1、 高等数学期末复习高等数学期末复习考核内容和考核要求考核内容和考核要求 考核内容考核内容 一元函数微分学、一元函数积分学，包括一元函数微分学、一元函数积分学，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用。不定积分、定积分及其应用。第第1章章 极限与连续极限与连续 了解极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限），了解极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道数列极限的知道数列极限的“”定义和函数极限的描述性定义，定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限；会求左右极限；了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其了解无穷小
2、量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；与无穷大量的关系；掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；求简单极限的常用方法；了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念，了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性；知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性；了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型；函数间断点的类型；了解了解“初等函数在定义区间内连续初等函数在定义区间内连续”的结
3、论，知道闭的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质。区间上的连续函数的几个性质。高等数学期末复习高等数学期末复习第第2章章 导数与微分导数与微分 理解导数与微分概念（微分用理解导数与微分概念（微分用 定义），了解导数的几定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系；系；熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则；四则运算法则；熟练掌握复合函数的求导法则；熟练掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法；掌握隐函数的微分法，取对数求导数
4、的方法；知道一阶微分形式的不变性；知道一阶微分形式的不变性；了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。高等数学期末复习高等数学期末复习第第3章章 导数的应用导数的应用 掌握洛比塔法则，能用它求掌握洛比塔法则，能用它求“”、“”型不定式极限；型不定式极限；掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的掌握用
5、二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点；方法，会求曲线的拐点；会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线；会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线；掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。小值的方法，以几何问题为主。高等数学期末复习高等数学期末复习00第第4章章 不定积分不定积分 理解原函数与不定积分概念，了解不定积理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系；分的性质以及积分与导数（微分）的关系；熟练掌握积分基本公式和直接积分法；熟练掌握积分基本公式和直接积分法；熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；熟练掌
6、握第一换元积分法和分部积分法；掌握第二换元积分法掌握第二换元积分法。高等数学期末复习高等数学期末复习第第5章章 积分及其应用积分及其应用 了解定积分概念（定义、几何意义）了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质；和定积分的性质；了解原函数存在定理，知道变上限了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数；的定积分，会求变上限定积分的导数；熟练掌握牛顿熟练掌握牛顿莱布尼兹公式；莱布尼兹公式；掌握定积分的换元积分法和分部积掌握定积分的换元积分法和分部积分法；分法；高等数学期末复习高等数学期末复习高等数学高等数学1第第1章章 极限与连续极限与连续本章重点：本章重点：1.极限的计
7、算极限的计算了解极限的概念，知道左右极限的概念，了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道函数在点知道函数在点 0 x处存在极限的充分必要处存在极限的充分必要 条件是条件是)(xf在在 0 x处的左右极限存在且相等。处的左右极限存在且相等。关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：（1）极限的四则运算法则：）极限的四则运算法则：运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，且分母不为且分母不为0。当所求极限不满足条件时，当所求极限不满足条件时，常根据函数的具体情况进行分解因式常根据函数的具体情况进行分解因
8、式（以消去（以消去 零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、或分子分母同时除以或分子分母同时除以 nx（分子分母同（分子分母同 趋于无穷大时）趋于无穷大时）等变形手段，等变形手段，以使函数满足四则运算法则的条件。以使函数满足四则运算法则的条件。（2）两个重要极限：）两个重要极限：熟记熟记 exxxxxx)11(lim,1sinlim0要注意这两个公式自变量的要注意这两个公式自变量的 变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们的变形形式：高等数学高等数学1exxxxxx10)1(lim,11si
