1、第六章第六章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论6.1应力状态的概念应力状态的概念 应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，称为称为一点处的应力状态一点处的应力状态。可用应力单元体来研究一点的应力状态。可用应力单元体来研究一点的应力状态。zxy六个独立的应力分量：六个独立的应力分量：),(zyxjiijixzzxzyyzyxxyzyx,dzdxdyxzyyxxzxyyzzxzyxzynyxyzyxyxzzxzyxzkjinnmlp第六章第六章 应力状态与强度理论应力状态与强度理论6.1应力状态
2、的概念应力状态的概念 单向应力状态单向应力状态可仅用某一方位微截面的正可仅用某一方位微截面的正应力描述；应力描述；纯剪切应力状态纯剪切应力状态可仅由一对互可仅由一对互垂微截面上的切应力描述。故对这两种应垂微截面上的切应力描述。故对这两种应力状态下的点可力状态下的点可分别按正应力或切应力建分别按正应力或切应力建立强度条件立强度条件，而无须涉及材料失效的原因。，而无须涉及材料失效的原因。而对微截面既有正应力又有切应力的而对微截面既有正应力又有切应力的复杂复杂应力状态应力状态，则必须找到能代，则必须找到能代表该应力状态表该应力状态的特征量的特征量，并结合，并结合材料失效的原因材料失效的原因，才能，才
3、能建立相应的强度条件建立相应的强度条件。应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，应力与点及截面方位有关。受力构件内过一点处不同方位微截面上应力的集合，称为称为一点处的应力状态一点处的应力状态。可用。可用应力应力单元体来研究一点的应力状态。单元体来研究一点的应力状态。zxydzdxdyxzyyxxzxyyzzxzy六个独立的应力分量：六个独立的应力分量：),(zyxjiijixzzxzyyzyxxyzyx,6.1应力状态的概念应力状态的概念 npmplpzyxkjinnmln若某一方位微面上的切应力为零，则称该面为若某一方位微面上的切应力为零，则称该面为主平面主平面
4、，主平面上的正应力称为，主平面上的正应力称为主应力主应力。任一应力状态至少有三对互垂的主平面，相应主应力分别记为：。任一应力状态至少有三对互垂的主平面，相应主应力分别记为：321321,且且xpypzpxzyyxyzyxyxzzxzyxzABCo若若AABC则则AnAmAloABoCAoBCAnAmAlAlApFzxyxxxx00)(nmlzxyxx0)(nmlzyyxy0)(nmlzyzxz1222nml0zyzxzzyyxyzxyxx032213JJJ实对称矩阵的特征值方程，有三个实根实对称矩阵的特征值方程，有三个实根p6.1应力状态的概念应力状态的概念 zyxJ1iiiziyzixzii
5、izyiyixyiiizxiyxixnnmlmnmllnml)()()(0)(jijijijinnmml lzyzxzzyyxyzxyxxJ3032213JJJ2222zxyzxyxzzyyxJJ1、J2、J3 分别称为一点应力状态的第一、第二和第三不变量分别称为一点应力状态的第一、第二和第三不变量jjjzjyzjxzjjjzyjyjxyjjjzxjyxjxnnmlmnmllnml)()()(jjjnmljjjnmliiinmliiinml若若ji即主平面互垂即主平面互垂0jijijinnmml l则则若主应力有二重根，则与第三个主平面垂直的所有微面都是主平面，若主应力有二重根，则与第三个主平
6、面垂直的所有微面都是主平面，且相应主应力相等，可取其中两个互垂的微面作为主平面。且相应主应力相等，可取其中两个互垂的微面作为主平面。若主应力是三重根，则所有方位的微面都是主平面，且相应主应力相若主应力是三重根，则所有方位的微面都是主平面，且相应主应力相等，可取其中三个互垂的微面作为主平面。等，可取其中三个互垂的微面作为主平面。6.1应力状态的概念应力状态的概念 工程中的杆件内各点在忽略次要应力的情况下一般处于平面应力状态（单向应力工程中的杆件内各点在忽略次要应力的情况下一般处于平面应力状态（单向应力状态可视为特殊的平面应力状态）。状态可视为特殊的平面应力状态）。如果将三个坐标轴分别取为互垂的各
