1、A AB BC C有两条边相等的三角形有两条边相等的三角形,叫做叫做等腰三角形等腰三角形.相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰,另一条边叫做另一条边叫做底边底边,底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角.两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角,腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角等腰三角形的概念等腰三角形的概念ABC ABC 有什么特点？有什么特点？ABCABC为为轴对称图形，那对称轴两侧图形有什么特点轴对称图形，那对称轴两侧图形有什么特点?对应角、对应边有哪些？对应角、对应边有哪些？观察图形并回答问题：观察图形并回答问题：A AB BC CD折叠折叠 AB=ACBD=CDAD=ADB=CB
2、AD=CADADB=ADC=90。A AB BC CD结论结论1:1:等等腰三角形的两个底角相等。腰三角形的两个底角相等。结论结论2 2：等：等腰三角形的顶角平分线、底边上的腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。中线、底边上的高相互重合。折叠折叠AD是顶角平分线是顶角平分线AD是底边上的高是底边上的高AD是底边上的中线是底边上的中线验证：验证：结论1：等腰三角形的两个底角相等。结论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。度量度量已知：已知：ABC中，中，AB=AC,求证：求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两
3、个底角相等如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证ABC证明证明已知：已知：在在ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.ABCD证明：证明：过点过点A作顶角的角平分线作顶角的角平分线AD，则则BAD=CAD.AB=AC BAD=CADAD=AD BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).方法一：作顶角的角平分线方法一：作顶角的角平分线在在BAD和和CAD中中证明证明已知：已知：在在ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.ABCD证明：证明：过点过点A作底边的中线作底边的中线AD，则则BD=CD.AB=ACBD=CDAD=A
4、D BAD CAD(SSS).B=C(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).在在BAD和和CAD中中方法二：作底边上的中线方法二：作底边上的中线证明证明证明：证明：过点过点A作底边高线作底边高线AD.则则 ADBADC 90 AB=AC (已知已知),AD=AD(公共边公共边),Rt BAD Rt CAD(HL).B=C(全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等).已知：已知：ABC中，中，AB=AC.求证：求证：B=C.在在RtBAD和和RtCAD中，中，方法三：方法三：作底边的高线作底边的高线ABCD证明证明性质性质1:1:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 (简写成简
5、写成“等边对等角等边对等角”).).ABC符号语言：符号语言：AB=AC AB=AC B=C B=C（等边对等角）（等边对等角）（1 1）已知等腰三角形的一个底角是）已知等腰三角形的一个底角是80800 0，则其余两角为则其余两角为 .（2 2）已知等腰三角形的一个角是）已知等腰三角形的一个角是80800 0，则其余两角为则其余两角为 .（3 3）已知等腰三角形的一个角是）已知等腰三角形的一个角是1001000 0，则其余两角为则其余两角为 .80800 0 ,20 ,200 080800 0 ,20 ,200 0或或50500 0 ,50 ,500 040400 0 ,40 ,400 0BC
6、A分类讨论分类讨论等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线、底边上的高相互重合相互重合.猜想：猜想：1 1、如果一条线段是等腰三角形顶角的平分、如果一条线段是等腰三角形顶角的平分线线,那么它也是底边上的中线和底边上的高那么它也是底边上的中线和底边上的高2 2、如果一条线段是等腰三角形底边上的中、如果一条线段是等腰三角形底边上的中线线,那么它也是顶角的平分线和底边上的高那么它也是顶角的平分线和底边上的高3 3、如果一条线段是等腰三角形底边上的高，、如果一条线段是等腰三角形底边上的高，那么它也是顶角的平分线和底边上的中线那么它也是顶角的平分线和底边上的中
7、线性质2针对以上三个命题，小组合作，写出已知、求证并证明针对以上三个命题，小组合作，写出已知、求证并证明ABCD性质性质2 2 等腰三角形的等腰三角形的与与，互相重合互相重合.（简写成（简写成“三线合一三线合一”）顶角顶角平分线平分线底边底边上的中线上的中线底边底边上的高上的高(1)(1)AB=AC AB=AC，ADBCADBC，=，=.(2)AB=AC(2)AB=AC，BD=CDBD=CD，=.(3)AB=AC(3)AB=AC，1=21=2，=.1 12 22 2BDBDCDCDADADBCBCBDBD1 1BCBCADADCDCD符号语言：符号语言：ABCD21“三线合一三线合一”可以帮助
8、我们解决可以帮助我们解决线段的垂直线段的垂直、相等相等以及以及角角的相等的相等问题。问题。例例1 1 如图，在如图，在ABCABC中中 ，AB=ACAB=AC，点，点D D在在ACAC上，且上，且BD=BC=ADBD=BC=AD，求，求ABCABC各角的度数。各角的度数。ABCD方程思想方程思想代数的方法代数的方法几何问题几何问题等腰三角形等腰三角形的主要特征的主要特征从角看从角看-从边看从边看-从从“三线三线”看看-从整体看从整体看-分类思想分类思想 方程思想方程思想两边相等两边相等两个底角相等两个底角相等顶角的平分线顶角的平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高相互重合底边上的高相互重合（
9、三线合一）（三线合一）轴对称图形轴对称图形1.知识方面知识方面2.方法方面方法方面-1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（X）（X）（X）（）（）1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以.3.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝
10、角都可以.3.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.ABCDEF解析解析解析解析解析解析 随堂练习随堂练习1.在三角形在三角形ABC中，中，AB=AC，且，且AD BC，已，已知知BD=2cm,求求CD=_cm,BC=_cm？AB=AC,AD BCBD=CD（三线合一）（三线合一）BD=2cmCD=2cm BC=4cmABCD2.如图，在等腰三角形如图，在等腰三角形ABC中，中，AB=AC，D为为BC的的中点，则点中点，则点D到到AB，AC的距离的距离相等。请说明理由。相等。请说明理由。AEFB D C解：相等，
11、理由如下：解：相等，理由如下：连接连接ADAB=AC，D为为C中点中点AD平分平分BAC（三线合一）（三线合一）DEAB，DFACDE=DF3.在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50，则底角的大小为_ABCABC70或20注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.4 4、已知、已知:如图，点如图，点B,D,E,CB,D,E,C在同一直线上，在同一直线上，AB=ACAB=AC,AD=AE.AD=AE.求证求证:BD=CE.:BD=CE.A AE ED DC CB BF F方法：求有关等腰三角形方法：求有关等腰三角形的问题，作顶角平分线、的问题，作顶角平分线、底边中线，底边的高是常底边中线，底边的高是常用的辅助线用的辅助线思考：已知思考：已知:如图，点如图，点B,D,E,CB,D,E,C在同一直线上，在同一直线上，BD=CE,BD=CE,AD=AE.AD=AE.求证求证:AB=ACAB=AC.（不用全等）（不用全等）A AE ED DC CB BF F
