1、 - 1 - 福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学试卷文科数学试卷 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 本试题卷分第卷（选择题）和第卷（必考题和选考题两部分） 第第卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分） 一、选择题：一、选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的 (1) 已知集合 2 60Ax xx ， ln1Bx yx ，则AB （A） 12xx （B） 12xx （C） 13xx （D） 13xx (2) 已知复数 z 满足1 13z
2、ii，其中 i 为虚数单位，则在复平面内z对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 (3) 已知圆 2 22 :10Cxyrr，直线:3420lxy若圆 C 上恰有三个点到直线的距离为 1，则 r 的值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）6 (4) 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是 （A）3 （B）1 （C）1 （D）3 (5) 甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个座 位已知： (1)若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座； (2)若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座 如果丁坐在 B 座，那么
3、可以确定的是： （A）甲坐在 A 座 （B）乙坐在 D 座 （C）丙坐在 C 座 （D）戊坐在 F 座 (6) 如图，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图， 已知其俯视图是正三角形，则该几何体的 表面积是 （A）22 5 （B）42 5 （C）23 5 （D）43 5 (7) 下列图象中，函数 sin xx f xeex ， ,x 图象的是 俯视图 侧视图正视图 （第 4 题图） （第 6 题图） - 2 - y x - O y x - O y x - O y x - O （A） （B） （C） （D） (8) 已知 0, 2 x ， 0, 2 y ， coss
4、in1cos2 cossinsin2 xxy xxy ，则 （A） 4 yx （B）2 4 yx （C） 2 yx （D）2 2 yx (9) 将函数 sin 3 f xx 的图象横坐标变成原来的 1 2 （纵坐标不变） ，并向左平移 3 个单 位，所得函数记为 g x若 12 ,0, 2 x x ， 12 xx，且 12 g xg x ，则 12 g xx （A） 1 2 （B） 3 2 （C）0 （D） 3 2 (10) 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2， 1 AC 平面平面截此正方体所得的截面 有以下四个结论： 截面形状可能是正三角形 截面的形状可能是正方形 截面形状
5、可能是正五边形 截面面积最大值为3 3 则正确结论的编号是 （A） （B） （C） （D） (11) 若函数 1 x f xk x 有两个零点，则 k 的取值范围是 （A）0, （B）0,11, （C）0,1 （D）1, (12) 已知抛物线 2 20ypx p的焦点为 F，与双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近 线交于 P（异于原点） 抛物线的准线与另一条渐近线交于 Q若PQ PF ，则双曲线 的渐近线方程为 （A）y x （B）2yx （C）3yx （D） 2yx 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 70 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21
6、题为必考题，每个试题考生都必须做 答第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：二、填空题：本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 - 3 - (13) 已知a ab ， abab ，则a与b的夹角为 (14) 已知实数 , x y满足约束条件 30, 240, 20, xy xy xy 则 2xy 的最小值为 (15) 九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今 有勾八步，股十五步文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别 为 8 步和 15 步， 问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子， 则落在
7、其内切圆 内的概率是 (16) 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 3b ， 2cos3cosacBC， 则ABC 面积的最大值是 三、解答题：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) （本小题满分 12 分） 据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术 和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽 样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查
