1、2020 年上海市徐汇区高考数学一模试卷年上海市徐汇区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1已知集合 Mx|x2，集合 Nx|x1，则 MN 2向量在向量 方向上的投影为 3二项式（3x1）11的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 4复数的共轭复数为 5已知 yf（x）是定义在 R 上的偶函数，且它在0，+）上单调递增，那么使得 f（2） f（a）成立的实数 a 的取值范围是 6已知函数 f（x）arcsin（2x+1），则 f1（） 7已知 xR，条件 p：x2x，条件
2、 q：a（a0），若 p 是 q 的充分不必要条件，则实 数 a 的取值范围是 8已知等差数列an的公差 d3，Sn表示an的前 n 项和，若数列Sn是递增数列，则 a1 的取值范围是 9数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于 2 的四位数的个数为 10过抛物线 C：y22x 的焦点 F，且斜率为的直线交抛物线 C 于点 M（M 在 x 轴的上 方），l 为抛物线 C 的准线，点 N 在 l 上且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，对任意 nN*，Sn（1）nan+n3 且（a1p） （a2p）0，则实数 p 的取值范围是 12已知函数
3、f（x）关于 x 的不等式 f（x）mx2m20 的解 集是（x1，x2）（x3，+），若 x1x2x30，则 x1+x2+x3的取值范围是 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13过点（1，0），且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ） A3x+5y30 B3x+5y+30 C3x+5y10 D5x3y+50 14 一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 则截得的小棱 锥与原棱锥的高之比是（ ） A1：2 B1：8 C：2 D：4 15若圆 C1：x2+y21 和圆 C2：x2+y26x8yk0 没有公共
4、点，则实数 k 的取值范围是 （ ） A（9，11） B（25，9） C（，9）（11，+） D（25，9）（11，+） 16设 H 是ABC 的垂心，且 3+4+5 ，则 cosBHC 的值为（ ） A B C D 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17如图所示，圆锥 SO 的底面圆半径|OA|1，母线 SA3 （1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积； （2）过点 O 在圆锥底面作 OA 的垂线交底面圆圆弧于点 P，设线段 SO 中点为 M，求异 面直线 AM 与 PS 所成角的大小 18设函数 f（x）x2+|xa|（
5、xR，a 为实数） （1）若 f（x）为偶函数，求实数 a 的值； （2）设 a，求函数 f（x）的最小值（用 a 表示） 19如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C，景区管委会又开发 了风景优美的景点 D，经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上，已知 AB5km （1）景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出 这条公路的长；（结果精确到 0.1km） （2）求景点 C 与景点 D 之间的距离（结果精确到 0.1km） 20（16 分）给正有理数
6、、（ij，i，jN*，mi，ni，mj，njN*，且 mimj和 ni nj不同时成立） ， 按以下规则 P 排列： 若 mi+nimj+nj， 则排在前面； 若 mi+ni mj+nj，且 ninj，则 排在的前面，按此规则排列得到数列an （例如： ， ，） （1）依次写出数列an的前 10 项； （2）对数列an中小于 1 的各项，按以下规则 Q 排列：各项不做化简运算；分母 小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列bn，求数列bn 的前 10 项的和 S10，前 2019 项的和 S2019； （3） 对数列an中所有整数项， 由小到大取前2019个互不相等的整数项
