1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数执教老师：易静执教老师：易静班级：高二（班级：高二（2 2）问题一问题一、函数的极值定义、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值.使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点（5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判
2、断f(x)在这个在这个 根处取极值的情况根处取极值的情况问题二问题二;求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求函数的导数）求函数的导数f(x)（3）求方程）求方程f(x)=0的根的根（4）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格成若干个开区间，并列成表格xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6135(),(),()f xf xf x246(),(),()f xf xf x问题三：问题三：观察下列图形观察下列图形,找出函数的极值找出函数的极值函数函数y=f(x)的极
3、小值的极小值：函数函数y=f(x)的极大值的极大值：在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函概念，极值只是某个点的函数值与它数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最
4、小的函数值比较是最大或最小,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。着它在函数的整个的定义域内最大或最小。新新 课课 讲讲 授授1知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。知识与技能：掌握利用导数求函数最值的方法。2.过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的过程与方法：正确理解利用导数研究函数的最值的具体过程。具体过程。3.情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特情感、态度与价值观：引导学生实现自我探索的特点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。点，自己总结用导数研究函数最值方法和注意事项。重点：利用导数求函数的最值。重点：利用导数求函数的最值。难点：准确求函数的最
5、值。难点：准确求函数的最值。bax,在闭区间在闭区间上的连续函上的连续函数必有最大数必有最大值与最小值值与最小值观察下列图形观察下列图形,你能找出函数的最值吗？你能找出函数的最值吗？xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(bax在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值.因此：该函数没因此：该函数没有最有最大大值。值。f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)探究探究1xoya x1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？结论结
6、论:一般的如果在区间一般的如果在区间a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。那么它必有最大值和最小值。探究探究2Oxyabx3x2x1Oxyabx1x2x3Oxyabx2x1思考思考1观察下列图形观察下列图形,找出函数的最找出函数的最值值并总结并总结规律规律图图1图图3图图2 连续函数在连续函数在a,b上必有最值；上必有最值；并且在极值点或端点处取到并且在极值点或端点处取到.观察右边一个定义在区观察右边一个定义在区间间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象：的图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在
7、区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能数图象的情况下，怎样才能判断出判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)思考思考2追踪练习追踪练习(2)(2)将将y y=f f(x x)的各极值与的各极值与f f(a a)、f f(b b)()(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小
8、值一个最小值.求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1)(1)求求f f(x x)在区间在区间(a a,b b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)；注意注意:1.在定义域内在定义域内,最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.方法总结方法总结求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论是在整体范围内讨论问题问题,是一个
9、整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内的内的连续连续函数不一定有最值函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必是则此极值必是函数的最值函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而而函数的极值则可能不止一个函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).1下列说法正确的是()(A)函数的极大值就是函数的最大值(B)函数的极小值就是函
10、数的最小值(C)函数的最值一定是极值(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.2.函数y=f(x)在区间a,b上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则()fx()(A)等于 0(B)大于 0(C)小于 0(D)以上都有可能3.函数y=432111432xxx ,在1,1上的最小值为()(A)0(B)2(C)1(D)12134 4、函数、函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的最大值为（上的最大值为（)(A)-4 (B)0 (C)16(A)-4 (B)0 (C)16 (D)(D)2020C C学以致用学以致用反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型：其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。21()612f xxx解:(）()002fxxx令解得或(240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)()2,2fx由知在的 最 大 值 为 3.(0),fa(2)8fa 能力提升能力提升已知函数 在-2,2上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在-2,2上的最大值axxx2362)(f通过本堂课的学习 我学会了 我感到困惑的是 我体会到
