1、23 个经典的不等式专题 1. 证明：； . 222 111 1+2 23n 2. 若：，求证： ； 33 ab2ab2 3. 若：，求证：； nN . 1111 1 2n1n22n 4. 若：，且，求：的取值范围 ； , a b0 abab3ab 5. 若：是的三边，求证： ； , ,a b cABC abc 1a1b1c 6. 当时，求证： ； n2 . 222 111111 1 2n1n 23n 7. 若，求的值域 ； xR 22 yxx1xx1 8. 求函数的最大值和最小值 ； sin cos 3 y 2 9. 若，求证： ； , ,a b c0 2
2、229 abbccaabc 10.若，且，试求：的取值范围； , ,a b cR 222 abc25a2b2c 11.若，且，求的最小值； , ,a b cR 2ab2c6 222 abc 12.若，且，求的最大值和最小值； , ,a b cR ()()() 222 a1b2c3 1 1654 abc 13.若，且满足， , ,a b c0 , ,x y z0 222 abc25 222 xyz36 ，求：的值； axbycz30 abc xyz 14.求证： ； n 2 k 1 15 3 k 15.当时，求证：； n2 ()n 1 213 n 16.求证： ； . (
3、) . . () 11 31 3 51 3 52n1 2n1 22 42 4 62 4 62n 17.求证： ； ().() 111 2n11122n11 23n 18.已知：,求证： ； x0 ln() x 1xx 1x 19.已知：，求证： ； nN .ln(). 11111 1n1 23n12n 20.已知：，求证： ； n2 () n 2n n1 21.已知：，求证： ； nN . n 111n 1 23212 22.设：，求证： ； .() n S1 22 3n n1()()2 n n n12Sn1 23.已知：，求证： . nN . 111 12 n1n23n1 23 个经典的不等
4、式专题解析 1. 证明： ； . 222 111 1+2 23n 证明 放缩法 . () nnnn 22 k 1k 2k 2k 2 111111 111112 k k1k1kn kk 从第二项开始放缩后，进行裂项求和. 此法称为“放缩法”. 积分法 构建函数：，则在区间为单调递减函数. ( ) 1 f x 2 x ( )f xxR 于是： () n nn n 222 1 1k 1k 2 1111111 11dx1122 xn1n kkx 从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为； 1, n 积分项小于求和项时，积分限为. 此法称为“积分法”. 2,1n 加强版 求证：
5、 . 222 1117 4 12n 证明 放缩法 .+. 2222222 1111111 12n12131n1 . 1111111 1 221213131n1n1 11111 1 22131nn1 111 1 22131 1137 111 2244 2. 若：，求证： 33 ab2ab2 证明 公式法 ，即： ()()() 3322 abab ababab ab ()ab ab2 则：，即：，即：. ()3ab ab6() 33 ab3ab ab8()3ab8ab2 立方和公式以及均值不等式配合. 此法称为立方和的“公式法”. 琴生不等式 构建函数：，则在在区间为单调递增函数，且
6、是下凸函数. ( ) 3 f xx xR 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值. 即： ()().(). () f xf xf xxxx 12n12n f nn 对于本题： 即： ( )( ) () f af bab f 22 333 abab 22 即：，即：，即： 333 abab2 1 222 ab 1 2 ab2 琴生不等式可秒此题. 此法称为“琴生不等式”. 权方和不等式 若（，或） a0 b0 m0 m1 则： (.) . (.) m 1m 1m 1 n1n1 mmm 1n1n aaaa bbbb 已知：，即： 33 ab2 33 22 ab 1 22
7、()() 采用权方和不等式： 3333 2223 ababab 22222 ()() ()()() 即：，即：. 此法称为“权方和不等式”. 3 3 ab 1 2 () ab2 幂均不等式 由于幂均函数随 单调递增而得到幂均不等式： . ( ) 1 rrr r 12n r aaa Ma n r ，即： ( )( ) 13 MaMa 1 33 3 abab 22 即：，即：. = 1 1 33 3 3abab2 1 222 ab2 此法称为“幂均不等式”. 3. 若：，求证： nN . 1111 1 2n1n22n 解析 放缩法 由： 得： ， nnnkn, ,.(),k1 2n
8、111 2nnkn 则：， 即： nnn k 1k 1k 1 111 2nnkn . n111n 2nn1n2nnn 第 5 页页 故： . . 1111 1 2n1n22n 从一开始就放缩，然后求和. 此法称为“放缩法”. 性质法 本题也可以采用不等式性质证明. 所证不等式中的任何一项如第项，均满足，当有项累加时， k 111 2nnkn n 不等式两个边界项乘以倍，则不等式依然成立. n 即：大于最小值得倍，小于最大值的倍. nn 另外，的最大值是，本题有些松. . 111 n1n22n ln20 693147 4.若：，且，求：的取值范围 ； , a b0 abab3ab 解
