1、第2.5节 第二章 极限的性质与运算法则二二、极限的运算法则、极限的运算法则 一一、极限的性质、极限的性质 说明说明:此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如例如函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、极限的性质一、极限的性质 (反证法证明反证法证明)(由极限定义证明由极限定义证明)1.(唯一性唯一性)若若 存在存在,则极限值唯一则极限值唯一.)(limxfXx 2.(局部有界性局部有界性)若若 存在存在,则函数则函数f(x)在在x0 的的某个去心邻域内有界某个去心邻域内有界.)(lim0 xfxxx1sin但当但当 时时0 x，的的某某个个去去心心邻邻域域内内有有界界在在0
2、 x不收敛不收敛.3.(保号性保号性)若若0lim(),xxf xa 且且则在则在x0 的某个去心邻域内恒有的某个去心邻域内恒有()0f x (0).(0).(用反证法证明用反证法证明)(4的推论的推论)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0a(0).4.若若0lim(),xxf xa 且在且在x0 的某个去心邻域内恒有的某个去心邻域内恒有()0f x 0a 则则(0).5.若若0lim(),xxf xa 0lim(),xxg xb 且在且在x0 的某个空心邻域内恒有的某个空心邻域内恒有()(),f xg x.ab 则则二二、极限的运算法则、极限的运算法则1 1、数列极限四则运算法则：数列极限
3、四则运算法则：，那么，那么，设设bbaannnn limlim.limlimlim,0lim)4(babababbnnnnnnnnn 则则若若;,lim)(lim)1(无关的常数无关的常数是与是与其中其中nCCaaCCannnn ;limlim)(lim)2(bababannnnnnn ;limlim)(lim)3(abbabannnnnnn 说明说明(2)(2)和和(3)(3)可推广到有限个数列的情形可推广到有限个数列的情形，则则若若BxgAxfXxXx )(lim,)(lim).0()(lim)(lim)()(lim BBAxgxfxgxfXxXxXx这里要求这里要求;)()(lim)(l
4、im)3(无关的常数无关的常数是与是与xCCAxfCxCfXxXx ;)(lim)(lim)()(lim)1(BAxgxfxgxfXxXxXx ;)(lim)(lim)()(lim)2(ABxgxfxgxfXxXxXx 2、函数极限的运算法则、函数极限的运算法则 说明：说明：(1)(1)和和(2)(2)可推广到有限个函数的情形可推广到有限个函数的情形利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：利用极限四则运算法则求极限时，必须满足定理的条件：参加求极限的函数应为有限个，参加求极限的函数应为有限个，每个函数的极限都必须每个函数的极限都必须在考虑商的极限时，还需要求分母的极限不为零。在考虑商
5、的极限时，还需要求分母的极限不为零。例例1、求极限、求极限)123(lim21 xxx解:)123(lim21 xxx11213 1limlim2lim31121 xxxxx1limlim2lim31121 xxxxx1lim2lim3lim1121 xxxxx2 注意：注意：存在，存在，例例2、求极限、求极限1352lim22xxxx解:)52(lim22xxx552421limlim3)13(lim222xxxxx1352lim22xxxx5limlimlim22222 xxxxx07123 75)13(lim)52(lim222 xxxxx例例3.求求但因但因时，时，当当1x，分子，分子
6、分母分母00为常数。为常数。求求aaxxxx,42lim21 解:.4532lim21 xxxx)00(，型型3245lim21 xxxx31241512 0 4532lim21xxxx 5535aaa例例4、求下列极限、求下列极限,13124lim423 xxxx解:44213124limxxxxx 30 0,7812lim23xxxx ,7812lim22xxxx xxxx7812lim22 82 41 13124lim423 xxxx01278lim32 xxxx xxxx7812lim23xxx17812lim2 “抓大抓大头头”总结例总结例4可得：可得：mmmnnnxbxbxbaxa
7、xa 110110lim 00ba0 mn mn mn ),.,1,0(),.,1,0(mjbniaji 其中其中为常数，且为常数，且mnba,0,000 为非负整数。为非负整数。42lim.54 xxx求求例例解:42lim4 xxx)2)(2(2lim4 xxxx)2(1lim4 xx41 型型00“消去零因子消去零因子”1311lim.631xxx求求例例型型分分式式相相减减的的 通通分分，再再约约分分131lim1311lim32131xxxxxxx)1)(1()2)(1(lim21xxxxxx12lim21xxxx1)00(型型0 原式原式解:2 例例7、已知、已知解解:011301
8、)(32xxxxxxxf),(lim),(lim),(lim0 xfxfxfxxx求求)(lim0 xfx)(lim0 xfx 1)(lim0 xfx所以所以)(limxfx)(limxfx)1(lim0 xx1 113lim320 xxxx1 113lim32 xxxx0 )1(lim xx答答:不存在不存在.否则由否则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 问问)(limxfXx)(limxgXx1.若若存在存在,不存在不存在,是否存在是否存在?()()()()g xf xg xf x 与已知条件与已知条件矛盾矛盾.)()(limxgxfXx 存在存在,利用极限四则运算法则可知利用极限四则运
9、算法则可知)(limxgXx思考及练习思考及练习为什么为什么?2.试确定常数试确定常数 k 使使232lim43xxxkx 解解:当当 x 3 时时,23lim(2)0 xxxk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 30 x 而而3lim()4xf x 即即23320k 3k 3.试确定常数试确定常数 a、b 使使21lim()01xxaxbx 解解 :原式原式=2(1)()(1)lim01xa xab xbx 要使上式要使上式 成立成立,必须有必须有11ab 10a 0ab (存在存在)作业：作业：P P9191 11(1)(5)(9)(13)(17)(21)(27)(29)11(1)(5)(9)(13)(17)(21)(27)(29)14,15(1)(3)(5)14,15(1)(3)(5)
