1、多边形的内角和学习目标1、探索多边形的内角和公式；2、掌握多边形转化成三角形的探究方法；3、训练小组合作建立合作机制；4、延伸探索多边形外角和。问题1：三角形的内角有几个？三角形的内角和是多少？你是怎么推导出来的？问题2：三角形的内角和定理？三角形的内角和为三角形的内角和为180180。问题3：过四边形一个顶点可以做多少条对角线？把四边形分成了几个三角形？答：过四边形一个顶点可以做答：过四边形一个顶点可以做1条对角线，把四边形分成了条对角线，把四边形分成了2个三角形。个三角形。多边形内角和问题3：试用三角形的内角和定理证明四边形的内角和？证明：证明：连接连接ACAC，BAD BAD+B B+B
2、CD BCD+D D=（BAC BAC+BCA BCA+B B）+（DAC DAC+DCA DCA+D D），），=180=180+180+180=360=360 。小结：小结：从四边形的一个顶点出发，可以作从四边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们条对角线，它们将四边形分为将四边形分为 个三角形，四边形的内角和等于个三角形，四边形的内角和等于180180_=122360 类比前面的过程，你能探索五边形的内类比前面的过程，你能探索五边形的内角和吗？六边形呢？角和吗？六边形呢？如图，从五边形的一个顶点如图，从五边形的一个顶点出发，可以作出发，可以作条对角线，它条对角线，它们将五边形分为们将五
3、边形分为_个三角形，个三角形，五边形的内角和等于五边形的内角和等于 180180=233540如图，从六边形的一个顶点出发，可如图，从六边形的一个顶点出发，可以作以作_条对角线，它们将六边形分为条对角线，它们将六边形分为_个三角形，六边形的内角和等于个三角形，六边形的内角和等于180180_=_=_344720按规律填充下面表格按规律填充下面表格形状形状图形图形从多边形的一个顶点引出的对从多边形的一个顶点引出的对角线条数角线条数分割出三角形的分割出三角形的个数个数多边形内角和多边形内角和三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形n 边形边形03 3=4-3=5-3=6-3=n-3 123
4、3-2=14-2=25-2=3 6-2=4 n-2（n-2）180180360 540720通过上述过程，你能说说多边形的内角和通过上述过程，你能说说多边形的内角和与边数的关系吗？与边数的关系吗？从从n n 边形的一个顶点出发，可以作边形的一个顶点出发，可以作 条对角条对角线，它们将线，它们将n n 边形分为边形分为 个三角形，这个三角形，这 个个三角形的内角和就是三角形的内角和就是n n 边形的边形的内角内角和，所以和，所以，n n 边形边形的内角和等于的内角和等于 （n-3）（n-2）（n-2）（n n-2-2）180180 填空：填空：（1 1）十边形的内角和为）十边形的内角和为 度度（
5、2 2）已知一个多边形的内角和为）已知一个多边形的内角和为1 0801 080，则它，则它的边数为的边数为_1 4401 4408 8x=65 练习练习1 1求出下列图形中求出下列图形中 x 的值。的值。x=60 x=95 六边形六边形 练习练习2 2一个多边形的各内角都等于一个多边形的各内角都等于120120，它是，它是几边形？几边形？四边形四边形 练习练习3 3一个多边形的内角和与外角和相等，它一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？是几边形？多边形外角和问题问题1 1我们知道，三角形的内角和是我们知道，三角形的内角和是180180，三角形的外角和是，三角形的外角和是360360得出三
6、角形的外角和是得出三角形的外角和是360360有多种方法有多种方法如图，你能说说怎如图，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？ABCDEF123由由 1+BAE=180，2+CBF=180，3+ACD=180，得得 1+2+3+BAE+CBF+ACD=540 由由 1+2+3=180，得，得 BAE+CBF+ACD =540-180 =360问题问题2如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？ABC123D4由由 BAD+1=180，ABC+2=180，BCD+3=180，ADC+4=18