7、主平面方向，则应力单元体的所有微面都如果将三个坐标轴分别取为互垂的各主平面方向，则应力单元体的所有微面都是主平面，单元体仅有主应力，称为是主平面，单元体仅有主应力，称为主单元体主单元体，是过一点所有单元体中最简洁，是过一点所有单元体中最简洁的，能反映该点应力状态的本质特点。的，能反映该点应力状态的本质特点。若一点的三个主应力都不为零，则称该点处于若一点的三个主应力都不为零，则称该点处于三向应力状态三向应力状态。如果只有两个主应。如果只有两个主应力不为零，称为力不为零，称为二向应力状态二向应力状态(平面应力状态平面应力状态)。仅有一个主应力不为零，则称为。仅有一个主应力不为零，则称为单向应力状态
8、单向应力状态(单轴应力状态单轴应力状态)。321313322123211JJJ1122332xyyxyxxymaxmin6.2平面平面应力状态应力状态0cos)sind(sin)cosd(sin)sind(cos)cosd(dAAAAAFyxxyyxn一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx平面应力状态单元体可以用平面图形表示，由两对互垂微平面应力状态单元体可以用平面图形表示，由两对互垂微面上独立的三个应力分量就能完全确定该点应力状态。面上独立的三个应力分量就能完全确定该点应力状态。2coscossin)(2sinsincos22xyyxx
9、yyxxyxyyxyxzxyxyyxyxxynsindAysindAyxntAdAdcosdAxcosdAxyxyyx0sin)sind(cos)cosd(cos)sind(sin)cosd(dAAAAAFyxxyyxt6.2平面平面应力状态应力状态90190Jyx2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx)22sin(2)22cos(22022022xyyxxyyxyx2222222xyyxyxR22212222242222RJJxyyxyxxyyyxyxxxyyx)22sin()22cos(200RRyxRRyxxy2/)(2cos2sin00 xyxyyxABR2/)(y
10、xC6.2平面平面应力状态应力状态二、应力圆二、应力圆 应力状态的几何描述应力状态的几何描述分别以分别以和和为坐标轴的坐标为坐标轴的坐标平面内的圆。平面内的圆。222222xyyxyx)22sin()22cos(200RRyxxyxyyxyxxynED),(HO202圆周上的点与平面应力状态单元体斜截面一圆周上的点与平面应力状态单元体斜截面一一对应一对应，这个圆称为，这个圆称为应力圆应力圆(莫尔圆莫尔圆)。22minmax22xyyxyx222minmax2xyyxR应力圆的圆心在应力圆的圆心在横坐标轴上，故只要知道任意横坐标轴上，故只要知道任意两个截面上的应力，就可作出两个截面上的应力，就可
11、作出应力圆应力圆xyxyyxABR2/)(yxC6.2平面平面应力状态应力状态三、主应力和主平面三、主应力和主平面若若0minxyxyyxyxxyEDO02定义定义0 0 为为max 相应主相应主平面与平面与 x 截面的夹角，则截面的夹角，则22minmax22xyyxyx03min2max1z若若0maxmin3max210zmin32max10z若若00minmaxyxxy2arctan210若若yxxyxyyxxy2arctan210若若yxmaxmin0min 相应主相应主平面的方位为平面的方位为2/002DxyxyyxABR2/)(yxC6.2平面平面应力状态应力状态三、主应力和主平
12、面三、主应力和主平面EDO0222minmax2xyyx2/)(yx最大最大 和最小切应力所在截面相互垂直和最小切应力所在截面相互垂直且与主且与主平面的夹角为平面的夹角为45o单向拉伸单向拉伸321OO321单向压缩单向压缩O13纯剪切纯剪切例：已知平面单元体的应力状态如图。例：已知平面单元体的应力状态如图。求：求：(1)截面上的应力；截面上的应力；(2)(2)主应力及主平面方位；主应力及主平面方位；(3)(3)最大切应力最大切应力 。max60o604010060MPaMPaMPaxyyx(MPa)10040解：建立坐标系，有解：建立坐标系，有xyMPa64.124)602sin(40)60
