1、 测测 试试 题题 1填空题： （1）已知 a，b，c 是非零实数，那么 | | abcabbcacabc abcabbcacabc = 。 解：当 a，b，c 都是正数时， | | abcabbcacabc abcabbcacabc =7； 当 a，b，c 中有一个数是负数，其余两个数是正数时，不妨设 a0，c0， 则 | | abcabbcacabc abcabbcacabc =1+1+11+111=1； 当 a，b，c 中有二个数是负数，另一个数是正数时，不妨设 a0，b0， 则 | | abcabbcacabc abcabbcacabc =11+1+111+1=1； 当 a，b，c 都
2、是负数时， | | abcabbcacabc abcabbcacabc =111+1+1+11=1。 所以答案是 7 或1. （2）若 m 是有理数，|m2|+|m4|+|m6|+|m8|的最小值是 。 解：当 m 取 4 到 6 之间的数时，|m2|+|m4|+|m6|+|m8|的值最小。不妨取 m=4， 则，|m2|+|m4|+|m6|+|m8|=2+0+2+4=8。 所以原式的最小值是 8. （3）如果在分数 28 43 的分子和分母上分别加上非零自然数 a、b 以后，所得的结果是 7 12 ， 那么 a+b 的最小值是 。2-1-c-n-j-y 解： 7 12 = 2835 = 486
3、0 ，4843=5，所以取 a=0，b=5 即可满足条件。此时 a+b=5. 3528=7，6043=17，所以取 a=7，b=17 满足条件，此时 a+b=7+17=24. （4）将 11111 212305690 写成分母是连续自然数的五个真分数的和，是 。 解： 11111 212305690 = 111111111 2345678910 = 111111111 ()+()() 3672489510 = 11111 678910 。 （5）当 x=1，y=1 时，ax+by4=0，那么当 x=1，y=1 时，ax+by4= 。 解：当 x=1，y=1 时，ax+by4=0，所以 ab4=
4、0，即 ab=4， 当 x=1，y=1 时，ax+by4=a+b4=44=8. 2计算：7+77+777+ 107 7777 个 。 解：7+77+777+ 107 7777 个 =7(1+11+111+ 10 1111 个1 ) =71234567900=8641975300. 3计算： 1111 1 32 43 59 11 。 解：原式 = 1111111111 (1)()()()() 23243589911 = 11111111 (1)() 223934511 = 111136 (1) 22101155 . 4已知2 是方程|a1|x+5=0 的解，也是方程 ax=7 的解，求 a 的值
5、。 解：因为2 是方程|a1|x+5=0 的解，所以|a1|(2)+5=0，所以|a1|= 5 2 ， 所以 a= 7 2 或 a= 3 2 . 又 2 也是方程 ax=7 的解，所以 a (2)=7，a= 7 2 。 5已知 a(a1)=(a2b)2，求 22 2 ab ab 的值。 解：由 a(a1)=(a2b)2，知 a2a=a2b2，所以 ab=2. 22 2 ab ab = 222 2()4 2 222 ababab 。 6 已 知 关 于x的 不 等 式 3 ()23 ()3 ( 34) 4722 8 xaxaxaxa 与 5(1)5(23) 246 xaxx 同解，求 a 的值。
6、 解：解不等式得 3323393 447722287 xaxaxaxa ， 29 728 x a，所以 29 4 xa ； 解不等式得 5555 224432 xaxx ， 15 1242 a x ，所以15 6xa， 由已知 29 156 4 aa ，60=29a+24a，解得 a=12. 7从 1 开始，依次写到 150，这 150 个自然数共有几个数字？ 解：从 1 到 9，有 9 个数字，从 10 到 99 共有 290=180 个数字， 从 100 到 150 共有 351=153 个数字， 所以一共有 9+180+153=342 个数字。 8如图为棋盘形道路网，A、B 两处由于修路
7、不能通行，这时从 M 到 N 的最短路径有多少 条？ N M B A 解： 172 107 6536 71 25 46 25 10 21 15 1029 18 11 11 7 5 6 6 6 5 5 4 4 3 32 1 1 1 1 1 1 1 1111 N M B A 所以从 M 到 N 的最短路径有 172 条。 9要使得六位数156能被 36 整除，且所得的商最大，求三个内应填的数组成的三位 数是 。 解：在三个中最大都填上 9，得到 159996，这个数被 36 除，得 4444 余 12， 15999612 的个位数字不是 6，所以还要再减去三个 36， 即得到 159996(12+
8、363)=159876。三个内填入 987。 10在等式“迎+春+杯=迎春杯”中，不同字代表不超过 5 的整数，求出各组数。 解：若三个数都是正整数，那么可以是 1+2+3=123； 如果其中有一个是 0， 那么剩余的两个数的和为 0， 可以是1， 0， 1； 2， 0， 2； 3， 0，3；4，0，4；5，0，5； 如果三个数都是 0，即0，0，0也成立； 如果三个数都是负数，那么1，2，3也是成立的。 11某粮库上午运走全部存粮的 1 3 又 2000 袋，下午又运进粮食 6000 袋，这时粮库中的存 粮比原来少 1 6 ，原来粮库存粮是多少袋？www.21-cn- 解：设粮库原来存粮 x
