1、 1 福建省莆田市福建省莆田市 2020 届高三（线上）届高三（线上）3 月教学质检月教学质检 数学（文）试题数学（文）试题 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目 要求的要求的. 1已知集合 Ax|y= + 1，Bx|x2+x20，则 AB（ ） Ax|1x1 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|1x2 2若 iz12i，则|z|（ ） A3 B5 C3 D5 3设等差数列an前 n 项和为 Sn，a24，S510，a5（ ） A2 B0 C6 D
2、10 4函数 f（x）= 2 2:1的图象大致是（ ） A B C D 5已知 2a= 1 3， = 5 ;1 2， = 34，则（ ） Aabc Bacb Ccab Dcba 6执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（ ） 2 A7 B8 C15 D31 7 已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F， A 为 C 上一点， 且|AF|5， O 为坐标原点， 则OAF 的面积为 （ ） A2 B5 C23 D4 8在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦值为 10 10 ，AA1（ ） A1 B2 C19 D22 9有 2 人从一座 6 层大楼的
3、底层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则该 2 人在不同层离开电梯的概率是（ ） A1 6 B1 5 C4 5 D5 6 10已知函数 f（x）sin（x+） （0，0）的图象关于直线 x= 5 6 对称，且(7 12) = 0当 取最 小值时，（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 11已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0）的右焦点为 F，O 为坐标原点以 F 为圆心，OF 为半径作圆 F， 圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A，B 两点若|AB|= 3|OF|，则 C 的离心率为（ ） A210 5 B1:7 3 C23 3 D2 12设函数
4、f（x）= | 3 3|， ， 2 6， 是定义域为 R 的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） 3 A1，+） B3，+ ) C1，2 D3，2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量 =（2，x） ， =（3，2） ，且（ ） ，则 x 14设 x，y 满足约束条件 + 1 0， + 2 0， 3， 则 z2x+y 的最大值为 15若数列an满足 a12，an+1= :1 1;，a2020 16有一根高为 30cm，底面半径为 5cm 的圆柱体原木（图 1） 某工艺厂欲将该原木加工成一工艺品，该工 艺品由两部分组
5、成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四棱柱（图 2） 问该工艺品体积的最大值是 cm3 二、解答题：共二、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”在省时省心的 同时， 线上买菜也面临着质量不佳、 物流滞后等问题 “指尖”上的菜篮子该如何守护
6、“舌尖”上的幸福感？ 某手机 APP（应用程序）公司为了解这款 APP 使用者的满意度，对一小区居民开展“线上购买食品满意 度调查”活动， 邀请每位使用者填写一份满意度测评表 （满分 100 分） 该公司最后共收回 1100 份测评表， 随机抽取了 100 份作为样本，得到如下数据： 评分 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 合计 男性 1 4 7 13 12 8 45 女性 0 5 9 11 16 14 55 （1）从表中数据估计，收回的测评表中，评分不小于 80 分的女性人数； （2）该公司根据经验，对此 APP 使用者划分“用户类型”：评分
7、不小于 80 分的为“A 类用户”，评分小于 80 分的为“B 类用户 （i）请根据 100 个样本数据，完成下面列联表： 性别用户类型 A 类用户 B 类用户 合计 4 男性 45 女性 55 合计 100 （）根据列联表判断能否有 95%的把握认为“用户类型”与性别有关？ 附：K2= (;)2 (:)(:)(:)(:) p（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 acosC+ccosA+2bcosB0 （1）求 B； （2）设 D 为 AC 上的点，BD 平分ABC
