1、 1 南京师大附中南京师大附中 2020 届高三年级一模前测试卷届高三年级一模前测试卷 数学数学 2019.12 参考公式： 球体的体积 3 3 4 rV，其中 r 是球体的半径. 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1函数( )1f xx的定义域为 . 2已知复数z满足iiz1)2(，其中i是虚数单位，则复数z的模为 . 3某算法的流程图如图所示，则输出的 n 的值为 . 4某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40,5
2、0， 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100,则图中 x 的值为 . 5有三个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的 可能性相同，则这两位同学参加了不同兴趣小组的概率为 . 6 把一个底面半径为 3cm， 高为 4cm 的钢制实心圆柱熔化， 然后铸成一个实心钢球 （不计损耗） ， 则该钢球的半径为 cm. 2 7 在平面直角坐标系 xOy 中， 若双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一条准线与两条渐近线恰能 围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 . 8若函数)0)( 6 sin(2)( xxf的最
3、小正周期为，则当 2 , 0 x时，)(xf的值域为 . 9若锐角满足1tan3) 4 tan( ，则2tan的值为 . 10已知函数 x x x xf, 2 2 )(R，则不等式)43()2( 2 xfxxf的解集是 . 11等差数列 n a的前 n 项的和记为 n S，已知93,99 852741 aaaaaa，若存在正 整数 k，使得任意 * Nn，都有 kn SS ，恒成立，则 k 的值为 . 12在ABC中，已知 CA=4，CP=3，ACB= 3 2 ，点 P 是边 AB 的中点，则CP CA的值 为 . 13 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 已 知 圆4)2()( :
4、22 ayaxM， 圆 4) 1()2( : 22 yxN.若圆 M 上存在一点 P，使得以点 P 为圆心，1 为半径的圆与圆 N 有公共点，则实数 a 的取值范围为 . 14已知函数 . 0, 4 1 ; 0, 112 )(, 13)( 2 22 xxx xx xgxxxf若函数axfgy)(有 6 个零 点（互不相同） ，则实数 a 的取值范围为 . 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6小题，共计小题，共计90分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已
5、知向量(1,2),( 2sin , cos )ab，且a b，求: （1）b； 3 （2）) 4 2sin( 16 （本小题满分 14 分） 如图，在正三棱锥 111 -CBAABC中，所有棱长都相等，D，E 分别是 1 AA和CB1的中点，求 证： （1）DE平面 ABC； （2）BE平面CDB1 17 （本小题满分 14 分） 如图， 现有一直径 AB=2 百米的半圆形广场， AB 所在直线上存在两点 C， D， 满足 OC=OD=2 百米（O 为 AB 的中点） ，市政规划要求，从广场的半圆弧 AB 上选取一点 E,各修建一条地下 管道 EC 和 ED 通往 C、D 两点 （1） 设E
6、O B， 试将管道总长 （即线段 EC+ED） 表示为变量的函数； （2）求管道总长的最大值 4 18 （本小题满分 16 分） 已知椭圆)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的长轴为24，且点 A(-2,1)在椭圆 C 上， （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）已知) 1, 2( A，若点） 00, (yxP为椭圆 C 上一动点（不同于, AA） ，直线 1: 2 0 2 0 b yy a xx l.设直线 L 的方程为kxy ，直线 L 与直线 AP、lPA、分别交于 MFE、三点， 试问： 是否存在实数k， 使得EMMF恒成立？若存在， 请求出k的值； 若不存在，请说
7、明理由 19 （本小题满分 16 分） 设数列 nnn cba,的前 n 项和分别为 nnn CBA,，且对任意的都有 nnn CBA，已知 )(1( 2 Nna n A nn ， 数列 n b和 n c是公差不为 0 的等差数列， 且各项均为非负整数 （1）求证：数列 n a是等差数列； （2） 若数列 n a的前 4 项删去 1 项后按原来顺序成等比数列， 求所有满足条件的数列 n a； （3）若4 2 a，且 N,nCB nn ，求数列 nn cb ,的通项公式 5 20 （本小满分 16 分） 设函数axaxxf,ln)()( 2 R. （1）若0)( ef； 求实数 a 的值； 若e
8、a21，证明ex 为 xf的极值点 （2）求实数 a 的取值范围，使得对任意的3 , 0(ex恒有 2 4exf成立 （注：e 为自然 对数的底数） 6 南京师大附中南京师大附中 2020 届高三年级一模前测试卷届高三年级一模前测试卷 数学附加题数学附加题 21 【选做题】本题包括 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修 4-2：矩阵与变换（本小题满
9、分 10 分） 已知a，bR，向量 -2 = 1 是矩阵 a A b 1 2 的属于特征值-3的一个特征向量. （1）求矩阵A的另一个特征值； （2）求矩阵A的逆矩阵 1 A. B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程为 ty tx 5 3 1 5 4 1 （t为参数）.以原点O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为）（ 4 -cos22 .求直线l被曲 线C所截得的弦长. 7 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指
10、定区域 内作答，解答时应内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤写出文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分） 如图，已知面积为4的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B，C，D，E六个点 中任取三个不同的点，所构成的三角形面积为（三点共线时，规定 0）. （1）求概率) 1(p； （2）求的概率分布列，并求其数学期望. （第22题图） 23.（本小题满分10分）. 已知数列的项 n aaa 621 , 的项 2 , 1 i a，其中i=1，2，3，6n，n ，求前6n项和 为 n S6，记 n S6除以3余数为1的数列 n aaa 621 , 的个数构成的数列为 * N, nbn. （1）求 1 b的值； （2）求数列 n b的通项公式，并化简. 8 9 10 11 12 13 14