13、2cos(21006021006060(1)求斜截面上的应力求斜截面上的应力MPa28.3572.1244021006021006022minmaxMPa68.2)602cos(40)602sin(21006060(2)求主应力和主平面方位求主应力和主平面方位028.3572.124321MPaMPa得得Dx(60,40)Dy(100,-40)CO60260o),(6060例：已知平面单元体的应力状态如图。例：已知平面单元体的应力状态如图。求：求：(1)截面上的应力；截面上的应力；(2)(2)主应力及主平面方位；主应力及主平面方位；(3)(3)最大切应力最大切应力 。max02(MPa)100
14、6040 xy28.581802arctan2118010060402arctan210(2)求主应力和主平面方位求主应力和主平面方位028.3572.124321MPaMPa得得Dx(60,40)Dy(100,-40)COMPaMPaMPaxyyx401006012-58.28 o31.72 o与与 相应主平面的方位为相应主平面的方位为2则与则与 相应主平面的方位为相应主平面的方位为1yx72.31900(3)求最大切应力求最大切应力 maxMPa72.444021006022max例：已知平面单元体的应力状态如图。例：已知平面单元体的应力状态如图。(1)求求截面上的应力；截面上的应力；(2
15、)(2)作应力圆。作应力圆。0 xyyx解：建立坐标系，有解：建立坐标系，有xy2sin2cos22xyyxyx(1)求斜截面上的应力求斜截面上的应力02cos2sin2xyyx(2)作应力圆作应力圆O应力圆收缩为一点应力圆收缩为一点(点应力圆点应力圆)02222xyyxyxR6.3三向三向应力状态简介应力状态简介 223222221222nmlppppzyxkjinnmln若一点处三个主应力都不为零，则该点为三向应力状态。可由微隔离体的平衡若一点处三个主应力都不为零，则该点为三向应力状态。可由微隔离体的平衡导出任意斜截面上的应力，取坐标轴分别与三个主平面方向一致，任意斜截面导出任意斜截面上的
16、应力，取坐标轴分别与三个主平面方向一致，任意斜截面方位用其法向矢描述，则有方位用其法向矢描述，则有noxzy213ABC若若AABC则则AnAmAloABoCAoBClpAlApFxxx110222322222122nnnnmlp232221nmlnpmplpzyxnpn同理，有同理，有npmpzy32222232222212322212221nnnnmlnmlnml可视为以可视为以 l 2、m2 和和 n2 为未知量的联立方程组，求解可得：为未知量的联立方程组，求解可得：6.3三向三向应力状态简介应力状态简介 0)()(31213222nnnl0)()(12321322nnnm0)()(23
17、132122nnnn0)(0)(0)(212132322nnnnnnnnn02)2(2)2()(323232322322nnnnnn232223222nn231223122nn221222122nnO123c1c2c3三个互相相切的应力圆称为三个互相相切的应力圆称为三向应力圆三向应力圆6.3三向三向应力状态简介应力状态简介 232223222nn231223122nn221222122nn0l时有等式成立时有等式成立0m时有等式成立时有等式成立0n时有等式成立时有等式成立O123c1c2c3xzy123xzy123xzy123nnnxzy123n6.3三向三向应力状态简介应力状态简介 1max
18、O123c1c2c3max3min231maxxzy123maxmax最大切应力所在平面与主应力最大切应力所在平面与主应力2 平平行且与另两个主应力行且与另两个主应力1、3所在的所在的主平面互成主平面互成 45 o 夹角夹角最大正应力最大正应力最小正应力最小正应力最大切应力最大切应力例：已知一点的单元体应力状态如图。例：已知一点的单元体应力状态如图。求：求：(1)求主应力；求主应力；(2)(2)作三向应力圆；作三向应力圆；(3)(3)求最大切应力。求最大切应力。80404030(MPa)xyz解：单元体前、后面为主平面；建立坐标系，有解：单元体前、后面为主平面；建立坐标系，有MPaz30(主应