7、0，得得BAD+1+ABC +2+BCD+3+ADC+4=1804由由BAD+ABC+BCD+ADC=1802，得，得1+2+3+4=1804-1802=360问题问题3五边形的外角和等于多少度？六边形呢？五边形的外角和等于多少度？六边形呢？仿照上面的方仿照上面的方法试一试法试一试6 6 180 180-（6-26-2）180180=2=2 180 180=360=360问题问题4 4 你能仿照上面的方法求你能仿照上面的方法求n n 边形（边形（n n 是不小于是不小于3 3 的任意整数）的任意整数）的外角和吗？的外角和吗？因为因为n n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它边形的每个内角
8、与它相邻的外角是邻补角，它们的和是们的和是180180，所以，所以n n 边形内角和加外角和等于边形内角和加外角和等于n n 180 180，所以，所以，n n 边形的外角和为：边形的外角和为：n n 180 180-（n n-2-2）180 180=360=360 任意多边形的外角和等于任意多边形的外角和等于360360小结小结 解：解：设这个多边形为设这个多边形为 n n 边形，边形，根据题意，可列方程根据题意，可列方程 （n n-2-2）180180=3=3360360 解得解得n n=8=8 答：答：它是八边形它是八边形 一个多边形的内角和等于它的外角和的一个多边形的内角和等于它的外角
9、和的3 3 倍，它是几边形？倍，它是几边形？解：解：不存在不存在理由：理由：如果存在这样的多边形，设它的一个如果存在这样的多边形，设它的一个外角为外角为x x，则对应的内角为，则对应的内角为180180-x x ，15于是于是 x x=180=180-x x，解得，解得x x=150=150.练习练习4 4是否存在一个多边形，它的每个内角是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的都等于相邻外角的？为什么？为什么？15这个多边形的边数为：这个多边形的边数为：360360150150=2.4=2.4，而边数应是整数，因此不存在这样的多边形而边数应是整数，因此不存在这样的多边形1.下列各个度数
10、中，不可能是多边形的内角下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（和的是（）A.600 B.720 C.900 D.10802.若多边形的边数由若多边形的边数由 3 增加到增加到 5，则其外角，则其外角和的度数（和的度数（）A.增加增加 B.减少减少 C.不变不变 D.不能确定不能确定AC基础巩固基础巩固3.已知，在四边形已知，在四边形ABCD中，中，A:B5:7，B与与A的差等于的差等于C，D与与C的差是的差是80度，求四边形度，求四边形ABCD四个内角的度数四个内角的度数.解：解：设设A=5x，D=y，则，则B=7x，C=2x，由题意可得由题意可得解得解得所以所以A=87.5，B=122
11、.5，C=35，D=115.xxxyyx 57242180360280，.xy 17 5115，综合应用综合应用4.如图，小亮从如图，小亮从A点出发，沿直线前进点出发，沿直线前进10米，后左转米，后左转30度，再沿直线前进度，再沿直线前进10米米.又向左转又向左转30度，度，照这样走下去，他第，照这样走下去，他第一次回到出发地一次回到出发地A点时，一共走了多少米？点时，一共走了多少米？拓展延伸拓展延伸解：解：由题意可知，小亮第一次回到出发地由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30，边长为，边长为10米米.所以这个多边形的边数为所以这个多边形的边数为所以一共走了所以一共走了1210=120（米）（米）.3601230从从n n 边形的一个顶点出发，可以作（边形的一个顶点出发，可以作（n n-3-3）条对角线，）条对角线，它们将它们将n n 边形分为（边形分为（n n-2-2）个三角形，这（）个三角形，这（n n-2-2）个三）个三角形的内角和就是角形的内角和就是n n 边形的边形的内角内角和，所以和，所以，n n 边形的内边形的内角和等于（角和等于（n n-2-2）180180多边形外角和等于多边形外角和等于360A