7、构成集合Ac1， c2，c3，c2019，A 的子集 B 满足：对任意的 x，yB，有 x+yB，求集合 B 中元素个 数的最大值 21（18 分）已知椭圆：+1（ab0），点 A 为椭圆短轴的上端点，P 为椭圆 上异于 A 点的任一点，若 P 点到 A 点距离的最大值仅在 P 点为短轴的另一端点时取到， 则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 b2 （1）若 a，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求 a 的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且 a 取最大值，Q 为 P 关于原点 O 的对称点，Q 也异于 A 点，直线 AP、AQ 分别与 x 轴交于 M、N 两点，试问以线段 M
8、N 为直径的圆是否过定点？ 证明你的结论 2020 年上海市徐汇区高考数学一模试卷年上海市徐汇区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1已知集合 Mx|x2，集合 Nx|x1，则 MN x|x1 或 x2 【解答】解：Mx|x2，Nx|x1， MNx|x1 或 x2 故答案为：x|x1 或 x2 2向量在向量 方向上的投影为 3 【解答】解：向量在向量， cos（ ， ）， 向量在向量方向上的投影为：cos（ ， ）53， 故答案为 3；
9、 3二项式（3x1）11的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 55 【解答】解：二项式（3x1）11的二项展开式的通项公式 Tr+1（3x）11 r（1） r， 令 r2，可得中第 3 项的二项式系数为55， 故答案为：55 4复数的共轭复数为 【解答】解：， 故答案为： 5已知 yf（x）是定义在 R 上的偶函数，且它在0，+）上单调递增，那么使得 f（2） f（a）成立的实数 a 的取值范围是 a2 或 a2 【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增 不等式 f（2）f（a）等价为 f（2）f（|a|）， 即 2|a|， a2 或 a2， 故答案为：
10、a2 或 a2 6已知函数 f（x）arcsin（2x+1），则 f1（） 【解答】解：令 arcsin（2x+1） 即 sin2x+1 解得 x 故答案为： 7已知 xR，条件 p：x2x，条件 q：a（a0），若 p 是 q 的充分不必要条件，则实 数 a 的取值范围是 （0，1 【解答】解：因为 xR，条件 p：x2x，所以 p 对应的集合为 A（0，1）； 因为条件 q：a（a0），所以 q 对应的集合为 B（0，； 因为 p 是 q 的充分不必要条件， 所以 AB， 所以， 所以 0a1， 故答案为：（0，1 8已知等差数列an的公差 d3，Sn表示an的前 n 项和，若数列Sn是递
11、增数列，则 a1 的取值范围是 （3，+） 【解答】解：Snna1+ 数列Sn是递增数列， S n+1 Sn， （n+1）a1+3na1+ 化为：a13n，对于nN*都成立 a13 故答案为：（3，+） 9数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于 2 的四位数的个数为 840 【解答】解：根据题意，0 到 9 十个数字中之差的绝对值等于 2 的情况有 8 种：0 与 2，1 与 3，2 与 4，3 与 5，4 与 6，5 与 7，6 与 8，7 与 9 分 2 种情况讨论： 当个位与千位数字为 0，2 时，只能千位为 2，个位为 0，有 A8256 种， 当个位与千位数字为 1 与 3
12、，2 与 4，3 与 5，4 与 6，5 与 7，6 与 8，7 与 9 时，先排 千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有 7A82A22784 种， 共 784+56840； 故答案为：840 10过抛物线 C：y22x 的焦点 F，且斜率为的直线交抛物线 C 于点 M（M 在 x 轴的上 方），l 为抛物线 C 的准线，点 N 在 l 上且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为 【解答】 解： 抛物线 C： y22x 的焦点 F （， 0） ， 且斜率为的直线方程为 ， 所以，整理得 9x215x+40，解得， 当 x时，解得 y， 设点 M（）， l 为抛物线 C 的准线，点 N
13、 在 l 上且 MNl， 所以 N（，） 所以 NF 的直线方程为， 所以当 M（）到直线的距离 d 故答案为： 11已知数列an的前 n 项和为 Sn，对任意 nN*，Sn（1）nan+n3 且（a1p） （a2p）0，则实数 p 的取值范围是 （ ） 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，对任意 nN*，Sn（1）nan+n3， 当 n1 时，解得， 当 n3 时，整理得， 当 n4 时，整理得， 由得：， 所以，整理得， 解得， 所以：实数 p 的取值范围是（）， 故答案为：（） 12已知函数 f（x）关于 x 的不等式 f（x）mx2m20 的解 集是（x1，x2）（x3，+），