8、，且 AB3BD3，求 sinC 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是菱形，ABAC2，PA23，PBPD （1）证明：平面 PAC平面 ABCD； （2）若 PAAC，M 为 PC 的中点，求三棱锥 BCDM 的体积 20 （12 分）已知 F1，F2为椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1(0）的左、右焦点，且|F1F2|23，点26 3 ， 3 3 )在 E 上 （1）求 E 的方程； （2）直线 l 与以 E 的短轴为直径的圆相切，l 与 E 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，试判断 O 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x
9、）（1sinx）ex （1）求 f（x）在区间（0，）的极值； （2）证明：函数 g（x）f（x）sinx1 在区间（，）有且只有 3 个零点，且之和为 0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 5 参数方程参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，已知直线
10、 l 过点 P（2，2） 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0 （1）求 C 的直角坐标方程； （2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求|;| | 的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知 f（x）|2x1|+|x+2| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 x1，+）时，f（x）kx+k，求 k 的取值范围 6 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有
11、项是符合题目 要求的要求的. 1 【详解详析】已知集合 Ax|y= + 11，+） ， Bx|x2+x20（2，1） ， 则 AB1，1） ， 故选：B 2 【详解详析】iz12i， z= 1;2 ，则|z|1;2 |= |1;2| | = 5 故选：B 3 【详解详析】等差数列an前 n 项和为 Sn，a24，S510， 2= 1+ = 4 5= 51+ 54 2 = 10， 解得 a16，d2， a564 22 故选：A 4 【详解详析】令 f（x）0 得 x0，即 f（x）只有一个零点 x0，排除 C，D f（x）= ;2(2;1) (2:1)2 ，令 f（x）0 得 x 1， 当 x1
12、 或 x1 时，f（x）0，当 0x1 时，f（x）0， f（x）在（，1）上是减函数，在（1，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数，排除 B， 故选：A 5 【详解详析】a= 2 1 30，b（0，1） ，c1 cba 故选：D 6 【详解详析】S1，i1； 第一次执行循环体后，S1+23，i2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，S3+47，i3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，S7+815，i4，满足退出循环的条件； 故输出 S 值为 15， 故选：C 7 7 【详解详析】F（1，0） ， 设 A（m，n） ，则|PF|m+15， m4，n 4， SAOF= 1 2
13、 1 42 故选：A 8 【详解详析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 AA1为 t，则 A（1，0，0） ，D1（0，0，t） ，B（1，1，0） ，D（0，0，0） ， 1 =（1，0，t） ， =（1，1，0） ， 异面直线 AD1与 BD 所成角的余弦值为 10 10 ， |1 | |1 | | = 1 1:22 = 10 10 ， 由 t0，解得 t2 故选：B 9 【详解详析】由题意总的基本事件为：两个人各有 5 种不同的下法，故共有 25 种结果， 而两人在同一层下，共有 5 种结果， 两个人在同一层离开电梯的概率是：
14、 5 25 = 1 5 所以 2 个人在不同层离开的概率为：1 1 5 = 4 5， 故选：C 10 【详解详析】函数 f（x）sin（x+） （0，0）的图象关于直线 x= 5 6 对称，且 f（7 12）0， 则 取最小时，1 4 2 = 5 6 7 12， 可得 2，可得 f（x）sin（2x+） ， 再根据(7 12) = 0 可得 27 12 +k，kZ，求得 k 7 6 ，kZ， 8 因为 0， 所以 = 5 6 ， 故选：D 11 【详解详析】连接 AF，设 AB 交 x 轴于点 M， F 中，A、B 关于 OF 对称， AMF90 且|AM|= 1 2|AB|= 1 2 3 =
