1、. . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 2019 年普通高等学校全国统一考试 必?必? 理科数学（一） 本试卷共 23 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A = x | y = lg(x 1),B = 1,0,1,2,3，则 (CRA) B =（）. A： 1,0B： 1,0,1C： 1,2,3D： 2,3 2. 已知复数 z
2、= 3 4i，则 |z| z =（）. A： 3 5 + 4 5i B： 3 5 4 5i C： 1 + iD： 1 i 3. 设函数 f(x) = sinx + xcosx ax2 (a R,a = 0)，若 f(2018) = 2，则 f(2018) =（）. A： 2B： 2C： 1D： 1 4. 执行如图所示的程序框图，若输入的 x = 14 3 ，则输出 y 的值为（）. A： 1 2 B： 1 2 C： 3 2 D： 3 2 5. 已知向量 a = (2,3),b = (6,m)，且 ab，则向量 a 在 a + b 方向上的投影为（）. A： 65 5 B： 65 5 C： 13
3、 D： 13 6. 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a8= 2,S7= 98，则 a3+ a9=（）. A： 16B： 14C： 12D： 10 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）. A： 24 + 43B： 163 + 27C： 32 + 43 + 47D： 32 + 23 + 47 8. 已知实数 x,y 满足约束条件 x + y 1 0 x + 4y 4 0 y 0 ，则 z = x + y x 2 的取值范围是（）. A： (,3 2 1,+) B： (,1 2 2,+) C： 1 2,2 D： (,1 2,+) 9. 已知 (1+x)n展开式中第三项
4、的二项式系数与第四项的二项式系数相等，(1+x)n= a0+a1x+a2x2+anxn， 若 a1+ a2+ + an= 242，则 a0 a1+ a2 + (1)nan的值为（）. A： 1B： 1C： 81D： 81 10. 把一个球形的铁质原材料切割成正三棱柱形的工业用零配件，若该正三棱柱形的零配件的最大体积为 8cm3，则 球形铁质原材料的体积为（）. A： 4 3 cm3B： 8 3 cm3C： 16 3 cm3D： 32 3 cm3 11. 若函数 f(x) = ex 1 2ax 2 有极值点，则实数 a 的取值范围是（）. A： (,0) (e,+)B： (,0) (1,+)C：
5、 (e,+)D： (,0) 12. 已知双曲线方程为 x2 a2 y2 b2 = 1 (a 0,b 0)，过其右焦点 F 且倾斜角为 4 的直线与双曲线的右支交于 A,B 两 点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 x = a2 c 和 AB 于点 P,M，若 2|AB| = 3|PM|，则该双曲线的渐近线方程为 （）. A： y = 2 4 xB： y = 2xC： y = 2 2 xD： y = 6 2 x 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 在区间 5,2 内任意取一个数 x0，则 3 0) 的左、右焦点，P 为椭圆
6、 C 上的一点，Q 是线段 PF1上靠 近点 F1的三等分点，PQF2为正三角形，则椭圆 C 的离心率为. . . .装订线. 15. 已知数列an满足an= (n 1)an1 n2 (n 1)an1 (n 2,n N),a1= 1 3，则数列an的通项公式为an =. 16. 已知函数 f(x) = sin ( x 6 ) 2sin2 (1 2x 3 ) + 1 ( 0) 的最小正周期为 ，把 f(x) 的图象向左平移 6 个单位长度后得到函数 g(x) 的图象，若 g(x) 在区间 0, m 3 和 2m, 7 6 上是单调递增函数，则实数 m 的取值范围 是. 三、解?题：共三、解?题：
7、共 70 分分. 解?应写出?字说明、证明过程或演算步?解?应写出?字说明、证明过程或演算步?. 第第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必?作? 题为必考题，每个 试题考生都必?作?. 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作?题为选考题，考生根据要求作?. （一）必考题：每小题（一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 cosC = 2 3. （1）若 ABC 是以角 C 为顶角的等腰三角形，求 sinA 的值； （2）若 bcosA + acosB = 2,a + b = 6，求 ABC 的面积.