14、若 x1x2x30，则 x1+x2+x3的取值范围是 2 12，+ ） 【解答】解：画出函数 yf（x）的图象， x 的不等式 f（x）mx2m20， 即为 f（x）m（x+2）+2， 作出直线 ym（x+2）+2，其恒过定点（2，2）， 由解集是（x1，x2）（x3，+）， 若 x1x2x30， 可得 x10，x20，x30， 当 x1 时，x1，x2，是方程 x2+6x+10mx2m20 的两个实根； 即 x2+（6m）x+82m0 的两个实根，x1+x2m6； 当 x1 时，x3是方程4x+1mx2m20 的实根； x3 ； 结合图象可得 m0， 当直线 ym（x+2）+2 经过（0，1
15、）时，可得 2m+21， 解得 m； 当直线 ym（x+2）+2 与直线 y14x 平行时， m4 由直线 ym（x+2）+2 在 yf（x）的上方，可得 4m m+40， x1+x2+x3m6+m+4+122 12212； 当且仅当 m+4时，即 m4+时取等号； 故答案为：212，+） 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13过点（1，0），且与直线有相同方向向量的直线的方程为（ ） A3x+5y30 B3x+5y+30 C3x+5y10 D5x3y+50 【解答】解：由可得，3x+5y+80，即直线的斜率， 由题意可知所求直线的
16、斜率率 k， 故所求的直线方程为 y（x1）即 3x+5y+30 故选：B 14 一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 则截得的小棱 锥与原棱锥的高之比是（ ） A1：2 B1：8 C：2 D：4 【解答】解：在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似， 相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比 又一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半， 相似比为 1：2 则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2 故选：C 15若圆 C1：x2+y21 和圆 C2：x2+y26x8yk0 没有公共点，则实数 k 的取值范围是 （ ） A（9，11）
17、B（25，9） C（，9）（11，+） D（25，9）（11，+） 【解答】解：化圆 C2：x2+y26x8yk0 为（x3）2+（y4）225+k， 则 k25，圆心坐标为（3，4），半径为， 圆 C1：x2+y21 的圆心坐标为（0，0），半径为 1 要使圆 C1：x2+y21 和圆 C2：x2+y26x8yk0 没有公共点， 则|C1C2| 或|C1C2 | ， 即 5或 5， 解得25k9 或 k11 实数 k 的取值范围是（25，9）（11，+） 故选：D 16设 H 是ABC 的垂心，且 3+4+5 ，则 cosBHC 的值为（ ） A B C D 【 解 答 】 解 ： 由 三
18、角 形 垂 心 性 质 可 得 ， 不 妨 设 x， 3+4+5 ， ， ，同理可求得， 故选：D 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17如图所示，圆锥 SO 的底面圆半径|OA|1，母线 SA3 （1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积； （2）过点 O 在圆锥底面作 OA 的垂线交底面圆圆弧于点 P，设线段 SO 中点为 M，求异 面直线 AM 与 PS 所成角的大小 【解答】解：（1）圆锥 SO 的底面圆半径|OA|1，母线 SA3所以圆锥的高为 h 所以，S圆锥侧133 （2）如图所示： 在圆锥中，作 MNSP，交
19、OP 于 N，则异面直线 AM 与 PS 所成的角为AMN 依题意：AM，MN，AN， 所以， 所以面直线 AM 与 PS 所成角的大小 18设函数 f（x）x2+|xa|（xR，a 为实数） （1）若 f（x）为偶函数，求实数 a 的值； （2）设 a，求函数 f（x）的最小值（用 a 表示） 【解答】解：（1）若函数 f（x）为偶函数，则 f（x）f（x）对于任意实数恒成立 即：x2+|xa|x2+|xa|，所以|x+a|xa|恒成立，即 a0 （2）在的基础上，讨论 xa 的符号， 当 xa 时， f （x） x2+xa， 所以函数 f （x） 的对称轴为 x， 此时 当 xa 时， f