19、力主应力)MPaMPaMPaxyyx404080(1)求主应力求主应力)(28.1572.1042222minmaxMPaxyyxyxMPaMPaMPa3028.1572.104321(2)作三向应力圆作三向应力圆(3)求最大切应力求最大切应力)(36.672)30(72.104231maxMPa-303104.721215.28O(MPa)6.4广义胡克定律广义胡克定律 GxyxyEEExzxyxx各向同性材料的各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律xyzxxxyxyyx)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEEyxxzyxxzxyyzzxzyyz)(21zyxzyxE不变量，称为不变
20、量，称为体积应变体积应变GGGzxzxyzyzxyxydydxdz6.4广义胡克定律广义胡克定律 zyxVzOCyOBxOAdddddddkjiyxxzyxxzxyyzzxzyyzzyxzyxd)1(d)1(d)1(各向同性材料的体积变化率各向同性材料的体积变化率(体积应变体积应变)：OACBACBkjikjikjizzzCOyyyBOxxxAOzzyzxyzyyxxzxyx)d1(ddd)d1(ddd)d1(zzzyyyxxxCOBOAOVzzyzxyzyyxxzxyx)d1(ddd)d1(ddd)d1(d zyxzyxddd)1(展开并略去展开并略去高阶小量高阶小量)(21dddzyxzy
21、xEVVV在线弹性小变形下各向同性材料的体积改变仅与任意三在线弹性小变形下各向同性材料的体积改变仅与任意三个互垂截面的正应力之和相关个互垂截面的正应力之和相关KEEmm)21(33)()21(33216.4广义胡克定律广义胡克定律)(1)(1)(1213313223211EEEyxz112233)()1(1)()1(1)()1(1321332123211EEE主应变主应变321321xyxyyxyxz对于平面应力状态，有对于平面应力状态，有000zxyzz则则xyxyxyyxzxyyyxxEGEEE)1(2)()(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(122平面应力状态下的应变分
22、析是电测法力学实验的理论基础之一。通过测量构件表平面应力状态下的应变分析是电测法力学实验的理论基础之一。通过测量构件表面一点的应变，利用广义胡克定律换算出应力，从而确定该点应力状态。而自由面一点的应变，利用广义胡克定律换算出应力，从而确定该点应力状态。而自由表面各点处于平面应力状态。表面各点处于平面应力状态。6.5平面平面应力状态下的应变分析应力状态下的应变分析2sin2cos222sin2cos22xyyxyxxyyxyx22minmax222xyyxyxxyxyyxyxxy取取90)(1)(1maxmin2minminmax2maxEE2sin22cos22xyyxyx)(1E由广义胡克定
23、律由广义胡克定律yxxy02tan如果测出了某一点的如果测出了某一点的xyyx,则可求出该点的主应力则可求出该点的主应力6.5平面平面应力状态下的应变分析应力状态下的应变分析459009002xyyx22minmax222xyyxyx2sin22cos22xyyxyx应变花应变花(应变片组应变片组)由于切应变不易测量，实用中是沿三个便于计算的由于切应变不易测量，实用中是沿三个便于计算的角度测出线应变，代入上式解出角度测出线应变，代入上式解出xyyx,45oxyO90045直角应变花：取直角应变花：取45900321xyO120 o120 o120 o2459002900900)2()(2122
24、90452450900minmax)()(222)()(4590450)()(45904506.5平面平面应力状态下的应变分析应力状态下的应变分析23221222322122)60(240)60(1200 xyyxyxxyyxyxx3)(3232224012002401200 xyyx应变花应变花(应变片组应变片组)45oxyO90045直角应变花：取直角应变花：取45900321xyO120 o120 o120 o202402240120212002401200minmax)()()(323290452450900minmax)()(222等角应变花：等角应变花：)60(240)60(120
