1、 2020 年高考桂林市第一次联合调研考试年高考桂林市第一次联合调研考试 数学（数学（文科文科） 一一、选择题选择题：本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 1 ,24 x Ax xBx ，则AB（ ） A.0,2 B.1,2 C.1, D.,2 2.若复数z满足 2 1 i z i ，则z （ ） A.2 B.2 C.2 2 D.5 3.人体的体质指数（BMI）的计算公式：BMI 体重身高 2 （体重单位为kg，身高单位为m）.其判定 标
2、准如下表： BMI 18.5 18.5 23.9 2429.9 30以上 等级 偏瘦 正常 超标 重度超标 某小学生的身高为1.4m，在一次体检时，医生告诉她属于正常类，则她的体重可能是（ ） A.35.6 B.36.1 C.42.4 D.48.2 4.已知向量a与b的夹角的余弦值为 1 3 ，且2,1ab，则3ab（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5.设,m n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件（ ） A.,mm B.,mnmn C./ / ,mn mn D./ / ,mm 6.设, x y满足约束条件 330 240 0,0 xy xy xy ，则目标函数
3、zxy的最大值为（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 7.将函数( )2sin 2 6 f xx 的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 再把所得图象向上平移 2 个 单位长度，得到函数( )yg x的图像，则（ ） A.( )2sin 42 6 g xx B. ( )2sin 42 6 g xx C.( )2sin2 6 g xx D.( )2sin2 6 g xx 8.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得 相同，且甲、乙、丙、丁、戊所
4、得依次成等差数列，问五人各得多少钱？” （ “钱”是古代乙种质量单位） ， 在这个问题中，甲比戊多得_钱？ A. 2 3 B. 1 3 C. 5 6 D. 1 6 9.已知函数( )yf x的大致图象如图所示，则函数( )yf x的解析式可能为（ ） A. 1 ( )cosln 1 x f xx x B. 1 ( )cosln 1 x f xx x C. 1 ( )sin 1 x f xx ln x D. 1 ( )sinln 1 x f xx x 10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（ ） A.27 B.36 C.12 D.18 11.已知双曲线 22 12 2 :10
5、, 8 xy CaF F a 是C的左右焦点，P是双曲线C右支上任意一点， 若 2 1 2 PF PF 的 最小值为 8，则双曲线C的离心率为（ ） A.3 B.3 C.2 D.2 12.已知函数 3 ( )2 x f x ， 若函数 2 ( )()2g xfxf mm有两个零点， 则实数m的取值范围为 （ ） A. 55 , 22 B. 55 , 22 C. 15 15 , 22 D. 1515 , 22 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知 1 sincos 3 xx，则sin2x _. 14.已知等比数列 n a中
6、， 2 134 3,aaa，则 5 a _. 15.已知函数( )ln1 x f xex，使得( )f me 成立的实数m的取值范围为_. 16.已知 1 F为椭圆 2 2 :1 4 x Cy的左焦点，过点 1 F的直线l交椭圆C于,A B两点，若 11 3BFFA，则直线 l的斜率为_. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一
7、）必考题：共 60 分分 17.在锐角ABC中，内角A BC、 、所对的边分别为abc、 、，已知22coscoscbAaBc （1）求证：2bc； （2）若 15 sin,2 4 Aa，求ABC的面积. 18.某学校在学期结束，为了解家长对学校工作的满意度，对两个班的 100 位家长进行满意度调查，调查结 果如下： 非常满意 满意 合计 A 30 15 45 B 45 10 55 合计 75 25 100 （1）根据表格判断是否有95%的把握认为家长的满意程度与所在班级有关系？ （2） 用分层抽样的方法从非常满意的家长中抽取 5 人进行问卷调查， 并在这 5 人中随机选出 2 人进行座谈，
