1、 中原名校 20192020 学年上期第二次质量考评 高三数学（理）试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.集合 2* |70,Ax xxxN，则 * 6 |,ByNy
2、A y 的子集个数是（ ） A.4 个 B.8 个 C.16 个 D.32 个 2.某食品的广告词为： “幸福的人们都拥有” ，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而它的实际效果却 大着呢，原来这句话的等价命题 是（ ） A.不拥有的人们不一定幸福 B.不拥有的人们可能幸福 C.拥有的人们不一定幸福 D.不拥有的人们不幸福 3.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)上单调递减的函数是（ ） A. 3 yx B. 1 ln | y x C. | | 2 x y D.cosyx 4.若函数 20 ( ) ln0 x x f x xx ，则 1 ff e （其中e为自然对数的底数）=（ ） A.
3、 1 e B. 1 2 C.2 D.eln2 5.把函数2xy 的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 2 3 x y ，则t的值为（ ） A. 1 2 B. 2 log 3 C. 3 log 2 D.3 6.“函数lncos 22 yxx ”的图象是（ ） A. B. C. D. 7.若 26 sinsin,coscos 22 xyxy，则sin()xy等于（ ） A. 3 2 B. 2 2 C. 6 2 D.1 8.若函数( )f x是定义在R上的奇函数， 1 1 4 f ， 当0x时， 2 ( )log ()f xxm， 则实数m（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 9
4、.已知 1 17 1617 17 ,log17,log16abc，则, ,a b c的大小关系为（ ） A.abc B.acb D.bac D.cba 10.定义在R上的函数( )f x的导函数为( )fx，若对任意实数x，有( )( )f xfx，且( )2019f x 为奇 函数，则不等式( )20190 x f xe的解集为（ ） A(,0) B.(0,) C. 1 , e D. 1 , e 11.已知函数( )sin 2 3 f xx ，若方程 1 ( ) 3 f x 在(0, )的解为 1212 ,x xxx，则 12 sin xx （ ） A. 2 2 3 B. 3 2 C. 1
5、2 D. 1 3 12.已知, a bR，函数 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x ，若函数( )yf xaxb恰有三个零点，则 （ ） A.1,0ab B.1,0ab C.1,0ab D.1,0ab 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若函数( )()(3)f xxax为偶函数，则(2)f_. 14. 0 (sincos )xx dx _. 15.已知函数 2 2 lg 1 ax y xa 的定义域为集合A，若4A，则实数a的取值集合是_. 16.己知函数 sin,2,2(), 222 3 sin,2,2(), 222
6、 xxkkkz y xxkkkz 的图象与直线(2)(0)ym xm恰 有四个公共点 11123344 ,A x yB x yC xyD xy，其中 1234 xxxx，则 44 2 tanxx _. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） 已知函数 32 ( )44f xxxxc有三个不同零点，求c的取值范围. 18.（本题满分 12 分） 设函数( )sin ,f xx xR. （1）已知0,2 )，函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 124 yfxfx 的值域. 19.（本题满分 12 分）
7、已知 2 :12p mam ；:q函数 2 ( )1f xog xa在区间 1 ,4 4 上有零点. （1）若1m ，求使（()pq为真命题时实数a的取值范围； （2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 20.（本题满分 12 分） 设函数 2 ( )22f xxtx，且函数( )f x的图象关于直线1x 对称. （1）求函数( )f x在区间0,4上的最小值； （2）设 ( ) ( ) f x h x x ，不等式220 xx hk在 1,1x 上恒成立，求实数k的取值范围. 21.（本题满分 12 分） 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，