25、03216.5平面平面应力状态下的应变分析应力状态下的应变分析00(max)min00(min)maxEExyO900若被测点主方向已知，则可直接沿主方向测出两个主应变若被测点主方向已知，则可直接沿主方向测出两个主应变),min(),max(900min900max0(max)min0(min)max单向应力状态：单向应力状态：145345111xyxyEExyxy45324510纯剪切应力状态：纯剪切应力状态：即单向应力状态和纯剪切应力状态只要测得一个主方向即单向应力状态和纯剪切应力状态只要测得一个主方向的主应变就可以确定所有主应变，进而算出主应力。的主应变就可以确定所有主应变，进而算出主应
26、力。例：用直角应变花测得构件表面某点的应变例：用直角应变花测得构件表面某点的应变,1015.0,1045.034530材料的弹性常数材料的弹性常数,1025.0390,28.0,210GPaE试求该点的主应力和最大切应力试求该点的主应力和最大切应力45oxyO90045解：对直角应变花，有解：对直角应变花，有290452450900minmax)()(22232210)25.015.0()15.045.0(22225.045.033102536.0104536.0MPaMPa8.2802.87321MPaEMPaE8.28)(12.87)(1maxmin2minminmax2maxMPaMPa
27、582)8.28(2.87231max6.6应变能密度应变能密度 畸变能密度畸变能密度 VxzyWxyxyxyxyd21ddd21dVxzyWxxxxd21ddd21d纯剪切应力状态，有纯剪切应力状态，有xyxyyxxyzxxdxdydz单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为单向应力状态单元体微面上的力在变形过程中做的功为弹性体因变形而储存的能量称为弹性体因变形而储存的能量称为应变能应变能(变形能变形能)，线弹性范围，线弹性范围内，可通过功能原理求得。内，可通过功能原理求得。不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能不考虑能量损耗，则力做的功全部转化为单元体的应变能VWUxx
28、d21dd单位体积内储存的应变能，称为单位体积内储存的应变能，称为应变能密度应变能密度，单向应力状态有，单向应力状态有22212121ddxxxxEEVUu22212121xyxyxyxyGGu叠加原理不再适用叠加原理不再适用)(21)(221222222zxyzxyxzzyyxzyxGE6.6应变能密度应变能密度 畸变能密度畸变能密度)(21zxzxyzyzxyxyzzyyxxu若用主单元体的应力应变表示，则有若用主单元体的应力应变表示，则有yxxzyxxzxyyzzxzyyzdxdydz注意此表达式不是叠加注意此表达式不是叠加原理的结果原理的结果线弹性范围内，应变能只与受力变形的最终状态有
29、线弹性范围内，应变能只与受力变形的最终状态有关，与加力的次序无关。在三向应力状态下，有关，与加力的次序无关。在三向应力状态下，有)(21332211u)(221133221232221E1122332212222121)(2)1(2)(1(2)(21JEJEEEzxyzxyxzzyyxzyx2321232221)()(1(21E6.6应变能密度应变能密度 畸变能密度畸变能密度 112233mmmmmmm1m1m2m3m3m2mVVVmVVV32132100321321dddddd)()()(21)(21333322221111332211dVdVdVdVdVdVu)(21)(21)(21)(2
30、1332211332211332211332211VdVdVddVdVdVddddddVVVVVV)(21)(21321321dddmdddmdVuu6.6应变能密度应变能密度 畸变能密度畸变能密度 112233mmmmmmm1m1m2m3m3m2mVVVmVVV32132100321321dddddddVuuu23212222222)(6212)21(3)(221EEEummmmmmmV213232221)()()(61Eud形状改变能密度形状改变能密度(畸变能密度畸变能密度)体积改变能密度体积改变能密度mVu21例：试以纯剪切为例，求各向同性材料的弹性常数之间的关系。例：试以纯剪切为例，求