8、求这 2 人都来自同一班级的概率？ 附： 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2 2 n adbc K abcdacbd 19.如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 2,1AAABBC，E为 1 BB的中点，F为 1 AC的中点. （1）求证：/ /EF平面ABCD； （2）求点E到平面 11 ABC的距离. 20.已知函数( )ln,f xxaxb a bR. （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）当1ae时，记函数( )f x在区间1,e的最大值为M，最小值为m，求Mm的取值范围. 21.已知抛物线 2 :20C
9、 ypx p，抛物线C与圆 2 2 :14Dxy的相交弦长为 4. （1）求抛物线C的标准方程； （2）点F为抛物线C的焦点，A B、为抛物线C上两点，90AFB，若AFB的面积为 25 36 ，且直线 AB的斜率存在，求直线AB的方程. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分如果多做，则按所作的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 42 xt yt （t为参数）.以坐标原点为极点，以x轴的正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐
10、标方程为 2 2 2 1cos . （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设点P在直线l上，点Q在曲线C上，求PQ的最小值. 23. 选修 4-5：不等式选讲 设, ,a b cR，且3abc （1）求证： 22 2 113abc； （2）若1t ，求证： 222 123abtct. 2020 年高考桂林市第一次联合调研考试年高考桂林市第一次联合调研考试 数学（理科）数学（理科） 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 1. B1 ,2 ,1,2Ay yBx xAB 2. A 2 12 12 1 1111 iiii zi iiii ，2z 3. C 由题知，此学生题
11、中的正常值在36.2646.844之间. 4. B 2 22 33693ababaabb 5. D 6. D 作图可知当2,3xy时z取最大值，即5ab 7. C 8.A 设甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数分别为 12345 ,a a a a a，公差为d，则 12345 5 2 aaaaa， 即 1 1 5 2 2 5 39 2 ad ad ，解得 1 4 3 1 6 a d ， 15 2 4 3 aad 9.C 由图象知，函数( )f x为偶函数，排除 A,B，又12x时，( )0f x ，排除 D，故选 C 10. B 由三视图知，该几何体是一个圆台，圆台的上底面半径为 1，下底面半径为7
12、，圆台的高为3 2， 设圆台的外接球半径为R，则 22 173 2RR ，解得3R ，外接球的体积为 3 4 36 3 R . 11.B 由双曲线的定义知 12 2PFPFa 2 2 22 2 1 22 2222 2 44 4248 PFaPF aa PFaPFaa PFPFPFPF ，当且仅当 2 2PFa时取等号 22 88,1,3,3aacabe 12. D 13. 8 9 14. 1 27 由 2243 31411 ,3aa qaa q a，得 4 51 11 , 327 qaa q 15. 1, 1 ( )l n1 x fxex x ，令 1 ( )ln1g xx x ，则 22 1
13、11 ( ),01 x g xx xxx 时， ( )0, ( )g xg x单调递减，当1x ，( )0, ( )g xg x单调递增，( )(1)0g xg，从而( )f x在区间 0,上单调递增，又(1),1fem 16. 2 17.解： （1）证明：由正弦定理有2sin2cossincossinCsiBAABC 得2sincos2sincossincossinCABAABC，有2sincossincossinsinCABACC 得2sincossincos0CABA，由cos0A，可得sin2sinBC，由正弦定理得2bc （2）由题意有 151 cos1 164 A 由余弦定理有 2