9、 袋，则 x( 3 x +2000)+6000= 5 6 x. 60002000= 5 6 x+ 3 x x，得4000 6 x ，所以 x=24000. 答：原来粮库存粮是 24000 袋。 12一件工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做要 18 小时完成，如果先由甲工作一小时，然 后由乙接替一小时，两人如此交替工作，那么，完成任务时共用了多少小时？ 解：甲工作一小时，然后由乙接替一小时，此时可以完成工程的 115 121836 ， 这样经过每人工作 7 次，即 14 个小时之后可以完成工程的 535 7 3636 ， 剩下的 1 36 ，甲只要用 1 3 小时可以完成。 所以一共用了 14
10、 1 3 小时。 13甲桶中有酒精 5 公升，乙桶中有水 10 公升，现在分别从甲、乙两桶中各取出 x 公升倒 入对方桶中，然后再从甲、乙两桶中各取出 x 公升倒入对方桶中，这时甲、乙两桶中的酒精 浓度相等，求 x。2 1 c n j y 解：第一次交换之后，甲桶中有酒精 5x 公升，乙桶中有酒精 x 公升， 现在它们的浓度分别是 5 5 x 和 10 x ， 第二次交换后，甲桶中有酒精 5 (5) 510 xx xxx ， 乙桶中有酒精 5 105 xx xxx ，又甲桶中为 5 公升，乙桶中为 10 公升， 所以 55 (5) 510105 510 xxxx xxxxxx ， 2222 2
11、 1022 55105 xxxx xxxx， 2 9 1060 10 x x， 2 (310) 0 10 x ，所以 10 3 x （公升）。 14证明：从 1，2，10 这 10 个自然数中，任取 6 个，则至少有两个数，其中一个是 另一个的倍数。21 教育网 解：将 1，2，10 分成五组：1，2，4，8，3，6，5，10，7，9。 从中取出 6 个数，若取出的有 7 和 9，则剩下的四个数从前三组中取，根据抽屉原理， 至少有一个组中能取出 2 个数，这两个数满足其中一个是另一个的倍数。 如果取出的数中没有 7 或 9，那么从前三组抽取的数字更多，一定也满足要求。 15证明，有 52 个整
12、数，它们被 100 除的余数各不相同，那么在这 52 个整数中，必存在两 个数，其和能被 100 整除。21 cn jy com 解：整数被 100 除的余数可能是 0，1，2，3，99。 按余 0，余 1，余 99，余 2，余 98，余 49，余 51，余 50，分成 51 组， 构成 51 个抽屉。www-2-1-cnjy-com 把这 52 个数按上面的法则放入这 51 个抽屉之中，则一定有一个抽屉中有两个数，这 两个数的和为 100 的倍数。 21*cnjy*com 16证明：22225555+55552222能被 7 整除。 解：2222=3177+3，5555=7937+4， 22
13、225555+55552222被 7 除的余数与 35555+42222被 7 除的余数相同。 即 22225555+5555222235555+42222 （mod 7）， 35555(35)111151111 （mod 7）， 42222(42)111121111 （mod 7），21111(5)111151111 （mod 7）， 所以 35555+42222=0 （mod 7）， 即 22225555+55552222能被 7 整除。 17解同余式组： 2(mod3) 4(mod5) 5(mod7) x x x 。 解：根据口诀“三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正半月，除百零五
14、便得知。” 所以 270+421+515=299，299105105=89， 所以 x=89，或 x=89+105k，（其中 k 是整数）。 18 求方程 111 1 xyz 的正整数解，且 x，y，z 各不相同。 解：x，y，z 为正整数且各不相同。不妨设 xyy4，则 111111 1 345xyz 与 111 1 xyz 矛盾， 所以 x=2，则 1111 1 22yz ，y3， 同样若 y4，则 11111 452yz 与 111 2yz 矛盾， 所以 y=3，此时 1111 236z ，z=6. 所以原方程的正整数解是 x=2，y=3，z=6. 19如图是一个工厂厂区的地图，一条公路
15、(粗线)，通过这个地区，7 个工厂 A1，A2，A3， A4，A5，A6，A7分布在公路两侧，有一些小路(细线)与公路相连，现在要在公路上，设一个 长途汽车站，要使车站到各工厂（沿公路、小路）走的距离总和越小越好，问车站应设在什 么地方最好？21 世纪教育网版权所有 解：7 个工厂 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7在公路上的对应点分别是 B，C，D，D，E，E， F。【来源：21世纪教育网】 按照向大数靠拢的原则，应该讲车站设在 D 点。 即第一步 B 向 C 靠拢，F 向 E 靠拢，第二步 C 向 D 靠拢，这是 D 处的数字为 4，E 处 的数字为 3，所以第三步 E 向 D 靠拢。车站设在 D 处。21世纪*教育网