8、学生的就业意向 （）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （）国家鼓励大学生自主创业， 在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人.为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统计 如下表: A B C D E 公务员 教师 金融 公司 自主创业 其中“”表示有该行业就业意向， “”表示无该行业就业意向 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访.设 M 为事件“抽取的 2 人中至少 有一人有自主创业意向” ，求事件 M 发生的概率 (18) （本小题满分 12 分） 已知数列 n a 的前 n 项和为 n S，满
9、足22 nn aS （）求 n a； - 4 - （）若数列 n b 满足 * 1 4 n n nn a bnN S S ，求 n b 的前 n 项和 n T (19) （本小题满分 12 分） 在三棱柱 111 ABCABC中， 已知AB 侧面 11 BBC C， 2BC ， 1 2ABBB， 1 4 BCC ， E 为 1 BB中点， （）求证： 1 ACBC （）求 C 到平面 1 AC E的距离 (20) （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为 F，离心率 2 2 e ，过原点的直线（不与坐 标轴重合）与 C 交于 P，Q 两点，且4PF
10、QF （）求椭圆 C 的方程； （）过 P 作PE x 轴于 E，连接 QE 并延长交椭圆于 M，求证：以 QM 为直径的圆过 点 P B1 A1 C1 C B A E - 5 - (21) （本小题满分 12 分） 已知函数 2 lnf xxmxmR 的最大值是 0， （）求 m 的值； （）若 2 1 2 f xxaxb e ，求 b a 的最小值 请考生在第（请考生在第（22） 、 （） 、 （23）两题中任选一题作答）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目注意：只能做所选定的题目。如果多做，如果多做， 则按所做第一个题目计分，作答时请用则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅
11、笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)， 在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为4cos6sin. （）求C的直角坐标方程； （）设C与l交于点MN，点A的坐标为3,1，求AMAN. (23) （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 211,f xxax （）当2a 时,求不等式 1f x 的解集； （）当 1,2x 时,不等式 1f xx 恒成立,求实数
12、a的取值范围. - 6 - 福清市 2020 届高三年“线上教学”质量检测 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应给分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算
13、每小题 5 分，满分 60 分 （1）C （2）A （3）A （4）B （5）C （6）B （7）D （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13） 3 （14）4 （15） 3 20 （16） 3 3 4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) 本小题主 要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识， 考查统计与概率思想满分 12 分 () 由已知，数学与应用数学、 计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数 之比为 1:2:3,由于采取分层抽样
14、的方法抽取 18 人,因此应从数学与应用数学、计算机科学 与技术和金融工程三个专业分别抽取 3 人 6 人 9 人， 4 分 （）从这 5 个人中随机抽取 2 人的所有结果有： ,A BA CA DA EB CB D ,B EC DC ED E，共 10 种 8 分 由统计表可知， 事件 M 包含的结果有： ,A BB CB DB EA DC DD E， ， 共 7 种 10 分 所以事件 M 发生的概率为 7 10 P M 12 分 (18) 本小题考 查等比数列的通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想、分类与整合思想等满分 12 分 - 7 -
15、()当1n 时， 11 22aS，故 1 2a 1 分 由22 nn aS 得 11 222 nn aSn 3 分 -得， 11 220 nnnn aaSS ，即 1 220 nnn aaa 整理得 1 22 nn aan 故 n a 是以2为首项，2 为公比的等比数列， 5 分 所以 1 2 22 nn n a ， 6 分 （）由（）得， 1 2 12 22 12 n n n S 7 分 1 121 42211 2121222221 21 nn n nn nnnn b 10 分 故 12 12231 111111 212121212121 nn nn Tbbb 1 1 1 21 n 12 分
16、 (19) 本小题主 要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识， 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思 想等满分 12 分 ()AB侧面 11 BBC C， 1 ABBC 1 分 2BC ， 1 2CC ， 1 4 BCC ， 22 1111 2cos2BCBCCCBC CCBCC 222 11 BCBCCC， 1 BCBC 3 分 由及ABBCB，故 1 BC 平面 ABC AC 平面 ABC， 1 BCAC 5 分 （）设 C 到平面 1 AC E的距离为 d 由 11 C AC EA CC E VV 得， 11 1