9、nlim（3）利用无穷小的性质计算：）利用无穷小的性质计算：无穷小量是指极限为无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、的量，有限个无穷小量之和、积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。（5）利用洛必塔法则计算：参看第）利用洛必塔法则计算：参看第3章的有关内容。章的有关内容。例例1：求下列极限：求下列极限1002872)43()12()1(limxxxx解解（1）分子、分母同除以分子
10、、分母同除以 100 x则则 1002872)43()12()1(limxxxx 1002872)43()12()11(limxxxx 1002872)43(lim)12(lim)11(limxxxxxx 1002832高等数学高等数学1（2）11cos1lim20 xxx解解 首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算11cos1lim20 xxx)11)(11()11)(cos1(lim2220 xxxxx 1)1()11)(cos1(lim2220 xxxx)11(lim)cos1(lim2020 xxxxx)11(lim2sin2lim20220
11、xxxxx 1221（3）xxx1sinlim20解解 由于由于 0 x时，有时，有 02x11sinx因此因此 xx1sin2还是无穷小量，故还是无穷小量，故 01sinlim20 xxx高等数学高等数学1（4）xxx10)21(lim解解 xxx10)21(lim 2210)21(limxxx 2e（5）)ctgsincos(lim220 xxxx解解)ctgsincos(lim220 xxxx xxxx220sincoscoslimxxxx20sin)cos1(coslimxxxxxx2220sincos1coslim 211211（6）)3(lim22xxxxx解解)3(lim22xx
12、xxx xxxxxxxxxxxxx2222223)3)(3(limxxxxxx2234limxxx11314lim2 2114高等数学高等数学12、函数连续、函数连续理解函数在一点连续的概念，理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义：它包括三层含义：)(xf在在 0 x的一个邻域内有定义；的一个邻域内有定义；)(xf在在 0 x处存在极限；处存在极限；极限值等于极限值等于)(xf在在 0 x处的函数值，处的函数值，这三点缺一不可。这三点缺一不可。若函数若函数)(xf在在 0 x至少有一条不满足上述三条，至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，则函数在该点是间断的，会求函数的间断会求函数
13、的间断 点。点。了解函数在区间上连续的概念，了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。会讨论分段函数的连续性。知道连续函数的和、差、积、商（分母不为知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为两个连续函数的复合仍为 连续函数，连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最知道闭区间上连续函数的性质（最大最 小值存在定理、零点定理、介值定理）。小值存在定理、零点定理、介值定理）。例例2 讨论函数讨论函数 0sin10001sin
14、)(xxxxxxxxf在在 0 x处的连续性。处的连续性。高等数学高等数学1解解)(xf的定义域为的定义域为),(01sinlim)(lim00 xxxfxx1sin1lim)(lim00 xxxfxx由于由于)(xf在在 0 x点处的左右极限不相等，点处的左右极限不相等，故极限不存在，故极限不存在，因此函数因此函数)(xf在在 0 x点间断。点间断。第第2章：导数与微分章：导数与微分高等数学高等数学1 理解导数的概念；理解导数的概念；了解导数的几何意义；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系
15、。知道可导与连续的关系。高等数学高等数学1)(xf在点在点0 xx处可导是指极限处可导是指极限xxfxxfx)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成00)()(lim0 xxxfxfxx)(xf在在点点0 xx 处的导处的导数数)(0 xf 的几何意义是曲线的几何意义是曲线)(xfy 上点上点)(,(00 xfx处的切线斜率处的切线斜率曲线曲线)(xfy 在点在点)(,(00 xfx处的切线方程为处的切线方程为)()(000 xfxxxfy高等数学高等数学1函数函数)(xfy0 x0 x在在点可导，则在点可导，则在
16、点连续。反之函数点连续。反之函数)(xfy 在在 0 x点连续，在点连续，在 0 x点不一定可导。点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。微分四则运算法则与导数四则运算法则类似微分四则运算法则与导数四则运算法则类似vuvudd)(dvuuvvudd)(d)0(dd)(d2vvvuuvvu熟练掌握复合函数的求导法则。熟练掌握复合函数的求导法则。高等数学高等数学1掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。掌握隐函
17、数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如321xxy求求 y直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21lnxxy两端求导得两端求导得)2(31)1(21xxyy整理后便可得整理后便可得)2(682123xxxxxy高等数学高等数学1若函数由参数方程若函数由参数方程)()(tytx的形式给出，则有导数公式的形式给出，则有导数公式)()(ddttxy了解高阶导数的概念；会