14、2 1 24 4 bcbc，得 22 1 4 2 bcbc，代入2bc，解得：1,2cb 故ABC的面积为 11515 2 244 18.解： （1）由表格得 2 2 10030 1045 15100 3.033.841 75 25 45 5533 K 所以没有95%的把握认为观众的满意程度是否与所在班级有关系. （2）记 A 班抽取的非常满意的家长为, a b；B 班抽取的非常满意的家长为 1,2,3，则选取选出 2 人共有 ,1 ,2 ,3 ,1 ,2 ,3 , 1,2 , 1,3 , 2,3a baaabbb， 共 10 种可能， 其中来自同一个班级的有 , 1,2 , 1,3 , 2,
15、3a b共 4 种可能， 这 2 人都来自同一班级的概率为 42 105 19.解： （1）证明：如图，连ACBD、相交于点O，连OF 11 / /,2,/ /,FOBBFOBBFOBE FOBE 四边形BEFO为平行四边形，可得/EFOB OB平面ABCD，EF 平面ABCD，/ /EF平面ABCD （2）由题知， 11 BC 平面 11 ABB A， 11 C是点 1 C到平面 11 ABB A的距离. 又 1 AB 平面 11 ABB A， 111 BCAB 设点E到平面 11 ABC的距离为h 则 111 111 1 11 111111 ,1 1 15 1 333232 CAB EE
16、AB CAEBB C VVSCShh 解得 5 5 h . 20.解： （1）函数( )f x的定义域为0, ( )1 axa fx xx 当0a时，( )0fx ，函数( )f x的增区间为0, 当0a时，令( )0fx 可得xa，故函数( )f x的增区间为, a ，减区间为0,a （2）由1ae，可得函数( )f x的区间1,a单调递减，在区间, a e单调递增 有 ( )ln1,12,1mf aaaff eea 由 ( )11f efea 当11ae 时，( )1Mf eea，有 1ln1ln2Mmeaaaaaae 记( )ln211 ,( )ln10g xxxxexeg xx ，故此
17、时函数( )g x单调递减，有 1 ln121 ln121( )2eeeeeeeg xe 故此时Mm的取值范围为(1)ln(1)2,2eeee 当1eae 时，(1)2Mf，有2ln1ln1Mmaaaaaa 记( )ln11, ( )ln0h xxxxexe h xx ，故此时函数( )h x单调递增，有 1 ln121 ln111( )1 1eeeeeeh xee 故此时Mm的取值范围为(1)ln(1)2,1eee 由上知Mm的取值范围为(1)ln(1)2,1eee 21.解： （1）由圆及抛物线的对称性可知，点,2a既在抛物线C上也在圆D上， 有： 2 24 144 pa a ，解得1,2
18、ap 故抛物线C的标准方程的 2 4yx （2）设直线AB的方程为0ykxb k，点A B、的坐标分别为 1122 ,x yx y. 联立方程 2 4yx ykxb ，消去y后整理为 222 240k xkbxb，可得 12 2 42kb xx k 2 12 2 b x x k 联立方程 2 4yx ykxb ，消去x后整理为 2 440kyyb，可得 12 4b y y k 16 160kb，得1kb 由90AFB有， 1122 1,1,FA xyFBxy， 1212121212 111FA FBxxy yx xxxy y 2 22 424 10 bkbb kkk ，可得 22 64bkbk
19、 AFB的面积为 121212 111 111 222 AFBFxxx xxx 2222 2 22222 22222 26 142242 1 222 bkbkbkbk bkbbkbkbkbkbk kkkkkk 可得 5 6 bk k ，有6kb或 11 6 k b 联立方程 22 64 6 bkbk kb 解得 12 2 k b 或 12 2 k b ，又由24 1kb，故此时直线AB的方程为 122yx或122yx 联立方程 22 64 11 6 bkbk k b ，解方程组知方程组无解. 故直线AB的方程为122yx或122yx 22.解： （1）直线l的普通方程为42yx 曲线C的极坐标
20、方程化为直角坐标方程为 2 2 1 2 y x （2）曲线的参数方程为 cos 2sin x y 设点Q的坐标为 cos, 2sin 2cos2sin4 4 64 530 555 PQ 故PQ的最小值为 4 530 5 23.证明： （1）由 2 222 2 9111121211abcabcabca bbc 22222222 2222 21111111311a cabcabbcacabc （当且仅当时1,0,2abc取等号） 故有 2 2 113abc （2） 2 22222 21121221tabctabtctabtctabt 22212b tctact 222222222 121212abtctabtbtctact 222 312abtct 由1t ，有 2 29t 故当1t 时， 222 123abtct.