8、18. 如图，在矩形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，将 ADM 沿 DM 折起至四棱锥 A1 DMBC，设 E,F 分别为线 段 BC,A1M 的中点. （1）证明：EF 平面 A1DC； （2）若 AB = 4,AD = 2,A1C = 23，求二面角 M A1D C 的余弦值. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 19. 设以线段 AB 为直径的圆 C : (x 2)2+ (y 1)2= r2(r 0) 和抛物线 y2= 2px (p 0) 交于 A,B 两点，且点 A,B 与原点 O 都不重合. （1）若直线 AB 的斜率为 1，求该抛物线的方程；
9、（2）试判断圆 C 是否过点 O，若过点 O，求直线 AB 的方程，若不过点 O，请说明理由. 20. 2018 年非洲猪瘟在东北三省出现，为了防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术 服务，两种方案如下： 方案一：公司每天收取养殖场技术服务费 40 元，对于需要用药的每头猪收取药费 2 元，不需要用药的不收费； 方案二：公司每天收取养殖场技术服务费 120 元，若需要用药的猪不超过 45 头，不另外收费，若需要用药的猪 超过 45 头，超过的部分每头猪收费标准为 8 元. （1）设日收费为 y（单位：元） ，每天需要用药的猪的数量为 n（单位：头） ，试写出两种方案中
10、 y 与 n 的函数 关系式. （2）若该生物医药公司从 10 月 1 日起对甲养殖场提供技术服务，10 月 31 日该养殖场对其中一个猪舍 9 月份和 10 月份的猪的发病数量（单位：头）进行了统计，得到了如下的 2 2 列联表： 9 月份10 月份合计 未发病4085125 发病652085 合计105105210 根据以上列联表判断是否有 99.9% 的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关. 附： P (K2 k0)0.0500.0100.001 k03.8416.63510.828 （3）当地的丙养殖场对过去 100 天的猪的发病情况进行了统计，得到如图所示的条形图. 依据
11、该统计数据，把频 率视为概率，从节约养殖成本的角度去考虑，若丙养殖场计划结合以往经验，从两个方案中选择一个，那么选择哪个 方案更合适，请说明理由. . . .装订线. 21. 设函数 f(x) = (x 1)2ex 1 + lnx x + a. （1）当 a = 0 时，求曲线 y = f(x) 在点 (1,f(1) 处的切线方程； （2）当 a 0 时，讨论函数 f(x) 的零点个数. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作?题中任选一题作?. 如果多做，按所做的第一题计分如果多做，按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4：坐标系
12、与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程 x = 4cost y = sint （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 cos ( + 4 ) = 2. （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）射线 OP 的极坐标方程为 = 3 ( 0)，若射线 OP 与曲线 C 的交点为 M，与直线 l 的交点为 Q，求线段 MQ 的长. 23. 【选修 4 5：不等式选讲】 （10 分） 设函数 f(x) = |x 3| + |x + 3|. （1）解不等式 f(x) 8； （2）
13、若函数 f(x) 的最小值为 t，且正数 a,b 满足 a + b = t，求 1 a + 1 + 1 b + 2 的最小值. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 2019 年普通高等学校全国统一考试 必?必? 理科数学（二） 本试卷共 23 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的. 1. 设集合 A = x | (x 1)(3 x) 0，集合 B
14、 = x | (1 3 )x1 1 ，则 A B = （）. A： x | x 1B： x | x 3C： x | 1 x 3D： 1 2. 已知复数 z = 1 + bi 满足 z z z z = i，其中 z 为复数 z 的共轭复数，则实数 b =（）. A： 1B： 2C： 1D： 1 或 1 3. 已知实数 x,y 满足约束条件 x + 2y 1 0 2x + y 2 0 x y + 2 0 ，则 z = x 2y 的最小值为（）. A： 1 4 B： 1 2 C： 4D： 2 4. 直线 kx y 2k + 2 = 0 被圆 (x 1)2+ (y 1)2= 16 所截得的弦长的最小值
15、为（）. A： 214B： 27C： 22D： 23 5. 已知向量 a = (1,2),b = (1,m)，则“m 0,| 2019，则正整数 m 的 最小值为（）. A： 16B： 17C： 18D： 19 12. 定义函数 f(x) = 4 8 ? ? ? ?x 3 2 ? ? ? ? ,1 x 2 1 2f (x 2 ) ,x 2 ，则函数 g(x) = xf(x) 6 在区间 1,2n (n N) 内所有零点的和 为（）. A： nB： 2nC： 3 4(2 n 1)D： 3 2(2 n 1) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20