15、 3 2 ， 设 N（m， 3 2 ） ，可得 3 2 = m，得 m= 3 2 ， RtAMF 中，|MF|cm= 2;3 2 ， 由|MF|2+|MA|2|AF|2，得（2;3 2 ）2+（ 3 2 ）2c2 化简整理，得 b= 3 3 a，可得 3c24a2， 故双曲线 C 的离心率 e= = 23 3 故选：C 12 【详解详析】函数 f（x）= | 3 3|， ， 2 6， 可得函数的图象如图：|x33x|0，可得 x0，x= 3，可知 x 3时，y|x33x|是增函数， 函数 f（x）= | 3 3|， ， 2 6， 是定义域为 R 的增函数， 必须满足：a 3，a33aa2a6
16、解得 a2，所以 a3，2 故选：D 9 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 【详解详析】向量 =（2，x） ， =（3，2） ， 则 =（1，x2） ， 又（ ） ， 所以1 23（x2）0， 解得 x= 4 3 故答案为：4 3 14 【详解详析】作出不等式对应的平面区域（阴影部分） ， 由 z2x+y，得 y2x+z， 平移直线 y2x+z，由图象可知当直线 y2x+z 经过点 C 时，直线 y2x+z 的截距最大，此时 z 最 大 由 = 3 + 1 = 0，解得 = 3 = 4， 即 C（3，4） 10 此时 z
17、 的最大值为 z2 3+410； 故答案为：10 15 【详解详析】a12，an+1= :1 1;， a23， a3= ;3:1 1;(;3) = 1 2， a4= ;1 2:1 1;(;1 2) = 1 3， a5= 1 3:1 1;1 3 =2， 数列an是周期为 4 的数列， 又 2020505 4， a2020a4= 1 3， 故答案为：1 3 16 【详解详析】设球的直径为 x，则正四棱柱的高为 30x， 当 10x30 时，球体的最大半径为 r， 此时正四棱柱的底面积为（52）250， 当 x10 时，30x301020， 工艺品体积的最大值是4 3 5 3 + 50 20 = 1
18、000 + 500 3 ； 当 0x10 时，球体的直径为 x 球体体积1= 4 3 ( 2) 3 = 1 6 3， 正四棱柱体积2= (52)2(30 ) = 1500 50， 工艺品体积 V（x）V1+V2= 1 6 3 50 + 1500， （0x10） ， V（x）= 1 2 2 50，令 V（x）0，得 x= 10 10， x （0，10 ） 10 （10 ，10） V（x） 0 + V（x） 极小值 V（0）1500，V（10）1000+ 500 3 ， 11 V（x）maxV（10）1000+ 500 3 ， 综上，该工艺品体积的最大值是 1000+ 500 3 ， 故答案为：1
19、000+ 500 3 二、解答题：共二、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生 都必须作答第都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 【详解详析】 （1）根据统计数据知，不小于 80 分的女性比例为16:14 100 = 3 10， 所以可估计评分不小于 80 分的女性人数为 3 10 1100330（人） ； （2） （i）根据题意，填写列联表如下； 性 别 用 户类型 A
20、类用户 B 类用户 合计 男性 20 25 45 女性 30 25 55 合计 50 50 100 （ii）根据列联表计算 K2= 100(3025;2025)2 55455050 1.0103.841， 查表得 P（K23.841）0.050； 所以没有 95%的把握认为“用户类型”与性别有关 18 【详解详析】 （1）acosC+ccosA+2bcosB0， 由正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB0， sin（A+C）+2sinBcosB0， 又A+B+C，sin（A+C）sinB， sinB+2sinBcosB0， sinB0，cosB= 1 2， 又B（0
21、，） ， 12 = 2 3 ； （2）由（1）知 B= 2 3 ，因为 BD 平分ABC， = 3， 在ABD 中，AB3BD3， 由余弦定理得， AD2AB2+BD22ABBDcosABD， 即2= 9 + 1 2 3 1 1 2 = 7， 即 AD= 7， cosA= 2:2;2 2 = 9:7;1 237 = 57 14 ， 又A（0，） ， sinA= 21 14 ，又C+A+ABC， sinCsin（ 3 ）sin 3cosAcos 3sinA= 3 2 57 14 1 2 21 14 = 21 7 19 【详解详析】 （1）证明：设 BD 交 AC 于点 O，连接 PO，在菱形 A