8、当砍伐到面积的一半时， 所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 1 4 ，已知到今年为止，森林剩余面积为 原来的 2 2 . （1）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （2）今后最多还能砍伐多少年？ 22.（本题满分 12 分） 已知函数( )ln(1)f xxa x， （其中aR）在点(1,(1)f处的切线与x轴平行. （1）求( )f x的单调区间； （2）若存在 0 1x ，当 0 1,xx时，恒有 2 1 ( )2(1) 22 x f xxk x成立，求k的取值范围. 中原名校 2019-2020 学年上期第二次质量考评 高三数学（理）参考答案 一、选择题（本
9、大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D B B B B A C A B A C 1.【解析】集合 2* |70,1,2,3,4,5,6Ax xxxN， * 6 |,1,2,3,6ByNyA y ，故 B 有 16 个子集，故选 C. 2.【解析】原命题“幸福的人们都拥有”的逆否命题，即“不拥有的人们不幸福” ，故选 D. 3. 【解析】 易知 1 ln | y x ， | | 2 x y ，cosyx为偶函数， 在区间(0,)上， 1 ln | y x 单
10、调递减， | | 2 x y 单调递增，cosyx有增有减.故选 B. 4.【解析】由题意得 11 ln1f ee ， 1 11 ( 1)2 2 fff e .故选 B. 5. 【解析】 函数2xy 的图象向右平移t个单位长度即2x ty 所以有 2 2 3 x x t 即： 1 2 3 t 解得 2 log 3t ， 故选 B. 6.【解析】由题意得()lncos()lncos( )fxxxf x，所以函数( )f x是偶函数，所以图象关于y轴 对称，所以排除 A，C.由题得 1 ln0 32 f ，所以排除 D.故选 B. 7. 【 解 析 】 把 两 个 式 子 分 别 平 方 相 加
11、得cos()0xy， 把 两 个 式 子 相 乘 得 3 (sin cossincos )(sin cossincos ) 2 xyyxxxyy，所以 3 sin()sin()cos() 2 xyxyxy，即 3 sin() 2 xy，故选 A. 8.【解析】( )f x是定义在R上的奇函数， 1 1 4 f ，且0x时， 2 ( )log ()f xxm， 2 11 log21 44 fmm ，1m .故选 C. 9. 【解析】 由题易知： 1 17 171a ， 1616 11 log17log 17,1 22 b ， 1717 11 log16log 160, 22 c ， abc，故选
12、 A. 10.【解析】构造函数 ( ) ( ) x f x g x e ，则 ( )( ) ( )0 x fxf x g x e ，所以( )g x在R上单调递减，因为 ( )2019f x 为 奇 函 数 ， 所 以(0)20190f， ( 0)2019f ，(0)2019g . 因 此 不 等 式 ( )20190 x f xe等价于( )(0)g xg，即0x ，故选 B. 11.【解析】因为0x，所以 5 2, 333 x ，又因为 12 ,x x是 1 sin 2 33 x 的两根，结合图 象 可 知 12 5 212 xx ， 所 21 5 6 xx ， 1211 5 sinsin
13、 2cos 2 63 xxxx ， 又 因 为 1221 5 , 6 xxxx ，所以 1 5 0 12 x ，所以 1 2, 33 2 x ，所以 1 2 2 cos 2 33 x ，所以 12 2 2 sin 3 xx .故选 A. 12. 【解析】 当0x时，( )(1)0yf xaxbxaxba xb， 得 1 b x a ；( )yf xaxb 最多一个零点； 当0x 时， 3232 1111 ( )(1)(1) 3232 yf xaxbxaxaxaxbxaxb， 2 (1)yxax ， 当1 0a ， 即1a0y，( )yf xaxb在0,)上递增，( )yf xaxb 最多一个零
14、点，不合题意； 当10a ，即1a 时，令0y得1,)xa，函数递增，令0y得0,1)xa，函数递减； 函数最多有 2 个零点； 根据题意函数( )yf xaxb恰有 3 个零点函数( )yf xaxb在(,0)上有一个零点，在 0,)上有 2 个零点，如图： 0 1 b a 且 32 0 11 (1)(1)(1)0 32 b aaab ， 解得 3 1 0,10,0(1) 6 baba ，1a ，故选 C. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.5 14.2 15.(,3)( 3,2) 16.1 13.【解析】由 2 ( )(3)3f xxa xa为偶函数，知
15、其奇次项的系数为 0，所以30a，3a ，所以 2 (2)295f . 14.【解析】 00 000 (sincos )sincos( cos )sin2xx dxxdxxdxxx . 15.【解析】因为4A， 2 24 0 3 a a ，解得3a 或32a.(,3)( 3,2)a . 16.【解析】直线(2)(0)ym xm与函数|cos|yx图象恰有四个公共点，结合图象知直线 (2)(0)ym xm与函数cosyx 相切于 4 x， 4 , 2 x ， 因为sinyx ， 故 4 4 4 c o s s i n 2 x kx x ， 所以 44 2 tan1xx . 三、解答题（本大题共
16、6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【解析】 32 ( )44f xxxxc， 2 ( )384fxxx. 令( )0fx，得 2 3840xx， 解得2x 或 2 3 x . ( )f x与( )fx在区间(,) 上的情況如下： x (, 2) 2 2 2, 3 2 3 2 , 3 ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 增 c 减 32 27 c 增 所以，当0c 且 32 0 27 c时，存在 1 ( 4, 2)x ， 23 22 2,0 33 xx ， 使得 123 0f xf xf x. 由( )f x的单调性知，当且仅当 32 0, 27
17、c 时 函数 32 ( )44f xxxxc有三个不同零点. 18.【解析】 （1）由题可知：()sin()f xx， 又函数()f x为偶函数，则当0x 时， 0() 2 kkZ ， 即() 2 kkZ ， 结合0,2 )可取0,1k ，相应的值为 3 , 2 2 . （2）由函数的解析式可得： 22 sinsin 124 yxx 1cos 21cos 2 62 22 xx 1 1cos 2cos 2 262 xx 131 1cos2sin2sin2 222 xxx 133 1cos2sin2 222 xx 3 1sin 2 26 x . 故函数的值域为： 33 1,1 22 . 19.【解
18、析】 （1）当1m 时，:02pa， 则:0p a或2a . 函数 2 ( )logf xxa在区间 1 ,4 4 上单调递增. 且函数 2 ( )logf xxa在区间 1 ,4 4 上有零点 1 0 4 (4)0 f f 解得22a ，则: 22qa . ()pq为真命题， 02 22 aa a 或 解得20a 则a的取值范围是( 2,0 （2） 2 :11p mam ，: 22qa ，且p是q成立的充分条件 2 12 (1) 12 (2) m m 11m 又因为p是q成立的不必要条件，所以（1） 、 （2）等号不能同吋成立. 1m 综上得，实数m的取值范围是( 1,1. 20.【解析】
19、（1）函数( )f x的图象关于直线1x 对称1t 故 2 ( )22f xxx. 函数( )f x在0,1上递减，在1,4上递增. 当1x 时，( )f x的最小值为 1. （2） 由题可知： 不等式220 xx hk在 1,1x 上恒成立等价于 2 11 122 22 xx k 在 1,1x 上恒成立， 令 1 2x ，则 1 ,2 2 ，所以 2 221k， 记 2 ( )221G.故 min 1 ( ) 2 G k的取值范围是 1 , 2 . 21.【解析】 （1）设经过m年剩余面积为原来的 2 2 ，且每年砍伐的百分比为x， 则 2 (1) 2 m axa， 又 10 1 (1) 2
20、 axa， 1 10 1 (1) 2 x 即 1 102 111 , 22102 m m ， 解得5m ， 故到今年为止，已砍伐了 5 年. （2）设从今年开始，最多还能砍伐n年， 则n年后剩余面积为 2 (1) 2 n ax. 令 21 (1) 24 n axa，即 2 (1) 4 n x， 3 102 113 , 22102 n n ，解得15n . 故今后最多还能砍伐 15 年. 22.【解析】 （1）由己知可得( )f x的定义域为(0,). 1 ( )fxa x ，(1)10fa ，1a . 11 ( )1 x fx xx ， 令( )0fx得01x， 令( )0fx得1x ， (
21、)f x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,). （2）不等式 2 1 ( )2(1) 22 x f xxk x可化为 2 1 ln(1) 22 x xxk x， 令 2 1 ( )ln(1),(1) 22 x g xxxk xx， 令 2 1(1)1 ( )1 xk x g xxk xx ， 1x ，令 2 ( )(1)1h xxk x ，( )h x的对称轴为 1 2 k x ， 当 1 1 2 k 时，即1k ，易知( )h x在 0 1,x上单调递减， ( )(1)1h xhk ， 若1k ，则( )0h x ， 0g x， g x在 0 1,x上单调递减， ( )(1)0g xg，不适合题意. 若11k ，则(1)0h，必存在 0 x使得 0 1,xx时( )0g x， ( )g x在 0 1,x上单调递增， ( )(1)0g xg恒成立，适合题意. 当 1 1 2 k 时，即1k ，易知必存在 0 x使得( )h x在 0 1,x上单调递增， ( )(1)10h xhk ，( )0g x( )g x在 0 1,x上单调递增， ( )(1)0g xg恒成立，适合题意. 综上，k的取值范围是(,1).