16、 分分. 13. 已知角 的终边经过点 (1, 3)，若角 的终边绕原点 O 逆时针旋转 4 得到角 的终边，则 sin =. 14. 在区间 0,1 内随机选取两个实数 x,y，满足 x2 2x y 1 x 的概率是. 15. 若半径为 1 的球的内接正三棱柱的侧面为正方形，则该正三棱柱的表面积为. 16. 已知抛物线 y2= 2px (p 0) 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 Q，双曲线 x2 a2 y2 b2 = 1 (a 0,b 0) 的一条渐 近线被抛物线截得的弦为 OP，O 为坐标原点. 若 PQF 为直角三角形，则该双曲线的离心率等于. 三、解?题：共三、解?题：共 70
17、分分. 解?应写出?字说明、证明过程或演算步?解?应写出?字说明、证明过程或演算步?. 第第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必?作? 题为必考题，每个 试题考生都必?作?. 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作?题为选考题，考生根据要求作?. （一）必考题：每小题（一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17. 在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c，sin2A + sin2B = 4sinAsinB cosC. （1）求角 C 的最大值； （2）若 b = 2,B = 3 ，求 ABC 的面积. 18. 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C
18、1中，D 为 B1C1的中点，平面 AA1D 平面 AB1C1. （1）证明：B1C1 平面 AA1D； （2）若 AC = 2,BC = 22，且二面角 B AD C 的大小为 3 ，求 AA1的长. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 19. 为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛. 已知该竞赛共有 60 名学生参加，他们成绩的频率 分布直方图如图所示. （1）估计这 60 名参赛学生成绩的中位数； （2）为了对数据进行分析，将 60 分以下的成绩定为不合格，60 分以上（含 60 分）的成绩定为合格，某评估专 家决定利用分层抽样的方法从这
19、60 名学生中选取 10 人，然后从这 10 人中抽取 4 人参加座谈会，记 为抽取的 4 人 中，成绩不合格的人数，求 的分布列与数学期望； （3）已知这 60 名学生的数学建模竞赛成绩 Z 服从正态分布 N(,2)，其中 可用样本平均数近似代替，2可 用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表）. 若成绩在 46 分以上的学生均能得到奖励，本次数学建 模竞赛满分为 100 分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五入保留整数）. 参考数据：P( 0) 的右焦点 F2，并交椭圆于 A,B 两点，且 |AB| 的最小值 为 3. （1）求椭圆的标准方程； （2）若过 AB 的中点
20、 M 且与直线 l 垂直的直线 l1与 y 轴交于点 N，求 NAB 面积的最大值. . . .装订线. 21. 已知函数 f(x) = ex x ax + lnx. （1）a = 1 时，讨论 f(x) 的单调性； （2）若 a 1, e2 4 + 1 2 ，求 f(x) 的最小值 g(a) 的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作?题中任选一题作?. 如果多做，按所做的第一题计分如果多做，按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程
21、为 x = 3 + 2cos y = 2sin （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = 2. （1）设点 M,N 分别为曲线 C1与曲线 C2上的任意一点，求 |MN| 的最大值； （2）设直线 l : x = 1 + tcos y = tsin （t 为参数）与曲线 C1交于 P,Q 两点，且 |PQ| = 1，求直线 l 的方程. 23. 【选修 4 5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 f(x) = |x + 4| m,m R，且 f(x 2) 0 的解集为 4,0. （1）求 m 的值； （2）已知 a,b,c
22、 都是正数，且 a + 2b + c = m，求证： 1 a + b + 1 b + c 2. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 2019 年普通高等学校全国统一考试 必?必? 理科数学（三） 本试卷共 23 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A = x | 2x+ 1 3,B = y | y = 4 x2，则 A B =
23、（ ）. A： (1,0B： (0,1)C： (1,2D： 0,2 2. 已知函数 f(x) = 1 x (x 0, 0,| 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2，直线 l 过左焦点 F1且与双曲线的左支交 于 A,B 两点，若 |AF1| = 3|BF1|,|AB| = |BF2|，则双曲线 C 的离心率为（）. A： 2 B： 3 C： 2D： 5 . . .装订线. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 袋子里装有 5 个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质量完全相同） ，某人从袋子中一次性取 出 2 个
