1、 第七讲第七讲 质数与合数（二）质数与合数（二） 我们已经学习过合数与质数的一些简单知识，对它们有了初步的了解。 我们可以按每个整数的约数的个数的不同将自然数分成三类： 第一类：只有一个约数，是“1”； 第二类：只有两个约数，即 1 和本身的，是质数，如“2、3、5、7、”； 第三类：除 1 和本身之外，还有其它的约数，是合数，如“4、6、8、9、”。 从上述的分类方式中能够清楚地看出两点， “1”这个数既不是质数，也不是合数； “质数与合数放在一起并不是全部自然数”。这两点十分重要，运用中容易出现问题。 如何判断一共大于 1 的自然数是质数还是合数，下面介绍几种常见的方法。 例 1377 是
2、质数吗？ 解：我们用从小到大的一个个质数试除 377，看看有没有能够整除 377 的，即用 2、3、 5、7、11、13，去试除。发现 377=1329，所以 377 不是质数。21世纪*教育网 两千多年前， 埃及亚历山大图书馆的管理员埃托色尼就是用这种方法选出质数的。 在全 体自然数中， 先把 1 去掉， 然后把 2 的倍数去掉 （保留 2） 再把 3 的倍数去掉 （保留 3） ， ， 这样一直做下去，最后剩下的就是质数了。这种方法叫做“筛选法”。 例 2有一个 2n+1 为的整数(n 是整数，n1)2223111 n n 位 位 ，这个数是质数还是合数。 解法 1：我们观察这个数的特征，可
3、以看出，它的各位数字的和是 3 的倍数。 2 2223 1 113 (1) nn n 个个1 ，由于 n+1 是整数，所以 3 是原数的约数。 所以2223111 n n 位 位 是合数。 解法 2：还可以把这个数分解一下，把中间的“3”拆开。 (1) (1)0 2223111=222 1000 111 nn nnn 位位 位位个 = (1)(1)(1) 00 111 2000 111=111 (2000 1) nnn nn 位位位 个个 。 所以2223111 n n 位 位 是合数。 把这个数字拆开的主要目的是能够提出公因数做因数分解。 这种方法不但能够说明一个 数是合数，还提供了分解因数
4、的一种方法。21 教育网 对于质数来说， 由于它至今没有统一的数学式子来表示， 人们对它的了解仍然是很不全 面的。已经知道质数有无限多个（今后在初中可以证明），并且一般来说，随着数值越大就 越来越稀少。有人统计过五千以内的质数分布情况：21cnjycom 11000 中有 168 个质数；10012000 中有 135 个质数；20013000 中有 127 个质数； 30013000 中有 120 个质数；40015000 中有 119 个质数。【出处：21 教育名师】 例 3在三张纸片上分别写上三个最小的连续的奇质数，如果随意从其中取出至少一张 纸片组成一个数，其中有几个是质数？ 解：三个
5、最小的奇质数指的是 3、5、7. “至少取出一张”的含义是取出一张组成一位 数，取出两张组成两位数，取出三张组成三位数。 下面分三种情况讨论一下： （1）如果取出的是一张纸片，则 3、5、7 都是质数； （2）如果取出的是两张纸片，可能的两位数有 35、53、37、73、57、75，其中 37、53、 73 是质数； （3） 如果取出的是三张纸片， 可能的三位数有6 个， 它们的各位数字的和是 3+5+7=15,15 是 3 的倍数，所以这六个数都是 3 的倍数，是合数。 综上所述，合乎要求的质数一共有 6 个，分别是 3、5、7、37、53、73。 例 45112 的约数有多少个。 解：首先
6、把 5112 分解成质因数的乘积。5112=233271. 5112 的约数都是由 2、3、71 这些因子构成，约数中，关于 2 的因子有四种情况：含有 3 个 2、含有 2 个 2、含有 1 个 2 和不含 2；关于 3 的因子有三种情况：含有 2 个 3、含有 1 个 3、不含 3；关于 71 的因子有 2 种情况：含有 1 个 71 和不含 71. 根据乘法原理，含有 2、3、71 的约数的个数有 432=24（个）。 例 5在 1300 之间，求出：约数个数正好是 15 个的自然数。 解：首先看一下组成这个数的质因子的情况是什么样子的。15=115=35. 根据约数个数的公式， 这个自
7、然数只含有两个不同的质因数， 不妨设这两个质因数分别 为 A、B。 （1）当 15 分解为 115=(0+1)(14+1)时，说明这个自然数可以写成 A0B14，即是 14 个相同的质因数的乘积，考虑到自然数的取值范围在 0300 之间，B 最小为 2，而 214300， 超出范围。因此这种情况是不存在的。 （2）当 15 分解为 35=(2+1)(4+1)时，说明这个自然数可以写成 A2B4， 当 A=2，B=3 时，2234=324300 (超出 300)； 当 A=3，B=2 时，3224=144 (符合条件)； 当 A=5，B=2 时，5224=400300 (超出 300)； 由此可
8、以得出，对于任何 A3 或 B2 的取法都不符合条件。 所以，在 1300 之间，约数个数是 15 个的自然数只有 144. 例 6有一个自然数含有 10 个不同的约数，但质因数只有 2 和 3. 那么这个自然数最大 是几？ 解：设这个自然数表示为 2m3n(m、n 是整数)，根据约数个数的公式： 约数个数 10=(m+1)(n+1)=110=25， 这样，m，n 的取值只有 4 种情况：m=0，n=9；m=9，n=0；m=1，n=4；m=4，n=1。 当 m=0，n=9 或 m=9，n=0 时，实际上该数只有一个质因数，不合题意，舍去。 即这个自然数有两种可能。 当 m=1，n=4 时，21