22、BCD 中，ACBD， 又 PBPD，O 是 BD 的中点，POBD， ACPOO，AC平面 PAC，PO平面 PAC， BD平面 PAC， 又 BD平面 ABCD，故平面 PAC平面 ABCD； （2）解：连接 OM，M 为 PC 的中点，且 O 为 AC 的中点，OMPA， 由（1）知，BDPA，又 PAAC， 则 BDOM，OMAC， 又 ACBDO，OM平面 ABCD， 又= 1 2 = 1 2 23 1 = 3， OM= 1 2 = 3， ;= ;= 1 3 = 1 3 3 3 = 1 三棱锥 BCDM 的体积为 1 13 20 【详解详析】 （1）F1F2|23，点 P（26 3
23、， 3 3 ）在 E 上， 可得 c= 3，即 a2b23， 8 32 + 1 32 =1，解得 a2，b1， 则椭圆的方程为 2 4 +y21； （2）当直线 l 的斜率不存在时，设直线方程为 x1 和 x1， 若 x1，可得与椭圆的交点为（1， 3 2 ） ，以 AB 为直径的圆心为 M（1，0） ，半径为 3 2 ，|OM| 3 2 ，即 O 在圆外； 同理可得 x1 时，也有 O 在圆外； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+m（k0） ， 则 O 到 l 的距离为 d= | 1:2 =1，即 1+k2m2， 联立椭圆方程和直线 l 的方程可得（1+4k2）x2+8
24、kmx+4m240， 64k2m24（1+4k2） （4m24）16（1+4k2m2）0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，即有 x1+x2= 8 1:42，x1x2= 42;4 1:42， =x1x2+y1y2x1x2+（kx1+m） （kx2+m）（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 （1+k2）4 2;4 1:42，+km（ 8 1:42， ）+m 2=52;42;4 1:42 = 1:2 1:42 0， 即 0，则AOB 为锐角，故 O 在以 AB 为直径的圆外 综上可得，O 在以 AB 为直径的圆外 21 【详解详析】 （1） 因为 f （x） （1sinx）
25、ex， 求导， () = (1 )= 1 2( + 4) ， 令 f（x）0，得( + 4) = 2 2 ，x（0，） ，从而 = 2， 当 (0， 2)时， + 4 ( 4 ， 3 4 )，( + 4) 2 2 ， 所以1 2( + 4)0，f（x）0，从而 f（x）单调递减； 14 当 ( 2 ，)， + 4 (3 4 ， 5 4 )，( + 4) 2 2 ， 所以1 2( + 4)0，f（x）0，从而 f（x）单调递增， 故 f（x）在区间（0，）有极小值( 2) = 0，无极大值； （2）证明：因为 g（x）f（x）sinx1，所以 g（0）0，从而 x0 是 yg（x）的一个零点；
26、令 u（x）sinx1，则 u（x）在区间(0， 2)单调递减，在区间( 2 ，)单调递增， 又( 2) = 20，g（）e 10， 所以 g（x）在区间（0，）有唯一的零点，记为 x1， 又因为 g（x）（1+sinx）e x+sinx1= (1;);1 = () ， 所以对于任意的 xR，若 g（x）0，必有 g（x）0， 所以 g（x）在区间（，0）有唯一的零点x1， 故 g（x）在区间（，）的零点为 x1，0，x1， 所以 g（x）在区间（，）有且只有 3 个零点，且之和为 0 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所
27、选定的题目如果多做，题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与：坐标系与 参数方程参数方程 22 【详解详析】 （1）曲线 C 的极坐标方程为 cos24cos0即 22cos24cos0，把互化公 式代入可得：x2+y2x24x0，即 y24x （2）设直线 l 的倾斜角为 ，0可得参数方程为： = 2 + = 2 + （t 为参数） ，代入抛物线方程可得： t2sin2+（4sin4cos）t40， 则 t
28、1+t2= 4;4 2 ，t1t2= 4 2 0， |;| | = |1:2| |12| =|cossin|2cos（+ 4）| 2当且仅当 = 3 4 时，等号成立 |;| | 的最大值为2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23 【详解详析】 （1）由 f（x）|2x1|+|x+2|， 不等式 f（x）5 等价于|2x1|+|x+2|5， 可化为 2 2 + 1 2 5， 或2 1 2 2 + 1 + + 2 5 ， 15 或 1 2 2 1 + + 2 5 ； 解得2x 4 3， 所以不等式 f（x）5 的解集是x|2x 4 3； （2）当 x1 时，f（1）40 成立，kR； 当1x 1 2时，f（x）x+3，所以x+3k（x+1） ， 即 k 3; :1 = 4 :1 1，所以 k 5 3； 当 x 1 2时，f（x）3x+1，所以 3x+1k（x+1） ， 即 k 3:1 :1 =3 2 :1，所以 k 5 3； 综上知，k 的取值范围是（，5 3