24、小球，则取出的 2 个小球中含有红色小球的概率为. 14. 已知实数 x,y 满足不等式组 y 0, y x, x + y m 0 ，且目标函数 z = 3x 2y 的最大值为 180，则实数 m 的值 为. 15. 若 ( x + 1 2 4 x )n 展开式中前三项的系数成等差数列，且含 x 的项为 f(x)，则 n 1 |f(x)|dx =. 16. 若函数 f(x) = ex (1 a)x a(x + 1)ln(x + 1) 在定义域内单调，则实数 a 的取值集合为. 三、解?题：共三、解?题：共 70 分分. 解?应写出?字说明、证明过程或演算步?解?应写出?字说明、证明过程或演算步
25、?. 第第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必?作? 题为必考题，每个 试题考生都必?作?. 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作?题为选考题，考生根据要求作?. （一）必考题：每小题（一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,Sn= n2+ n + a + 1 (a R). （1）若 a = 2，求数列 an 的通项公式； （2）若数列 an 是等差数列，bn= an+1 n Sn+1 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn. 18. 如图，在四棱锥 P OABC 中，四边形 OABC 为直角梯形，AB OC,AOOC
26、,2AB = 2AO = OC = PO = 4， D 为 OC 的中点，E 为线段 PO 上的动点（不与端点重合）. （1）问：E 在什么位置时，PB 平面 ADE？ （2）若 PO 平面 OABC，当 E 到平面 PBC 的距离为 3 时，求锐二面角 E BC P 的余弦值. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 19. 清华大学中学生标准学术能力诊断性测试于 2018 年 11 月 2 日 3 日分线上和线下同时进行，清华大学为了解 2019 届考生的学业水平，从线下考生中随机抽取 100 名考生，对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，按成绩分 组，得到频率
27、分布表如下： 组号12345 分组560,580)580,600)600,620)620,640)640,660 频数 1 20 频率0.100.25 2 0.05 （1）请先求出频率分布表中 1 、 2 位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图（用阴影表示） ； （2）学校校招办决定从第 4,5 组中用分层抽样的方法抽取 10 名考生进行自主招生面试，从这 10 名考生中随机 抽取 3 名考生接受考官 M 的面试，这 3 名考生中来自第 5 组的人数记为 ，试求 的分布列和数学期望. 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a b 0) 经
28、过点 ( 1, 3 2 ) ，且它的右焦点为 F(1,0). 直线 l : y = kx + 1 与椭圆 C 有两个不同的交点 A,B. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设点 M 在 y 轴上（M 不在 l 上） ，且满足 S1 S2 = |AM| |BM|，其中 S1,S2 分别为 OAM,OBM 的面积，求点 M 的坐标. . . .装订线. 21. 已知函数 f(x) = xe2x a(2x + lnx),a R，e 为自然对数的底数. （1）若曲线 y = f(x) 在点 (1,f(1) 处的切线方程为 y = e2，求 a 的值； （2）若 x0为函数 f(x) 的极值点，且 f(
29、x0) 0，求证：f(x0) x0 4x3 0. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作?题中任选一题作?. 如果多做，按所做的第一题计分如果多做，按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 x = 2 + 2cos y = 2sin （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 = 4sin. （1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）已知曲线 C3是过坐标原点且倾斜角为 的直
30、线，点 A 是曲线 C3与 C1的交点，点 B 是曲线 C3与 C2的 交点，且点 A,B 均异于坐标原点 O，|AB| = 42，求 的值 23. 【选修 4 5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 f(x) = |2x 1| + |2x 2| x 3. （1）在平面直角坐标系中作出函数 f(x) 的图象； （2）设函数 f(x) 的最小值为 m，若 a 0,b 0,c 0，且 1 2a + 1 3b + 1 4c = |m| 3 ，求证：2a + 3b + 4c 9. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 2019 年普通高等学校全国统一考试 必?必? 理科
31、数学（四） 本试卷共 23 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A = x Z | log2(x + 1) 1,B = x | x2 2x 3 xD： ex ex 9. 已知双曲线 C : x2 2 y2 b2 = 1 (b 0) 的一条渐近线方程为 y = 2 2 x，点 M(x0,y0) 是 C 上的一点，点 F1,F2是 C 的左、右焦点，若 y0 (
32、 3 3 , 3 3 ) ，则 F1MF2的取值范围是（）. A： ( 3 , 2 ) B： ( 3 , 5 6 ) C： ( 2 , 2 3 ) D： ( 2 , 10. 已知 a 1，若函数 f(x) = x2+ 1 e ,x 1 ax xlna,x 1 在 (,0) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是（）. A： e,+)B： (1,e2C： e2,+)D： (1,e2 11. 已知 x 4 , 2 ，函数 f(x) = 2sin2 ( 4 + x ) 3cos2x m，若 f(x) 0). （1）当 a = 2 时，证明：f(x) ln2； （2）若函数 f(x) 有两个不相等的零点
33、 x1,x2，证明：x1+ x2 2a. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作?题中任选一题作?. 如果多做，按所做的第一题计分如果多做，按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4：坐标系与参数方程】 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C2的参数方程为 x = cos y = 1 + sin （ 为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 4cos ( 6 ) + 1 = 0. （1）求 C1的直角坐标方程； （2）判断 C1与 C2的交点个数，并说明理由. 23. 【选修
34、 4 5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 f(x) = |x + 1| 2|x a|. （1）若 a = 2，求函数 f(x) 的最大值； （2）设 a 0，若 |f(x)| = 2 有 3 个解，求实数 a 的值. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 2019 年普通高等学校全国统一考试 必?必? 理科数学（五） 本试卷共 23 题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的 在每小题给出的四个选项中
35、，?有一项是符 合题目要求的. 1. 设全集为 R，M = x | y = ln(1 x),N = x | 2x(x2) b） 球门 MN、EF 分别位于左、右边界的中心位置，它们的宽均为 m 米. 体育课上，小明和队友一起做射门游戏，如图， 每人需站在边界线 BC 上向球门 MN 射球，记射球位置为点 Q. 当小明进球的可能性最大时，小明距离点 B（提示： 小明看球门的视角最大时，进球的概率最大） （）. A： b a 2 米B： b2 m2 2 米C： b m 2 米D： a 4 米 . . .装订线. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共
36、20 分分. 13. 函数 f(x) = 2x x2有个零点. 14. 已知 x,y 满足约束条件 x 0 y 0 x + y 1 ，则目标函数 z = (x 1)2+ (y 1)2的取值范围是. 15. 直线 x y 4 = 0 与抛物线 y2= 2x 所围成的图形的面积为. 16. 关于 x 的二次方程 anx2 an+1x (3n+ 1) = 0 (n N) 有两个不等实数根 x1,x2，且满足 1 x1 + 1 x2 + 1 = 2 x1x2 . 若 a1= 4，则数列 an 的通项公式是. 三、解?题：共三、解?题：共 70 分分. 解?应写出?字说明、证明过程或演算步?解?应写出?
37、字说明、证明过程或演算步?. 第第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必?作? 题为必考题，每个 试题考生都必?作?. 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作?题为选考题，考生根据要求作?. （一）必考题：每小题（一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17. 已知向量 m = ( 3sin x 4 ,1 ) , n = ( cos x 4 ,cos2 x 4 ) ，函数 f(x) = m n. （1）求 f(x) 的最小正周期和单调递增区间； （2）在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 f(A) = 1 2,b + c = 4,a = 2，求
38、 ABC 的面积. 18. 在棱台 ABCD A1B1C1D1中，AA1 底面 ABCD，点 E 为棱 DD1的中点，四边形 ABCD 是边长为 2 的正 方形，AA1= A1B1= 1. （1）求证：CDA1E； （2）求二面角 E A1B A 的余弦值. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 19. 设 A,B 两点的坐标分别为 (2,0),(2,0)，直线 AP 与 BP 相交于点 P，且斜率之积为 1 2. （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过曲线 C 上一点 Q 作斜率为 2 2 的直线交线段 AB（不包括端点）于点 M，交曲线 C 于另一点
39、N，求证： |MQ|2+ |MN|2为定值. 20. 国庆期间，某商场举行大型促销活动，消费满 500 元的顾客均有机会参加一个游戏并根据游戏结果获得相应的精 美礼品. 游戏规则如下：现场有 10 个相同的盒子，每个盒子装有 2 个红球和 4 个白球（大小、形状均相同） ，要求顾 客从每个盒子中摸出一个球，统计颜色后将小球放回对应的盒子，赠送的礼品如下表所示： 10 红9 红 1 白8 红 2 白7 红 3 白6 红 4 白5 红 5 白4 红 6 白3 红 7 白2 红 8 白1 红 9 白10 白 冰箱彩电洗衣机电饭煲微波炉豆浆机刀具一套水杯平底锅电烤箱电磁炉 （1）顾客得到冰箱的概率是多