9、析 解析法 ， ()()() 222 abab2ab4ab4 ab34 ab12 令：，则上式为：，即： tab 2 t4t120 ()()t6 t20 故：或（舍）. t6 t2 本题采用了均值不等式和二次不等式. 基本不等式 由得：，即：. abab3abab14()()a1 b14 两正数之积为定值时，两数相等时其和最小. 故：当时，为最小值. ()()a1b12()()a1b1 即：，即：. ()()a1b1224 ab6 拉格朗日乘数法 拉格朗日函数为： ( , )()L a bababab3 第 6 页页 当拉氏函数取极值时，； () L 1b10 a
10、() L 1a10 b 即：，即： 11 b1a1 ba 则取极值时，代入得： ( , )L a bba abab3 2 a2a3 即：，即：，即： 2 a2a30 ()()a3 a10 a3 故：取极值时，则： ( , )L a bba3ab6 由于当时，代入得：，即： a2 abab32bb5b5 此时，. ab2576 则为最小值，故：. ab6ab6 此法称为“拉格朗日乘数法” 5. 若：是的三边，求证： , ,a b cABC abc 1a1b1c 证明 单调性法 构造函数，则在时，为单调递增函数. ( ) x f x 1x x0 ( )f x 所以，对于三角形来说，两
11、边之和大于第三边，即： abc 那么，对于增函数有：，即： ()( )f abf c abc 1ab1c 由放缩法得：， aa 1a1ab bb 1b1ab 由上式及式得： . abababc 1a1b1ab1ab1ab1c 构造函数，利用函数单调性，此法称为“单调性法”. 对于两边之和大于第三边的式子，其实是“设限法”或“设界法”. 第 7 页页 6. 当时，求证： n2 . 222 111111 1 2n1n 23n 证明 放缩法 当时， n2 n1nn1 都扩大倍得：，取倒数得：， n()() 2 n n1nn n1 ()() 2 111 n n1n n1 n 裂项：，求和
12、：， 2 11111 n1nnn1 n ()() nnn 2 k 2k 2k 2 11111 k1kkk1 k 即： . 先放缩，裂项求和，再放缩. . 222 111111 1 n2n1 23n 此法为“放缩法”. 积分法 构建函数：，则在区间为单调递减函数. ( ) 2 1 f x x ( )f xxR 由面积关系得到： ABDEAGDEAEFC SSS ( ) 11 kk1 dxf kdx k1k 22 xx 即： 2 kk1 111 xx k k1k 即： 2 11111 11kkkk k 本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同. 此法称为“积分法” 加强版
13、由第 1 题的求证：可得： . 222 111711 4nn1 12n . 22 1131 4n 2n 故加强版为：当时，求证：. n2 . 222 1111131 2n14n 23n O A B D C EF G H 第 8 页页 7. 若，求的值域 xR 22 yxx1xx1 解析 向量法 22 22 1313 yxx1xx1xx 2424 设：， 13 mx 22 (,) 13 nx 22 (,) 则：， 2 13 mx 24 2 13 nx 24 mn1 0( , ) 代入向量不等式：得：，故：. mnmn ymnmn1 1y1 当且仅当时，不等式的等号成立. mn/ / 因为与不平行
14、，故：. m n 1y1 这回用绝对值不等式. 此法称为“向量法”. 极值法 求函数的极值，从而得到不等式. 22 yxx1xx1 极值时导数为： 0' 22 2x12x1 y0 2xx12xx1 则：，故函数的极值出现在. x 22 yxx1xx1 x 函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在. ,)x0 ()() 2222 22 22 xx1xx1xx1xx1 yxx1xx1 xx1xx1 ()() 22 2222 xx1xx12x xx1xx1xx1xx1 22 2 1111 11 xx xx 第 9 页页 lim () m x 22 2 y1 1111 11 xx xx
15、由于是奇函数，故在， (, )x0 22 22 2x yxx1xx1 xx1xx1 22 2 1111 11 xx xx lim () m x 22 2 y1 1111 11 xx xx 故：. 此法称为“极值法”. (, )y1 1 8、求函数的最大值和最小值 ； sin cos 3 y 2 解析 斜率法 将函数稍作变形为： ， ( sin ) cos MN MN yy0 y33 2xx 设点，点，则(,) MM M xy(,) NN N xy( , )M 2 0 ，而点在单位圆上，(cos ,sin )N N k y 就是一条直线的斜率，是过点和圆上点MN 直线斜率的倍，关键
