1、用换元法解二元方程组王王 忠忠郑州市第二十六中学郑州市第二十六中学10/30/20221 1 曾经曾经有人有人对物理学家和数学家对物理学家和数学家提出了这样一个提出了这样一个问题：问题：“假设在你面前有煤气灶假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和水龙头、水壶和火柴火柴,你想烧开水，应当怎样去做？你想烧开水，应当怎样去做？”对此对此二者都二者都回答回答说说:“在壶中灌上水在壶中灌上水,点燃煤气点燃煤气,再把壶放在煤气再把壶放在煤气灶上灶上.”提问者肯定了这一回答提问者肯定了这一回答,但是但是,他又追问道他又追问道:“如果其他的条件都没有变化如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有只是水壶中已经有
2、了足够的水了足够的水,那么你又应该怎样去做？那么你又应该怎样去做？”这时物这时物理学家回答说理学家回答说:“点燃煤气点燃煤气,再把水壶放上去再把水壶放上去.”而数学家回答而数学家回答说说:“把水壶中的水倒掉把水壶中的水倒掉,再把再把壶中壶中灌上水灌上水,点燃煤气点燃煤气,把壶放在煤气灶上把壶放在煤气灶上.”你同意数学家的做法吗？数学家为什么要这样做呢？你同意数学家的做法吗？数学家为什么要这样做呢？10/30/20222 2 “把水倒掉把水倒掉”,这就是化归这就是化归,这就是数学家常用的方法这就是数学家常用的方法.换元法是初中数学的一种重要解题方换元法是初中数学的一种重要解题方法法,是化归思想在
3、数学中的一种体现是化归思想在数学中的一种体现.通过换元通过换元,可把复杂问题简单化可把复杂问题简单化,把未知转化为已知或可知把未知转化为已知或可知.下面我们举例说明换元法在解方程组下面我们举例说明换元法在解方程组中的应用中的应用.10/30/20223 3.,14)(5)(316)()(5)4(dcbadcbadcba则若.1453165)3(的解为方程组yxyx4 4复习方程组的解法：复习方程组的解法：一、找两位同学解下列方程组一、找两位同学解下列方程组1453165)2(1453165)1(babanmnm二、哪位同学能快速地说出答案？二、哪位同学能快速地说出答案？三、通过上面的观察，你发
4、现了什么？10/30/20224 4二元一次方程组的解只二元一次方程组的解只与方程组的系数有关，与方程组的系数有关，与所选用的未知数与所选用的未知数(古称古称元元)无关无关.10/30/20225 5.131453165nmnmnm，解得14)(5)(316)()(5.1babababa解方程组例解：设a+b=m,a-b=n.则原方程组可化为1213bababa，解得.即为原方程组的解10/30/20226 614)(5)(316)()(5.1babababa解方程组例另解：原方程组可化为1428823baba两式相加得：两式相加得：1111a a=22,=22,a a=2.=2.将将a a=
5、2=2代入方程代入方程1 1得得:b b=1.=1.12ba原方程组的解是10/30/20227 714)3(5)2(316)3()2(5.1yxyx解方程组练习.131453165nmnmnm，解得解：设x-2=m,3-y=n.则原方程组可化为251332yxyx，解得.即为原方程组的解10/30/20228 8另解：原方程组可化为另解：原方程组可化为523355xyxy5-5-得：得：2222x x=110,=110,x x=5.=5.将将x x=5=5代入代入得：得：y y=2.=2.5.2xy原方程组的解是10/30/20229 914125131612115.1yxyx解方程组思考题
6、.131453165nmnmnm，解得18112131yxyx，解得.即为原方程组的解，则原方程组可化为解：设nymx121,110/30/20221010C C10/30/20221111.43.2yxpnymxcbyax的解为已知方程组思考题.23231pnymxcbyax解方程组.2)1(2)1(2pnyxmcbyxa解方程组.5235233pnymxcbyax解方程组10/30/20221212.2323pynxmcybxa解：原方程组可化为.23231pnymxcbyax解方程组21,4233yxyx解得由已知得10/30/20221313.2)1(2)1(2pnyxmcbyxa解方程组.2)1(2)1(pynxmcybxa解：原方程组可化为24,4231yxyx解得由已知得10/30/20221414.5235233pnymxcbyax解方程组.52535253pynxmcybxa解：原方程组可化为105,452353yxyx解得由已知得10/30/2022151510/30/20221616