31、各向同性材料的弹性常数之间的关系。其主应力为其主应力为则有则有解：纯剪切应力状态下应变能密度为解：纯剪切应力状态下应变能密度为Gu221232102222)1(2)(2)(21EEu)1(2EG得得比较二式，即比较二式，即222)1(221EG6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 一、最大拉应力理论一、最大拉应力理论 (第一强度理论第一强度理论 )试验表明，材料的破坏失效不仅与材料性质有关，而且还与应力状态有关试验表明，材料的破坏失效不仅与材料性质有关，而且还与应力状态有关从可观察到的破坏现象，可归结为两类：脆性断裂与错动屈服。人们针对从可观察到的破坏现象，可归结为两类：脆性断裂与错动屈服
32、。人们针对这两类破坏的机理进行探讨研究，提出了多种关于材料失效原因和判据的这两类破坏的机理进行探讨研究，提出了多种关于材料失效原因和判据的假说，一旦被实践验证，就成为强度理论。常用的强度理论按破坏形式大假说，一旦被实践验证，就成为强度理论。常用的强度理论按破坏形式大致分为针对脆性断裂的理论和关于错动屈服的理论两类。致分为针对脆性断裂的理论和关于错动屈服的理论两类。脆性材料如铸铁、石材在拉伸和扭转时会发生脆性材料如铸铁、石材在拉伸和扭转时会发生脆性断裂脆性断裂；但在受压时；但在受压时则发生错动脱开，三向受压时甚至会出现明显的塑性变形。则发生错动脱开，三向受压时甚至会出现明显的塑性变形。低碳钢等塑
33、性材料，在一般情况下的破坏表现为低碳钢等塑性材料，在一般情况下的破坏表现为屈服失效屈服失效，发生显著，发生显著的塑性变形；在三向受拉时却会产生脆断而无明显的塑性变形。的塑性变形；在三向受拉时却会产生脆断而无明显的塑性变形。在任何应力状态下，材料发生脆性断裂的主要原因是最大拉应力达到极限值。在任何应力状态下，材料发生脆性断裂的主要原因是最大拉应力达到极限值。)0(11b失效判据失效判据(断裂条件断裂条件)：该极限值可通过单向拉伸破坏该极限值可通过单向拉伸破坏试验得到，即试验得到，即发生脆性断裂发生脆性断裂时时材料的强度极限材料的强度极限b。1强度条件：强度条件：该理论与脆性材料在二向或三向拉伸时
34、的破坏符合；若存在压应力，只要最该理论与脆性材料在二向或三向拉伸时的破坏符合；若存在压应力，只要最大压应力的大小不超过最大拉应力，该理论同样适用；也适用于塑性材料在大压应力的大小不超过最大拉应力，该理论同样适用；也适用于塑性材料在(或接近或接近)三向等拉应力状态时的场合。三向等拉应力状态时的场合。6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 二、最大伸长线应变理论二、最大伸长线应变理论 (第二强度理论第二强度理论 )在任何应力状态下，发生脆性断裂的主要原因是最大伸长线应变达到极限值。在任何应力状态下，发生脆性断裂的主要原因是最大伸长线应变达到极限值。)0(111u失效判据失效判据(断裂条件断裂条件
35、)：该极限值可通过该极限值可通过发生脆性断裂发生脆性断裂的单向拉伸破坏试验得到的单向拉伸破坏试验得到。)(321强度条件：强度条件：该理论符合脆性材料在单向受拉应力状态时的脆性断裂破坏，且较好地解释该理论符合脆性材料在单向受拉应力状态时的脆性断裂破坏，且较好地解释了岩石等脆性材料在单向受压时沿纵向开裂的脆性断裂现象。但在其他受力了岩石等脆性材料在单向受压时沿纵向开裂的脆性断裂现象。但在其他受力场合下与实际情况吻合程度较差。故这一理论适用范围有限。场合下与实际情况吻合程度较差。故这一理论适用范围有限。EEbu13211,)(1b)(321用正应力表示的失效判据用正应力表示的失效判据由于早期的工程
36、材料主要为砖石、铸铁等脆性材料，人们观察到的破坏现象多由于早期的工程材料主要为砖石、铸铁等脆性材料，人们观察到的破坏现象多为脆断。所以早期提出的强度理论如第一强度理论和第二强度理论都是针对脆为脆断。所以早期提出的强度理论如第一强度理论和第二强度理论都是针对脆性断裂破坏的理论。这一类理论说明材料的脆性断裂只有在以拉伸为主的情况性断裂破坏的理论。这一类理论说明材料的脆性断裂只有在以拉伸为主的情况下才可能发生。随着低碳钢等一类塑性材料大量用于工程，出现了以屈服失效下才可能发生。随着低碳钢等一类塑性材料大量用于工程，出现了以屈服失效或发生显著塑性变形为标志的破坏形式，又发展出相应的强度理论。或发生显著
