b=a c:c b 定比定理定比定理 若点在直线上若点在直线上,则点的则点的投影必在直线的同名投投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同投影分割成与空间相同的比例。即：的比例。即：若点的投影有一个不在直线的同名投影上，若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则则该点
9、必不在此直线上。该点必不在此直线上。点在直线上的判别方法点在直线上的判别方法：AC/CB=ac/cb=a c /c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理Dd(d )例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c a b c a b a b c a b c 在在 不在不在 a b c a a b c b c 不在不在 应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?例例2 2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）a a b b k a b k
10、 k a a b b k k 三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行平行、相交相交、交叉（异面）交叉（异面）。两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。b c d H H A d a C c V V a D b B a c d b c d a b O O X X 对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否
11、平行。a b c d a b c d c a b d b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直特殊位置直线线，只有两个同名投，只有两个同名投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。AB与与CD不平行。不平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点a c V V X X b H H D a c d k
12、 C A k K d b O O B c a b d b a c d k k c d k kd例例1 1：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影a b b a c 例例2 2：判断直线：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。c a b d a b cd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影 两直线交叉两直线交叉不相交！不相交！交点不符合一个点的投影规律！交点不符合一个点的投影规律！c a c a b d d b
13、 O O X X a c c A a C V V bH H d d D B b 两直线相交吗？两直线相交吗？为什么？为什么？a c c A a C V V b H H d d D B b c a c a b d d b O O X X 1(2)2 1 投影特性投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间不符合空间 一个点的投影规律一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。用其可帮助判断两直线的空间位置。4 3(4)3 4 3 3(4)1 2 1(2)VHa XOABCb abXOa b
14、 ab1.求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角 ZAB AB ZABab ZABAB ABab ZAB四、直角三角形法求实长四、直角三角形法求实长VHa XOABCb abXOa b abZY2.求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角a b AB YABABABa b YAB YAB YAB Z Z O Oabab H HaaAbV VBbW Wa b XAB a b XAB 3.求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角 XAB 例例1：已知直线的投影，求直线的：已知直线的投影，求直线的 实长及实长
15、及 角。角。X XO Oaabba ab b B B0 0实长实长作图要点：作图要点：1.1.作出直角三角形：作出直角三角形：直角边直角边1=ab1=ab,直角边直角边2=2=第三坐标差第三坐标差zz，倾角倾角=实长与实长与abab夹角。夹角。zzXa b b30a ba baa例例2 已知已知AB直线的正面投影直线的正面投影a b 及及点点B的水平投的水平投 影影b,=30,求求a b。Xa b abL ZAB ZABLcb0c0c AB例例3.在在AB直线上取一点直线上取一点C,使使AC=L。五、直角投影定理五、直角投影定理直角的投影特性：直角的投影特性：空间两直线成直角（相交或交叉），若
16、空间两直线成直角（相交或交叉），若直角有一边直角有一边平行于某投影面平行于某投影面，则它在，则它在该投影面上的投影仍为直角该投影面上的投影仍为直角。设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc 为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcH证明：证明：b a c abc交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两直线的投影条件：条件：互相垂直互相垂直的两直线的两直线(相交或交叉相交或交叉)其中其中有一条直线平行于某一投影面有一条直线平行于某一投影面则：
17、则：两直线在该投影面上投影仍互相垂直两直线在该投影面上投影仍互相垂直直角投影定理直角投影定理逆定理：逆定理：相交或交叉的两条直线相交或交叉的两条直线在同一投影面上的在同一投影面上的 投影成直角投影成直角 且且有一条直线平行于该投影面有一条直线平行于该投影面则：则：这两条直线在空间上必互相垂直这两条直线在空间上必互相垂直d abca b c d例例4：过：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。AB为正平线为正平线,正正面投影反映直角。面投影反映直角。f例例5 过点过点E 作线段作线段AB、CD 的公垂线的公垂线EF。fOcbaabXcddee例例6：过直线：过直线CD外一点外一点A，作
18、正平线，作正平线AB 与与CD相交。相交。aa c dcdbbc1b1XOXa(b)a b cdc d HABCDEFa b ecdfff ee 例例7 求直线求直线AB和和CD间的最短距离。间的最短距离。cabcc例例8 已知点已知点C在线段在线段AB上，求点上，求点C的正面投影。的正面投影。例例9 已知已知 线段的实长线段的实长AB，求它的水平投影。，求它的水平投影。a|zA-zB|ab a b|yA-yB|ABABab|zA-zB|b Xa bABeeeecc例例10 已知直线已知直线AB的两面投影和的两面投影和C点的水平投影点的水平投影,试过试过C点作一条直线点作一条直线CE垂直于垂直于AB,求直线求直线CE的两面投影的两面投影。cbabaOX例例11 求点求点E 到水平线到水平线AB的距离的距离。XOababeeddyD-yE所求距离例例12 作三角形作三角形ABC，ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，上，且且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO
