1、 中原名校 20192020 学年上期第三次质量考评 高三数学（文）试题 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.已知复数 23 1 i z i ，则z的虚部为（ ） A.
2、1 2 B. 5 2 i C. 5 2 D. 5 2 2.已知集合 2 |3100 , |lg(5)1Ax xxBxx，则AB（ ） A.( 2,5) B.( 5,5) C.(,5) D.( 5,) 3.已知命题 2 :0,230pxxx ，则p为（ ） A. 2 0,230xxx B. 2 0,23 0xxx C. 2 0,230xxx D. 2 0,230xxx 4.已知 1 tan 3 ，则 sin2cos 3cossin （ ） A. 7 8 B. 3 5 C. 2 3 D. 1 2 5.已知向量a与b满足1a b，| 2ab，且| 1b ，则|2 |ab（ ） A.3 B.9 C.2
3、 D.4 6.已知 0.3 23 log 5,log 8,0.2abc，则, ,a b c的大小关系为（ ） A.cba B.cab C.abc D.bca 7.要得到sin 2 3 yx 的图象，只需将cos2yx的图象（ ） A.向右平移 6 个单位 B.向左平移 6 个单位 C.向右平移 12 个单位 D.向左平移 12 个单位 8.若函数( )2sin 2 3 f xxm 在区间, 6 3 上有两个零 12 ,x x，则 12 xx（ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 2 3 9.已知1x 是函数 322 11 ( )3(22) 32 f xxaaxax的极大值点，则实数a （
4、） A.0 B.0 或3 C.0 或 3 D.3 10.周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、 立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之 和为 31.5 尺，前九个节气日影长度之和为 85.5 尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ） A.5.5 尺 B.4.5 尺 C.3.5 尺 D.2.5 尺 11.已知 n S为数列 n a的前n项和，且2 nn San.若 221 log1 nn ba ，则数列 1 1 nn b b 前 2019 项的 和为（ ） A. 4038 4039 B. 2019 4
5、039 C. 4036 4037 D. 2018 4037 12.奇函数( )f x在R上存在导数( )fx， 当0x时， 2 ( )( )fxf x x ， 则使得 2 1( )0xf x立的x的 取值范围为（ ） A.( 1,0)(0,1) B.(, 1)(0,1) C.( 1,0)(1,) D.(, 1)(1,) 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量(2,1),( 3,)abm ，若/ /ab，则实数m_. 14.已知函数 3 2 ,0, ( ) log,0, x x f x x x ，则 3 3 ff _. 15.奇函数( )f x在R上满足对
6、任意的 12 ,x x，当 12 xx时，都有 12 12 0 f xf x xx .若(1)2f，则不等 式2(1) 2f x剟的解为_. 16.已知( )fx是函数( )yf x的导函数，定义( )fx为( )fx的导函数，若方程( )0fx有实数解 0 x， 则 称 点 00 ,xfx为 函 数( )yf x的 拐 点 . 经 研 究 发 现 ， 所 有 的 三 次 函 数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a都 有 拐 点 ， 且 都 有 对 称 中 心 ， 其 拐 点 就 是 对 称 中 心 . 设 32 ( )336f xxxx，则 124037 201920192019 f
7、ff _. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 已知公差不为零的等差数列 n a前 5 项的和为 35，且 126 ,a a a成等比数列.数列 n b满足2 n a n b . （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 n b的前n项和 n S. 18.（本小题满分 12 分） 在ABC中，, ,a b c分别为内角, ,A B C的对边，且(2)coscosbcAaC. （1）求A； （2）若ABC的面积为3，求a的最小值. 19.（本小题满分 12 分） 已知幂函数 1 2 2 ( )32 m f
8、xmm x 在(0,)上单调递增， 2 ( )4g xxxt. （1）求实数m的值； （2）当1,9x时，记( ), ( )f xg x的值域分别为集合,A B，设命题:p xA，命题:q xB，若命题p 是命题q的充分不必要条件，求实数t的取值范围. 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 212 ( ), ( )1 21( )1 x x f xg x f x . （1）若( )2f a ，求实数a的值； （2）判断( )f x的单调性，并证明； （3）设函数 1 ( )( )(0) ( ) h xg xx g x ，若(2 )( )40htmh t对任意的正实数t恒成立，求实数m的 取值
9、范围. 21.（本小题满分 12 分 已知函数( )ln1()f xxaxaR. （1）求( )f x的单调区间； （2）设 3 ( )ln 44 x g xx x ，若对任意的 1 (0,)x ，存在 2 (1,)x ，使得 12 f xg x成立， 求实数a的取值范围. 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )(1)() x f xxeax aR. （1）若ae，求函数( )f x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）讨论函数( )f x的单调性. 中原名校中原名校 2019-2020 学年上期第三次质量考评学年上期第三次质量考评 数学（文）参考答案数学（文）参考答案 一、选
10、择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1-5 CBDDA 6-10 ACBDA 11-12 BC 11.解析：当1n 时， 11 21aa，所以 1 1a ， 当2n时， 11 2(1) nn San ，两式相减得 1 221 nnn aaa ，即 1 21 nn aa ， 即 1 121 (2) nn aan ，所以1 n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 所以12n n a ，故21 n n a .此时 21 2212 log1log 221 n nn ban ， 所以 1 11111 (21)(2