16、是直线过圆上的3N 点. 斜率的范围为： k y tan,tan oo 3030 即： , k 33 y 33 而是的倍，即：，故： . y k y3 k y3y 1y1 M N 第 10 页页 即：的最大值是 ，最小值是. y11 原本要计算一番，这用分析法，免计算了. 此法称为“斜率法”. 辅助角法 先变形：变形为：； sin cos 3 y 2 cossinsincos2yy33y 利用辅助角公式得： ； (sincos )sin() 22 22 3y 2y3y3y 3y3y 即：，即：； sin() 2 2y 3y sin() 2 2y 11 3y 即：，即：，即：，即： 2 2 4y
17、 1 3y 22 4y3y 2 y1 1y1 如果要计算，需要用到辅助角公式. 此法称为“辅助角法”. 9. 若，求证： , ,a b c0 2229 abbccaabc 证明 柯西不等式 由柯西不等式： 2 111abbcca abbcca abbccaabbcca 即： 2 111 2 abc39 abbcca 即： 2229 abbccaabc 此法称为“柯西不等式”. 排序不等式 第 11 页页 首先将不等式变形：； abcabcabc9 abbcca2 即：，即：. cab9 3 abbcca2 cab3 abbcca2 由于对称性，不妨设：，则：； abcabacbc 即：. 11
18、1 bcacab 由排序不等式得： 正序和乱序和； abcabc bcacabacabbc 正序和乱序和； abcabc bcacababbcac 上两式相加得： abcabbcac 23 bcacababbcac 即： 证毕. cab3 abbcca2 此法称为“排序不等式”. 权方和不等式 权方和不等式：若（，或） a0 b0 m0 m1 则： (.) . (.) m 1m 1m 1 n1n1 mmm 1n1n aaaa bbbb 采用权方和不等式得： 222 222222 abbccaabbcca ()()() 22 2223 29 abbcca2 abcabc ()() (
19、)()()() 此法称为“权方和不等式”. 10.若，且，试求：的取值范围. a b cR, , 222 abc25a2b2c 解析 第 12 页页 向量不等式 设：， m12 2( , ) na b c( , , ) 则：， 222 m1223() 222 nabc255 m n12 2a b ca2b2c( , ) ( , , ) mn3 515 代入向量不等式得： m nm n a2b2c15 即： 15a2b2c15 此法称为“向量不等式” 柯西不等式 由柯西不等式得： 22 22222 122abca2b2c 即：，故： 2925a2b2ca2b2c15 所以： 15a2
20、b2c15 此法称为“柯西不等式”. 拉格朗日乘数法 构建拉格朗日函数： 222 1 L a b ca2b2cabc25( , , )() 由函数在极值点的导数为得： 0 ，则：，即：； L2a 10 a 2a a 2 ，则：，即：； L2b 20 a bb ，则：，即：. L2b 20 a c c 代入得：，即： 222 abc25 22 9 =5 4 10 3 第 13 页页 极值点为：， 5 a 23 10 b 3 10 c 3 则：，即： ya2b2c15 m 15a2b2c15 此法称为“拉格朗日乘数法” ，简称“拉氏乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式： 22222 2222
21、2 a2b2ca2b2ca2b2c 5 = abc 144144 3 ()()()() () 即：，即: 2925a2b2c15a2b2c15 其中， 2222 a2b2ca2b2c 144144 ()()() () 就是“权方和不等式” ，也称“柯西-苏瓦茨不等式(推论)”. 11.若，且，求的最小值. a b cR, , 2ab2c6 222 abc 解析 向量不等式 设：， m212( ,) na b c( , , ) 则：； 2 222 m2129()() 2 222 nabc m n2ab2c 代入向量不等式得： m nm n 2 222 9 abc2ab2c36 即：，故：最小值为
22、. 222 abc4 222 abc4 此法称为“向量法”. 柯西不等式 由柯西不等式： 2222222 212abc2ab2c()() ()() 第 14 页页 即： 22 222 222 2ab2c6 abc4 9 212 () () ()() 故：最小值为. 222 abc4 此法称为“柯西不等式”. 拉格朗日乘数法 构建拉氏函数： 222 L a b cabc2ab2c6( , , )() 在极值点的导数为，即： 0 ，即：； L 2a20 a a ，即：； L 2b0 b 2b ，即：. L 2c20 c c 代入得： 2ab2c6 4 3 则：， 4 a 3 2 b 3 4 c 3
23、 故： 222 222 42436 abc4 3339 求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下，就像第 4(3)题. 本题最小值为. 222 abc4 此法称为“拉格朗日乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式得： 22222 222 2ab2c2ab2c6 abc4 4144149 ()()()() 即：，故：最小值为. 222 abc4 222 abc4 此法称为“权方和不等式”. 第 15 页页 12.若，且，求的最大值和最小值. a b cR, , 222 a1b2c3 1 1654 ()()() abc 解析 柯西不等式 由柯西不等式： 222 2 2