20、 （x） x2+xa， 所以函数 f （x） 的对称轴为 x， 此时 又由于 a时， ，所以函数 f（x）的最小值为 19如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点 A、B、C，景区管委会又开发 了风景优美的景点 D，经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上，已知 AB5km （1）景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出 这条公路的长；（结果精确到 0.1km） （2）求景点 C 与景点 D 之间的距离（结果精确到 0.1km） 【解答】解：（1）如图，过点 D
21、 作 DEAC 于点 E，过点 A 作 AFDB，交 DB 的延长 线于点 F 在Rt DAF中 ， ADF 30 ， AF AD 8 4 ， DF ； 在 RtABF 中，BF3，BDDFBF43 sinABF，在 RtDBE 中，sinDBE ， ABFDBE， sinDBE， DEBDsinDBE （43） 3.1（km） 景点 D 向公路 a 修建的这条公路的长约是 3.1km； （2）由题意可知CDB75，由（1）可知 sinDBE0.8，所以DBE53， DCB180755352 在 RtDCE 中，sinDCE，DC4（km） 景点 C 与景点 D 之间的距离约为 4km 20（
22、16 分）给正有理数、（ij，i，jN*，mi，ni，mj，njN*，且 mimj和 ni nj不同时成立） ， 按以下规则 P 排列： 若 mi+nimj+nj， 则排在前面； 若 mi+ni mj+nj，且 ninj，则 排在的前面，按此规则排列得到数列an （例如： ， ，） （1）依次写出数列an的前 10 项； （2）对数列an中小于 1 的各项，按以下规则 Q 排列：各项不做化简运算；分母 小的项排在前面；分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列bn，求数列bn 的前 10 项的和 S10，前 2019 项的和 S2019； （3） 对数列an中所有整数项， 由小到大取前201
23、9个互不相等的整数项构成集合Ac1， c2，c3，c2019，A 的子集 B 满足：对任意的 x，yB，有 x+yB，求集合 B 中元素个 数的最大值 【解答】解： （1）依题意，数列an的前 10 项为：， ； （2）依题意按规则 Q 排列后得：， 前 10 项和为：S10+5； 求前 2019 项的和 S2019时，先确定最后一个分数的值，令 20191+2+3+n 即 2019，n（63，64）， 数列分母取慢 264 时，共有2016 项，所有分母为 65 的还有 3 项，即：， ， 数列bn前 2019 项为： ， ， 当 n2，64时，对分母为 n 的小段求和：S+， 当 n2，6
24、4时，对 63 个小段相加求和：S+ 1008， S2019S+1008， （3）依题意：A1，2，3，2019，B2019，2018，2107，2016，1010共 1010 项，这种情况 B 中的元素最多 21（18 分）已知椭圆：+1（ab0），点 A 为椭圆短轴的上端点，P 为椭圆 上异于 A 点的任一点，若 P 点到 A 点距离的最大值仅在 P 点为短轴的另一端点时取到， 则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 b2 （1）若 a，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求 a 的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且 a 取最大值，Q 为 P 关于原点 O 的对称点，Q 也异
25、于 A 点，直线 AP、AQ 分别与 x 轴交于 M、N 两点，试问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？ 证明你的结论 【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：1，所以 A（0，2）， 设 P（x，y）则|PA|2x2+（y2）25（1）+（y2）2y24y+9，y2， 2， 二次函数开口向下，对称轴 y8，y2，2上函数单调递减， 所以 y2 时，函数值最大，此时 P 为椭圆的短轴的另一个端点， 椭圆是“圆椭圆”； （2）由（1）的方法：椭圆方程：+1，A（0，2）设 P（x，y），则|PA|2x2+ （y2）2a2（1）+（y2）2（+1）y24y+4+a2，y2，2，由题意 得， 当且仅当 y2 时，函数值达到最大， 讨论：当开口向上时，满足：2a2（舍）； 当开口向下时，满足2a2， 综上 a 的范围：（2，2 （3）a2，椭圆方程：+ 1，由题意：设 P（2cos，sin），0，2， 且，则 Q（2cos，sin），则直线 AP：yx+2M （，0） 则直线 AQ：y+2N（，0）， MN 为直径的圆过定点 C（m，n）则，0， 所以得定点（0，2）