11、1)2 2121 n n b bnnnn ， 故数列 1 1 nn b b 的前 2019 项和为 1111112019 1 2335403740394039 . 答案：B 12.解析：因为当0x时， 2 ( )( )fxf x x ，即2 ( )( )0f xxfx， 令 2 ( )( )g xx f x，则( )g x定义域为R，是奇函数， 且当0x时， 2 ( )2( )( )2 ( )( )0g xxf xx fxxf xxfx， 所以( )g x在R上是减函数， 易知当0x时，( )0g x ，( )0f x ，当0x 时，( )0g x ，( )0f x ， 所以当0x时， 2 1
12、( )0xf x等价于 2 10x ，解得10x ； 当0x 时， 2 1( )0xf x等价于 2 10x ，解得1x . 综上，x的取值范围是( 1,0)(1,). 答案：C 二、填空题： 13. 3 2 14. 2 2 15.0,2 16.4037 15.解析：由题知( )f x在R上单调递增，且( 1)2f ， 所以2(1)2f x 等价于( 1)(1)(1)ff xf，所以11 1x ，即02x. 故不等式2(1)2f x 的解为0,2. 三、解答题 17.解析： （1）设等差数列 n a的公差为d， 由已如得 1 2 111 5 4 535, 2 5, ad a adad ，结合0
13、d 解得 1 1, 3, a d 故32 n an. （2） 321 222 8 n ann n b ， 所以 n b是以 2 为首项，8 为公比的等比数列， 所以 2 81 2 81 8 17 n n n S . 18.解析： （1）由已知及正弦定理科(2sinsin)cossincosBCAAC， 整理得2sincossincoscossinsin()sinBAACACACB， 因为sin0B ，所以 1 cos 2 A， 因为(0, )A，所以 3 A . （2）由余弦定理知 222 1 cos 22 bca A bc ，所以 222 2abcbcbcbcbc，当且仅当bc时 等号成立，
14、 又因为ABC的面积为3，所以 1 sin3 2 bcA，所以4bc ， 故 2 4a ，所以2a ， 所以a的最小值为 2. 19.解析： （1）因为 1 2 2 ( )32 m f xmm x 是幂函数， 所以 2 321mm，解得1m 或 1 3 m ， 当1m 时， 1 2 ( )f xx，在(0,)上单调递增，满足题意； 当 1 3 m 时， 5 6 ( )f xx ，在(0,)上单调递减，不符合条件， 故 1 2 ( )f xx. （2）当1,9x时，1,3,4,45ABtt， 因为命题p是命题q的充分不必要条件， 所以AB，所以 41, 453, t t 解得425t ， 所以，
15、实数t的取值范围是 42,5. 20.解析： （1）因为 21 ( )2 21 a a f a ，所以 2 23,log 3 a a. （2）( )f x在(,0),(0,)单调递减. ( )f x的定义域(,0)(0,)，且 1 2 2ln2 ( )0 21 x x fx ， 所以( )f x在(,0),(0,)单调递减. （3） 2 ( )12 (0) 21 1 21 x x x g xx ， 1 ( )2(0) 2 x x h xx， 2 2 11 (2 )( )42240 22 tt tt htmh tm 恒成立， 令 1 2(0) 2 t t ut，则(2,)u， 2 (2 )( )
16、420htmh tumu恒成立， 所以 2 mu u 在(2,)u上恒成立， 又 2 u u 在(2,)上单调递减，所以 2 3u u ， 所以3m. 21.解析： （1）( )f x的定义域为(0,)， 11 ( ) ax fxa xx ， 当0a 时，( )0fx， 所以( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，令( )0fx，解得 1 0x a ，令( )0fx，解得 1 x a ， 所以( )f x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减. 综上，当0a 时，( )f x的单调递增区间为(0,)，无单调递减区间， 当0a 时， f x的单调递增区间为 1 0, a
17、 ，单调递减区间为 1 , a . （2）对任意的 1 (0,)x ，存在 2 (1,)x ，使得 12 f xg x成立， 等价于 maxmax ( )( )f xg x， 因为 2 222 11343(1)(3) ( ) 4444 xxxx g x xxxx ， 当13x时，( )0, ( )g xg x单调递增；当3x 时，( )0g x，( )g x单调递减， 所以 max 1 ( )(3)ln3 2 g xg. 由（1）知，当0a 时，( )f x在(0,)上单调递增，又 1 ( )2ln3 2 f eae，不符合题意； 当0a 时，( )f x在 1 0, a 上单调递增，在 1
18、, a 上单调递减， max 1 fxf a ， 故只需 11 ln3 2 f a ，即 1 lnln3 2 a，解得 3 e a . 综上可知，实数a的取值范围是, 3 e . 22.解析： （1）当ae时， 2 ( )(1) x f xxeex，( )2 x fxx ee， 所以(1)fe，(1)3fe， 所以切线方程为3 (1)yee x，即320exye. （2）( )22 xx fxxeaxx ea， 当0a 时，令( )0fx，解得0x ；令( )0fx，解得0x， 所以( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增； 当0a时，令( )0fx，解得0x 或ln( 2 )xa，
19、 若ln( 2 )0a，即 1 2 a 时，( )0fx恒成立，( )f x在R上单调递增， 若ln( 2 )0a，即 1 0 2 a时，令( )0fx，解得0x 或ln( 2 )xa；令 0fx，解得 ln( 2 )0ax，所以( )f x在(,ln( 2 ),(0,)a单调递增，在(ln( 2 ),0)a单调递减， 若ln( 2 )0a， 即 1 2 a 时 ， 令( )0fx， 解 得0x或ln( 2 )xa； 令( )0fx， 解 得 0ln( 2 )xa，所以( )f x在(,0),(ln( 2 ),)a单调递增，在(0,ln( 2 )a单调逆减， 综上：当 1 2 a 时，( )f x在(,0),(ln( 2 ),)a单调递增，在(0,ln( 2 )a单调递减； 当 1 2 a 时，( )f x在R上单调递增； 当 1 0 2 a时，( )f x在(,ln( 2 ),(0,)a单调递增，在(ln( 2 ),0)a单调递减； 当0a 时，( )f x在(,0)单调递减肥，在(0,)单调递增.