24、22 a1b2c3 452a1b2c3 425 即：；故：. 2251abc25abc25() 于是：. 3abc7 此法称为“柯西不等式”. 三角换元法 有人说：是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 222 a1b2c3 1 1654 ()()() 它的三个半轴长分别为：， A4 B5 C2 设：，则这个椭球的方程为： xa1 yb2 zc3 222 222 xyz 1 ABC 现在来求的最大值和最小值. abc 采用三角换元法： 令：， xAsincos yBsinsin zCcos 代入方程检验，可知它满足方程. 采用辅助角公式化简： fxyzABCsincossinsincos
25、 452sincossinsincos 第 16 页页 2 22 45 452 4545 sin (cossin)cos 2 452sin()sincos 22 2222 212 212 212212 sin() sin ()sincos sin ()sin () 22 212sin ()sin() 故：的峰值是： fxyz 当时， 2 1sin () 222 m f2122125sin () 即： 5xyz5 而， xyza1b2c3abc2 故：，即：. 5abc25 3abc7 此法称为“三角换元法”. 拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数为： 222 a1b2c3 L a b cabc1 1
26、654 ()()() ( , , ) 当拉式函数取极值时，有：，. 则： L 0 a L 0 b L 0 c ，即：或； La1 10 a8 8 a1 8 a1 ，即：或； L2 b2 10 b5 () 5 2 b2() 5 b2 2 ，即：或. Lc3 10 c2 2 c3 2 c3 则： 5 a1b2c38216 5 4 2 ():():(): 设：，则：， a116k b25kc34k 第 17 页页 代入得： 222 a1b2c3 1 1654 ()()() 222 16k5k4k1 即：，即： 2 25k1 5k1 于是： a1b2c316k5k4k25k()()() 即： abc5
27、5k252 52, 即： abc3 7, 拉格朗日乘数法求出的是极值，即的极小值是、极大值是. abc3 7 这就是“拉格朗日乘数法”. 权方和不等式 由权方和不等式得： 2222 a1b2c3a1b2c3 1 16541654 ()()()() 即：，即： 2 2 abc2 1 5 () 22 abc25() 故：，即：. 5abc25() 3abc7 此法就是“权方和不等式”. 13.若，且满足， a b c0, , x y z0, , 222 abc25 222 xyz36 ，求：的值. axbycz30 abc xyz 解析 柯西不等式 由柯西不等式： 2 222222
28、abcxyzaxbycz 当柯西不等式中等号成立时，有：， abc xyz 即：， axby cz0 本题，将，代入得： 222 abc25 222 xyz36 axbycz30 第 18 页页 ，正是等号成立. 2 253630 则：； 2222222 abcxyz() 即：，即： 222 2 222 abc25 36 xyz 5 6 故： . abcabc5 xyzxyz6 此法称为“柯西不等式”. 14.求证：. n 2 k 1 15 3 k 证明 放缩法 nnn 222 k 1k 2k 2 114 11 kk4k nn 2 k 2k 2 411 1
29、12 2k12k1 4k1 1115 1212 32n133 注意变形为不等式的方法，虽然仍是“放缩法”. 积分法 构建函数：，则在区间为单调递减函数. 2 1 f x x ( ) f x( )xR nnn 222 k 1k 3k 3 11151 1 44 kkk n n 2 3 3 5151511 dx 44x4n3 x 51151195 43n43123 此法称为“积分法”. 第 19 页页 15.当时，求证：. n2 n 1 213 n () 证明 放缩法 由二项式定理得： ; n n k12n nnnn k2n k 0 11111 1C1CCC nn nnn . 采用放缩
30、法： 当时， n2 12n1 nnnn 2n 1111 1CCC1C2 nn nn . 即： n 1 12 n 由二项式定理并采用放缩法得： n n k n k k 1 11 11C n n n k k 1 n1 1 knk n ! !()! n k k 1 1n 1 k nkn ! !( )! n k 1 1nn1n2nk1 1 knnnn () ()() . ! nnn k 1k 2k 2 111 1112 kkk! nn k 2k 2 111 22 k k1k1k() 1 213 n 本题由二项式中，分子由从 n 开始的 k 个递减数连乘，分母由 k 个 n 连乘，得到的分 数必定小于 1. 于是得到：. n 1 13 n () 第 20 页页 此法为“放缩法”. 伯努利不等式 由伯努利不等式得： . n 11 11n2 nn 式得证. 单调性法 本题也可以利用函数的基本性质证明. 构建函数：，则在时，函数为单调递增函数. x 1 f x1 x (