9、34=162；当 m=4，n=1 时，2431=48。 所以符合要求的最大的自然数是 162. 例 7房间里有 100 盏电灯，并且编号，号码为 1、2、3、100.每盏灯上有一个 拉线开关，开始时电灯全都是关的。100 位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是 1 的倍数的灯的开关拉动一下；第二位同学把编号是 2 的倍数的灯的开关拉动一下；第三位 同学把编号是 3 的倍数的灯的开关拉动一下； ； 第 100 位同学把编号是 100 的倍数的灯 的开关拉动一下；这时房间里那些号码的灯是亮的。www.21-cn- 解：根据这个约定，第一位同学应该拉动 1、2、3、100 各个编号的灯；第二位
10、 同学应该拉动 2、4、6、100 各个编号的灯；第三位同学应该拉动 3、6、9、 100 各个编号的灯；第 100 位同学应该拉动 100 号的灯；2 1 c n j y 由于灯开始是关着的，拉动偶数次灯的开关，灯还是不亮；拉动奇数次灯的开关，灯才 是亮的。灯的编号有多少个约数，它就被该约数号码的所有同学拉动多少次。看来 1100 中每个整数的约数的个数是偶数还是奇数，决定最后的结果。我们可以分析几个数的约数， 看其奇偶性的规律。www-2-1-cnjy-com 灯号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 约数个数 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 奇偶性 奇 偶 偶 奇 偶 偶
11、偶 偶 奇 偶 观察得出：编号为平方数 1、4、9、时，都有奇数个约数。在 1100 内平方数还有 16、25、36、49、64、81、100，一共有 10 个。【版权所有：21 教育】 因此有 10 盏灯是亮的，编号是 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。 附：（1）在 1100 中，若一个数是质数，那么它一定有两个约数，约数个数为偶数； （2）若该数为合数，且可以写成 ambn的形式，它的约数的个数是(m+1)(n+1)，当 m、n 中至少有一个是奇数时（不妨设 m 为奇数），则(m+1)(n+1)为偶数（因为 m+1 是偶 数）；21*cnjy*com （3）若该数是
12、 am时（m 为偶数），这个数是一个平方数，它的约数的个数是奇数； （4）若该数为 ambn，m，n 都是偶数且 m=n 时，这个数就是一个平方数，它的约数 的个数是奇数； （5） 若该数 ambn为合数， m， n 都是偶数且 ab， mn 时， 这个数最小是 3224=144； 由上述分析得到在 1100 中，只有平方数的约数的个数是奇数个，其余的数，它们的 约数的个数都是偶数个。21 教育名师原创作品 练 习 题 1下列的说法对吗？为什么？ （1）质数与合数组成了自然数；（ ） （2）所有的偶数都是合数；（ ） （3）所有的奇数都是质数；（ ） （4）质数一定不是偶数；（ ） （5）两个
13、质数的和一定是偶数；（ ） （6）任意两个自然数的积都是合数；（ ） 答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）； 解：（1）1 既不是质数，也不是合数； （2）2 是偶数，但不是合数； （3）9 是奇数，但不是质数； （4）2 是偶数，也是质数； （5）2、3 都是质数，它们的和是 5，不是偶数； （6）1 和 3 都是自然数，它们的乘积 3 是质数，不是合数。 2两个相邻的自然数的积是 756，这两个数是 和 。 解：分解质因数 756=223337=2728。 答：这两个数分别是 27 和 28. 3写出 1155 的所有两位数的约数。 解：分解质因数 1155=35711.
14、它的两位数的约数有 11、15、21、33、35、55、77。 42340 的约数的个数是 个。 解：2340=2232513，所以它的约数的个数是 3322=36（个）。 5有四个小学生的年龄相乘是 11880，问他们的年龄分别是几岁？ 解：11880=23 33 5 11，小学生的年龄在 613 岁之间。他们的年龄可以是 9 岁、10 岁、11 岁、12 岁。2-1-c-n-j-y 6在 120 内，有一个质数，它加上 10 是质数，加上 14 也是质数，则这个数是 。 解：在 120 内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19。显然 2 不满足条件， 试一下 3，3+10=13
15、是质数，3+14=17 也是质数，所以这个数是 3. 其他的几个数满足条 件吗？请自己试一下。【来源：21世纪教育网】 7两个质数的和是 40，则这两个质数的乘积的最大值是 ；最小值是 。 解：把 40 表示成两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11+29=3+37。 1723=391，1129=319，327=81. 所以乘积的最大值是 319，最小值是 81。 8连续九个自然数中最多有几个质数？为什么？ 解：在连续的九个自然数中，偶数（除 2 以外）都是合数， 从 2 开始看，这九个数是 2、3、4、5、6、7、8、9、10，其中 2、3、5、7 是质数。也 就是有 4 个质数。21 世纪教育网版权所有 如果从大于 2 的数开始数，若从偶数开始，那么九个数中有 5 个偶数，它们都是合数， 最多剩下的 4 个奇数可能是质数，即质数的个数不会大于 4 个。 21*cnjy*com 如果从奇数开始数，如 311，513 中，其中有 4 个偶数，剩下的奇数中有 3、5、7、 11 或 5、7、11、13 为质数，也是 4 个质数。【来源：21cnj*y.co*m】 如果从奇数开始数，且最小的奇数大于 5，则九个数中有 4 个偶数，在剩余的五个奇数 中，一定有一个奇数的个位数字是 5 的，这个奇数是 5 的倍数，当然是合数。 所以在连续九个自然数中，最多有 4 个质数。