37、塑性变形为标志的破坏形式，又发展出相应的强度理论。6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 三、最大切应力理论三、最大切应力理论 (第三强度理论第三强度理论 )在任何应力状态下，发生错动屈服的主要原因是最大切应力达到极限值。在任何应力状态下，发生错动屈服的主要原因是最大切应力达到极限值。umax失效判据失效判据(失效条件失效条件)：对塑性材料该极限值可通过对塑性材料该极限值可通过发发生错动屈服失效生错动屈服失效的单向拉伸破的单向拉伸破坏试验得到坏试验得到。31强度条件：强度条件：最大切应力理论又称为最大切应力理论又称为屈雷斯加屈雷斯加(H.Tresca)屈服条件屈服条件，适用于塑性材料在三，适
38、用于塑性材料在三向等拉应力状态以外的所有情况下的破坏。相应强度条件形式简单，且偏于向等拉应力状态以外的所有情况下的破坏。相应强度条件形式简单，且偏于安全。安全。2,231maxssus31用正应力表示的失效判据用正应力表示的失效判据6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 四、畸变能密度理论四、畸变能密度理论 (第四强度理论第四强度理论 )在任何应力状态下，发生错动屈服的主要原因是畸变能密度达到极限值。在任何应力状态下，发生错动屈服的主要原因是畸变能密度达到极限值。duduu 失效判据失效判据(失效条件失效条件)：对塑性材料该极限值可通过对塑性材料该极限值可通过发发生错动屈服失效生错动屈服失效
39、的单向拉伸破的单向拉伸破坏试验得到。坏试验得到。畸变能密度理论又称为畸变能密度理论又称为米塞斯米塞斯(Von.Mises)屈服条件屈服条件，适用范围与最大切应理，适用范围与最大切应理论相同，且更接近试验结果。论相同，且更接近试验结果。)2(61,)()()(612213232221sdudEuEus)()()(21213232221用正应力表示的失效判据用正应力表示的失效判据)()()(21213232221强度条件：强度条件：6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 五、莫尔五、莫尔(Mohr)强度理论强度理论莫尔强度理论是以几种典型应力状态下材料的破坏试验结果为依据，而建立莫尔强度理论是以
40、几种典型应力状态下材料的破坏试验结果为依据，而建立的带有一定经验性的强度理论。的带有一定经验性的强度理论。31tct强度条件：强度条件：莫尔强度理论可以看作是最大切应力理论的发展，考虑了材料拉压强度不等莫尔强度理论可以看作是最大切应力理论的发展，考虑了材料拉压强度不等的因素。的因素。当当ct31时，有时，有6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 强度理论的应用强度理论的应用对脆性材料：对脆性材料：在三向压缩应力状态下材料的破坏为屈服失效，应采用第三或第四强度理论。在三向压缩应力状态下材料的破坏为屈服失效，应采用第三或第四强度理论。在复杂应力状态下的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下
41、，宜采在复杂应力状态下的最大和最小主应力分别为拉应力和压应力的情况下，宜采用莫尔强度理论。用莫尔强度理论。在其他应力状态下材料的破坏为脆断，采用第一强度理论。在其他应力状态下材料的破坏为脆断，采用第一强度理论。对塑性材料：对塑性材料：在三向等拉应力状态在三向等拉应力状态(或接近或接近)下材料的破坏为脆断，应采用第一强度理论。下材料的破坏为脆断，应采用第一强度理论。在其他应力状态下材料的破坏为屈服失效，采用第三或第四强度理论。在其他应力状态下材料的破坏为屈服失效，采用第三或第四强度理论。上述观点，在现行工程设计规范中都有所反映。应当指出，在不同的情况下究上述观点，在现行工程设计规范中都有所反映。