17、1 33 AC ECC E SdSAB （*） 7 分 - 8 - E 为 1 BB中点， 11 1 11 221 22 CC EBCC B SS 8 分 又 111 2BCBC，所以 11 C EBB， 11 1 1 2 C EBB AB侧面 11 BBC C， 1 ABC E 又 1 ABBBB，故 1 C E 平面 11 ABB A 又AE 平面 11 ABB A，所以 1 C EAE 2,1,ABBEABBE，5AE 故 1 1 15 22 C EA SAE C E 11 分 由（*）得 5 2 2 d ，故 4 5 5 d ，即 C 到平面 1 AC E的距离为 4 5 5 12 分
18、 (20) 本小题主 要考查坐标法、椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的性质等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化 思想等满分 12 分 () 设 F 为椭圆的左焦点，由对称性可知， ,OPOQ OFOF 故顶点为 ,P F Q F 的四边形是平行四边形， 2 分 故2 4aPFPFQFPF ，2a 又 2 2 c e a ，故2,2cb 4 分 故所求椭圆方程为 22 1 42 xy 5 分 （）设过原点（不与坐标轴重合）的直线方程为 0ykx k ， 11111 ,0P x kxQxkxE x 则 1 11 01 2 QE k
19、x kk xx 故 1 : 2 QE k lyxx 7 分 与椭圆方程 22 1 42 xy 联立得， 22222 11 2280kxk x xk x 又直线 QE 与椭圆 C 交于 Q，M 两点，所以 2 1 2 2 2 PM k x xx k ，即 2 1 1 2 2 2 M k x xx k 故 3 1 1 2 22 MM k xk yxx k 10 分 - 9 - 所以 11 2 , 2PQxkx ， 2 11 22 22 , 22 k xkx PM kk 所以 222 11 22 44 0 22 k xkx PQ PM kk 故PQPM，即 90MPQ 故以 QM 为直径的圆过点 P
20、 12 分 (21) 本小题主 要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概 括能力等， 考查函数与方程思想、 化归与转化思想、 分类与整合思想、 数形结合思想等 满 分 12 分 ()由已知得 2 121 20 mx fxmxx xx 1 分 当0m 时， 0fx ， f x在0,上单调递增，不存在最大值，不符合题意舍去； 2 分 当0m 时， 0fx 解得 1 2 x m 当 1 0 2 x m 时， 0fx ，当 1 2 x m 时， 0fx 故 f x在 1 0, 2m 上单调递增， 1 , 2m 上单调递减 4 分 故 2 max 111 ln0 22
21、2 f xfm mmm 解得 1 2 m e 5 分 （）由已知条件得ln xaxb（*） 设 lng xxaxb ， （*）等价于证明 0g x 则 1 gxa x 当0a 时，则 0g x ， g x在0,上单调递增， 当 max 1, b x a 时， ln0g xxaxbaxb 故0a 不符合题意； 7 分 当0a 时，当 1 0x a 时， 0g x ，当 1 x a 时， 0g x 故 g x在 1 0, a 上单调递增， 1 , a 上单调递减 故 g x有最大值 111 lnln1gabab aaa 9 分 - 10 - 所以 2 1 2 f xxaxb e 等价于ln1ba
22、，因此 ln1ba aa 设 ln1a h a a ，则 h a 2 lna a 当01a时， 0h a ，当1a 时， 0h a 故 h a在0,1上单调递减，在1,上单调递增 故 h a在1a 处取得最小值，即 11h ah，1 b a 11 分 故当1a ，1b 时， 2 1 2 f xxaxb e 成立， 综上 b a 的最小值为1 12 分 (22) 本小题主 要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化 归与转化思想、函数与方程思想等满分 10 分 ()曲线C的方程 4cos6sin ， 2 4 cos6 sin， 22 46xyxy， 即C的直角坐
23、标方程为 22 2313xy 4 分 （）设点MN，对应的参数分别为 12 tt，. 把直线 2 3 2 2 1 2 xt yt (t为参数)代入C得， 22 22 1213 22 tt ， 整理得， 2 3 280tt. 2 3 232500 ， 12 3 2tt， 1 2 8t t ， 12 tt，为异号， 8 分 又点 3,1A 在直线l上， 2 1212121 2 4505 2AMANttttttt t. 10 分 (23) 本小题主 要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归与转化思 想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 10 分 ()当2a 时, 21 211f xxx ， 当 1 2 x 时,不等式 1 22121f xxx 成立； 当 11 22 x 时， 1 22141f xxxx， 11 24 x ； 当 1 2 x时, 212121f xxx 不成立， - 11 - 综上，不等式 1f x 的解集为 1 4 x x . 5 分 （）当 1,2x 时， 1f xx 化为2 111xaxx ,321xax ， 231 32,xaxx 13 33a xx ， 1 3y x 在1,2单调递减，故 5 2 2 y ； 3 3y x 在1,2单调递增，故 3 0 2 y， 所以20a 剟， 所以a的取值范围是 2,0. 10 分