40、少？ （2）如果这次活动举办非常成功，大量的消费者参与了该游戏，猜想哪种礼品发放最多，并说明理由. . . .装订线. 21. 已知 f(x) = 2lnx + ax2(a R). （1）讨论函数 f(x) 的单调性； （2）设 g(x) = (a + 1)x + 1, f(x) + 2g(x) 0 在 1,+) 上恒成立，求 a 的取值范围. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作?题中任选一题作?. 如果多做，按所做的第一题计分如果多做，按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4：坐标系与参数方程】 （10 分） 已知曲线 C 的
41、参数方程为 x = 2cos y = sin （ 为参数） ，过点 F(1,0) 且倾斜角为 4 的直线 l 交曲线 C 于 A、B 两点. （1）求 |AB|； （2）设 P 为曲线 C 上任意一点，求 |PF| 的取值范围. 23. 【选修 4 5：不等式选讲】 （10 分） 已知函数 f(x) = |x a| |2x 1|. （1）当 a = 2 时，解不等式 f(x) 1； （2）求证：f(x) ? ? ? ?a 1 2 ? ? ? ?. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 2019 年普通高等学校全国统一考试 必?必? 理科数学（六） 本试卷共 23
42、题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的 在每小题给出的四个选项中，?有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 M = x | 1 0) 的左、右焦点，点 P 在 的右支上. 若 2|PF1| 9|PF2|，且 |PF1|2= 4|OF2|2 |PF2|2，则 的离心率的取值范围是（）. A： (1, 85 7 B： 85 7 ,+)C： (1, 85 49 D： 85 49,+) 11. 已知定义域为 R 的函数 f(x) 的图象
43、关于原点对称，经过点 (4,2)，且满足 f (5 2 x ) = f(x). 若首项为 1 的数 列 an 的前 n 项和为 Sn，且 an= n(Sn+1 Sn an)，则 f(a2019) + f(a2020) =（）. A： 2B： 3C： 3D： 2 12. 已知关于 x 的方程 e2x1 x emx 2 = 0 (x = 0) 至少有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是（）. A： 3 ln2,+)B： (3 ln2,+)C： 1 + ln2,+)D： (1 + ln2,+) 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 1
44、3. 已知实数 x,y 满足约束条件 y 2x + 1 y x + 4 x 3 ，则 z = 1 y 3x 的最大值为. 14. (x2 1) ( 1 x + 2x )6 的展开式中 x4的系数为. 15. 若直线 l 是曲线 y = ex+ 1 的切线，也是曲线 y = 3 + lnx 的切线，则 l 的斜率为. 16. 一个正三棱锥（底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥）铁盒的底面边长为 2，侧棱长为 13， 若在该铁盒内放一个小正方体，且小正方体在铁盒内可以随意转动，则该小正方体的表面积的最大值为. . . .装订线. 三、解?题：共三、解?题：共 70 分分. 解?应写出
45、?字说明、证明过程或演算步?解?应写出?字说明、证明过程或演算步?. 第第 17 21 题为必考题，每个 试题考生都必?作? 题为必考题，每个 试题考生都必?作?. 第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作?题为选考题，考生根据要求作?. （一）必考题：每小题（一）必考题：每小题 12 分，共分，共 60 分分. 17. 在锐角 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 3 ( bsinC ccosB tanC ) = a. （1）求角 A； （2）若 ABC 的面积为 3 4 c2，求实数 的取值范围. 18. 如图，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四边形 A
46、BCD 是菱形，AB = A1A = 2，E,F 分别为棱 DD1,AA1 的中点，点 G 在线段 A1C 上. （1）证明：EG 平面 BDF； （2）若直线 A1C 与平面 ABC 所成的角为 45，求二面角 A1 CE D 的余弦值. . . 省（直辖市、自治区）市学校年级姓名考号 . . .装订线. 19. 2018 年 11 月 27 日 28 日，2018“未来信息通信技术国际研讨会”在北京召开，本届大会以“5G 应用生态与技 术演进”为主题，全球 5G 大咖齐聚一堂，进行了深入探讨. 为了给 5G 手机的用户提供更好的服务，我国的移动、联 通、电信三大运营商想通过调查了解现有 4G 手机用户对传输速度的满意度，随机抽取了 100 名手机用户进行调查评 分（满分 100 分，单位：分） ，其频数分布表如下所示. 评分分组40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100 频数5101545205 （1）作出频率分布直方图，并求这 100 名 4G 手机用户评分的平均数（同一组中的评分用该组区间的中点值作代 表） ； （2）以样本的频率作为概率，认为评分“不低于 80 分”为“满意度高” ，现从所有 4G 手机用户中随机抽取 5 名