42、应当指出，在不同的情况下究竟如何选用强度理论，这并不单纯是个力学问题，还与有关工程技术部门长期竟如何选用强度理论，这并不单纯是个力学问题，还与有关工程技术部门长期积累的经验和相应规定有关。不同的行业部门看法也不完全一致。如对钢梁的积累的经验和相应规定有关。不同的行业部门看法也不完全一致。如对钢梁的强度计算一般采用第四强度理论，而对压力容器多采用第三强度理论。强度计算一般采用第四强度理论，而对压力容器多采用第三强度理论。6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 相当应力相当应力主应力强度条件主应力强度条件相当应力相当应力r11r)(3212r(Tresca应力应力)313r31ctrM)()()
43、(212132322214r(Mises应力应力)6.7强度理论强度理论 相当应力相当应力 相当应力相当应力单向拉伸应力状态单向拉伸应力状态塑性材料塑性材料tttr1 5.0 5.023r单向压缩应力状态单向压缩应力状态43ctrMrrc纯剪切应力状态纯剪切应力状态577.0577.034r)6.05.0(1r铸铁材料铸铁材料8.0 8.025.12rrM)0.18.0(简单应力状态下，按正应力或切应力建立的强度条件符合相应的强度理论简单应力状态下，按正应力或切应力建立的强度条件符合相应的强度理论lt例：图示钢制圆柱形薄壁容器例：图示钢制圆柱形薄壁容器,受均布内压受均布内压 p=3.6MPa
44、的作用。其平均直径的作用。其平均直径 D=500 mm,材料的许用应力材料的许用应力=160 MPa。试确定容器的壁厚。试确定容器的壁厚 t。p42DpPtpDDtDpAP442ppDlP 解：求横截面和纵截面上的应力解：求横截面和纵截面上的应力tpDtlpDlAP22 042321 tpDtpD取单元体，求主应力取单元体，求主应力塑性材料在二向受拉应力状态塑性材料在二向受拉应力状态按第三强度理论：按第三强度理论：2313tpDrmmmmpDt63.5)(16025006.3 2按第四强度理论：按第四强度理论：43)()()(212132322214tpDrmmmmpDt87.4)(16045
45、006.33 43第三强度理论偏于安全第三强度理论偏于安全270120z15159例：图示两端简支的焊接工字钢梁例：图示两端简支的焊接工字钢梁，Iz=8810-6 m4，许用应力，许用应力=160MPa，试用第，试用第四强度理论校核梁的强度四强度理论校核梁的强度。解：作内力图，确定危险截面解：作内力图，确定危险截面MPaPayIMaz7.122)(135.01088108063校核危险点的强度校核危险点的强度MPaPabISFzzas6.64)(109108810)5.14215120(102003693*022222312221323222143)()()(21rBCA2m250kN1.6m
46、abc200kN50kNFs：80kNmM：a 点：点：1.1666.6437.122224MPar(超出量超出量 5%)270120z15159例：图示两端简支的焊接工字钢梁例：图示两端简支的焊接工字钢梁，Iz=8810 6 mm4，许用应力，许用应力=160MPa，试用，试用第四强度理论校核梁的强度第四强度理论校核梁的强度。解：作内力图，确定危险截面解：作内力图，确定危险截面MPaPayIMbz4.136)(15.01088108063校核危险点的强度校核危险点的强度0321)()()(212132322214rBCA2m250kN1.6mabc200kN50kNFs：80kNmM：b 点
47、：点：4.1364MPar270120z15159例：图示两端简支的焊接工字钢梁例：图示两端简支的焊接工字钢梁，Iz=8810 6 mm4，许用应力，许用应力=160MPa，试用，试用第四强度理论校核梁的强度第四强度理论校核梁的强度。解：作内力图，确定危险截面解：作内力图，确定危险截面校核危险点的强度校核危险点的强度MPaPabISFzzs6.85)(109108810339102003663*max321034rBCA2m250kN1.6mabc200kN50kNFs：80kNmM：c 点：点：3.1486.8534MPar3639*max1033910)5.6791355.14215120(mmSz6.854.9231603MPaMPa综上，梁的强度是足够的。综上，梁的强度是足够的。