18、求函数的二阶导数。了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。高等数学高等数学1综合练习综合练习一、填空题一、填空题设设 f xxx()245则则f fx()。解：解：42)(xxf故故372445)42(4)42()(22xxxxxff曲线曲线 xysin在在 4x处的切线方程是处的切线方程是 。解：解：xycos22)4(y又有又有 22)4(y故切线方程为故切线方程为)4(2222xy或或 0224824yx高等数学高等数学1设设yxln()21则则 y()0。解：解：122xxy222222)1()1(2)1(4)1(2 xxxxxy故故 2)0(y二、单项选择题二、单项选择题曲线曲线 y
19、xxe在点（）处的切线斜率等于在点（）处的切线斜率等于0。A.(,)0 1B.(,)1 0C.(,)01D.(,)1 0解：解：xye1令令 0 y得得 0 x而而 1)0(y故选项故选项C正确。正确。高等数学高等数学1yxsin2则则 y（）。（）。A.cosx2B.cosx2C.22xxcosD.22xxcos解：解：222cos2)(cosxxxxy故选项故选项C正确。正确。3下列等式中正确的是（）下列等式中正确的是（）A.3233xxxxe dd e()B.1ddxxx()12C.ln()x xxdd1D.2ddx xx()1解：按微分法则进行运算得解：按微分法则进行运算得高等数学高等
20、数学1xxxxxxde3)(de)e(d33323xxxd2)1(d32xxxd1)1(d2xxxd21)1(d3故选项故选项A正确。正确。高等数学高等数学1三、计算题三、计算题计算下列函数的导数或微分：计算下列函数的导数或微分：设设 xxysin22tan求求 2dxy 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则2ln2cos2cos2sin2xxxy由此得由此得xxyxd2d)2ln22coscos2(d2sin22yy x()高等数学高等数学1设函数设函数由方程由方程 xyxyyeln确定，求确定，求 ddyx 解：解：等式两端对等式两端对 x求导得
21、求导得 2eyyxyxyyyxyy整理得整理得xxyyxxyyyye22方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得左端左端 yyxxyxyxyyyydedd)e(d)(d)e(d右端右端 2dd)(d)(lndyyxxyxyyxxyyx由此得由此得2dddeddyyxxyxyyyxxyy整理得整理得xxyyxxyyxyyedd22yy x()高等数学高等数学1xxyln设函数设函数由参数方程由参数方程 xtyt221确定，求确定，求 ddyx 解：解：由参数求导法由参数求导法 ttxyxytt1221dd求下列函数的二阶导数
22、：求下列函数的二阶导数：3解：解：1lnlnxxxxyxy1 xxy1解：解：22)1(1)1()1(xxxxy34)1(2)1()1(2xxxy 高等数学高等数学1第第3章：导数的应用章：导数的应用1)掌握洛必塔法则，会用它求掌握洛必塔法则，会用它求“00”、“”型不定式的极限，以及简单的型不定式的极限，以及简单的“”、“0”型不定式的极限。型不定式的极限。高等数学高等数学1关于积分概念的理解和积分计算问题分析关于积分概念的理解和积分计算问题分析一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分已知函数已知函数 f x()在某区间上有定义，在某区间上有定义，如果存在函数如果存在函数 F x()，使得在
23、该区间上的任一点处，使得在该区间上的任一点处，都有关系式都有关系式 dxxfxdFxfxF)()()()(或 成立，成立，则称函数则称函数)(xF是函数是函数)(xf在该区间上的一个原函数。在该区间上的一个原函数。设函数设函数)(xF是函数是函数)(xf的一个原函数，的一个原函数，则则)(xf的全体原函数的全体原函数 CxF)(C为任意常数为任意常数)，称为称为 f x()的不定积分。的不定积分。记为：记为：CxFdxxf)()(性质：性质：（1）)()(xfdxxfdxd（2）dxxfdxxfd)()(高等数学1二、不定积分的基本公式及运算性质dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()(
24、)(2121高等数学高等数学1三、换元积分法三、换元积分法已知已知 CxFdxxf)()(则则 CxFxdxfdxxxf)()()()()(_凑微分法凑微分法高等数学高等数学1CtFdtttftdtfdxxftx)()()()()()()(CxFxt)(1)(1_第二换元积分分法第二换元积分分法 高等数学高等数学1)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu_分部积分法分部积分法 高等数学高等数学1四、曲边梯形的面积与定积分四、曲边梯形的面积与定积分定积分的性质定积分的性质高等数学高等数学1高等数学高等数学1连续函数原函数存在定理连续函数原函数存在定理若若)(xf 在在a,b上连续，上
25、连续，则函数则函数 xadttfx)()(在在a,b上可积，上可积，且且)()(xfx，即即 xadttfx)()(是是)(xf在在a,b上的一个原函数。上的一个原函数。422222)(21xxttxtxexedte微积分基本定理微积分基本定理设设)(xf在在a,b上连续，上连续，)(xF是是)(xf的任一原函数，的任一原函数，则则 babaxFaFbFdxxf)()()()(高等数学高等数学1高等数学高等数学1换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法1换元积分法换元积分法设设)(xf在在,ba上连续，上连续，且且,)(txba)(tx在在,连续可导，则连续可导，则 dtttftdtfdx
26、xfba)()()()()(应用该方法要注意换积分限的正确性。应用该方法要注意换积分限的正确性。分被积函数含：一次根式、二次根式、指数、对数的情况讲解等。分被积函数含：一次根式、二次根式、指数、对数的情况讲解等。奇偶连续函数在闭区间上积分的特征。奇偶连续函数在闭区间上积分的特征。高等数学高等数学1高等数学高等数学12分部积分法分部积分法设设)(),(xvxu在区间在区间,ba上连续可导，上连续可导，则则 bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(分被积函数为：分被积函数为：多项式多项式三角函数、三角函数、多项式多项式指数、指数、多项式多项式对数、对数、含绝对值含绝对值 符号等讲解。符号等讲解。
