1、 1 北京市大兴区北京市大兴区 2019-2020 学年度第一学期期末检测试题学年度第一学期期末检测试题 高三数学高三数学 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A1，0，1，2，BxN|x4，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D0，1，2 2已知一组数据：1，2，2，3，3，3，则这组数据的中位数是（ ） A2 B7 3 C5 2 D3 3已知向量 = (2，0)， = (1，1)，则下列结论正确的是（ ） A = 1
2、B C| | = | | D( ) 4已知复数 z 在复平面上对应的点为（m，1） ，若 iz 为实数，则 m 的值为（ ） A1 B0 C1 D1 或1 5下列函数中，值域为（1，+）的是（ ） Ay2x+1 B = 1 +1 Cylog2|x| Dyx2+1 6若数列an满足：a11，2an+12an+1（nN*） ，则 a1与 a5的等比中项为（ ） A 2 B2 C3 D3 7某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 1，那么该四棱锥体积为（ ） A4 B10 C12 D30 8设 ， 为非零向量，则“| + | | + | |”是“ 与 不共线”的（ ） A充分而不必要
3、条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9动点 M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动 1 个单位或者 2 个单 位的距离，且每次至少跳动 1 个单位的距离经过 3 次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（ ） 2 A7 B9 C11 D13 10某种新产品的社会需求量 y 是时间 t 的函数，记作：yf（t） 若 f（0）y0，社会需求量 y 的市场饱 和水平估计为 500 万件，经研究可得，f（t）的导函数 f（t）满足：f（t）kf（t） （500f（t） ） （k 为正 的常数） ，则函数 f（t）的图象可能为（ ） A B
4、C D 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11抛物线 y2x 的焦点到其准线的距离等于 12已知 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（x）lnx，则 f（e） 13在ABC 中，若 a2， = 2 2 ，ABC 的面积为 1，则 b 14圆心在 x 轴上，且与双曲线 2 3 2= 1的渐近线相切的一个圆的方程可以是 15已知 a0，函数() = 2 ， ， ， 若 a0，则 f（x）的值域为 ；若方程 f（x）20 恰有 一个实根，则 a 的取值范围是 16小明用数列an记录某地区 2019 年 12 月份 31 天中每天是否下过雨，方法为：
5、当第 k 天下过雨时，记 ak1，当第 k 天没下过雨时，记 ak1（1k31） ；他用数列bn记录该地区该月每天气象台预报是否 有雨，方法为：当预报第 k 天有雨时，记 bk1，当预报第 k 天没有雨时，记 bk1（1k31） ；记录完 毕后，小明计算出 a1b1+a2b2+a31b3125，那么该月气象台预报准确的的总天数为 ；若 a1b1+a2b2+akbkm，则气象台预报准确的天数为 （用 m，k 表示） 3 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （13 分）已知函数 f（x）= 3
6、sinxsin（ 2 x）+sin2x 1 2 （）求 f（x）的最小正周期； （）求 f（x）在区间0， 2上的最大值 18 （13 分）如图是 2019 年 11 月 1 日到 11 月 20 日，某地区甲流疫情新增数据的走势图 （）从这 20 天中任选 1 天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过 100 的概率； （）从新增确诊的人数超过 100 的日期中任选两天，用 X 表示新增确诊的人数超过 140 的天数，求 X 的分布列和数学期望； （）根据这 20 天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势 19 （13 分）已知数列an为等比数列，且 an0，数列bn满足 bnlog2an若
7、 b14，b23 （）求数列an的通项公式； （）设数列bn+m前 n 项和为 Sn，若当且仅当 n5 时，Sn取得最大值，求实数 m 的取值范围 20 （14 分）如图，在四棱锥 CABEF 中，平面 ABEF平面 ABC，ABC 是边长为 2 的等边三角形，AB EF，ABE90 ，BEEF1，点 M 为 BC 的中点 （）求证：EM平面 ACF； （）求证：AMCE； （）求二面角 EBCF 的余弦值 21 （13 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 2 2 ，过焦点且与 x 轴垂直的直线被椭圆 C 截得的 线段长为 2 4 （）求椭圆 C 的方程； （）已知
8、点 A（1，0） ，B（4，0） ，过点 A 的任意一条直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，求证：|MB|NA| |MA|NB| 22 （14 分）已知函数 f（x）x2ex （）求 f（x）的单调区间； （）过点 P（1，0）存在几条直线与曲线 yf（x）相切，并说明理由； （）若 f（x）k（x1）对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 5 答案与详解答案与详解 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 【详解详析】集合 A1，0，1
9、，2，BxN|x40，1，2，3，则 AB0，1，2， 故选：D 2 【详解详析】数据从小到大排列为 1，2，2，3，3，3， 则这组数据的中位数是1 2 （2+3）= 5 2 故选：C 3 【详解详析】因为 = (2，0)， = (1，1)， 则 =2 1+0 12，A 错误；2 1010，故 B 错误； | |2，| | = 2，故 C 错误； =（1，1） ， ( ) = 2 =220 故（ ） ，D 正确 故选：D 4 【详解详析】由题意，zm+i， 再由 izi（m+i）1+mi 为实数， 得 m0 故选：B 5 【详解详析】2x0， 2x+11，即 y2x+1 的值域为（1，+）
10、故选：A 6 【详解详析】由 2an+12an+1，得 an+1an= 1 2， 又 a11， 数列an是以 1 为首项，以1 2为公差的等差数列， 则5= 1+ 4 = 1 + 4 1 2 = 3 a1与 a5的等比中项为3 故选：C 7 【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 6 该几何体为四棱锥体： = 1 3 1 2(1 + 4) 4 3 =10 故选：B 8 【详解详析】 与 不共线，则“| + | | + | |”，反之不成立，例如反向共线时 “| + | | + | |”是“ 与 不共线”的必要不充分条件 故选：B 9 【详解详析】根据题意，分 4 种情况讨论
11、： ，动点 M 向左跳三次，3 次均为 1 个单位，3 次均为 2 个单位，2 次一个单位，2 次 2 个单位，故有 6，5，4，3， ，动点 M 向右跳三次，3 次均为 1 个单位，3 次均为 2 个单位，2 次一个单位，2 次 2 个单位，故有 6， 5，4，3， ，动点 M 向左跳 2 次，向右跳 1 次，故有3，2，1，0，2， ，动点 M 向左跳 1 次，向右跳 2 次，故有 0，1，2，3， 故 M 在数轴上可能位置的个数为6，5，4，3，2，1，0，1，2，3，4，5，6 共有 13 个， 故选：D 10 【详解详析】因为 f（t）kf（t） （500f（t） ） ， 令 f（t
12、）0，则 f（t）0 或 500，即当 f（t）0 或 500 时，曲线的切线斜率接近 0， 由选项可知，只有符合题意， 故选：B 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 11 【详解详析】抛物线 y2x 中 2p1，p0.5 抛物线 y2x 的焦点和准线的距离等于 0.5 故答案为：0.5 12 【详解详析】f（x）是偶函数，且 x0 时，f（x）lnx， f（e）f（e）lne1 故答案为：1 7 13 【详解详析】由 = 2 2 可得 sinB= 2 2 ， 因为 SABC= 1 2 = 1 2 2 2 2 =1， 所以 c= 2， 由余弦定
13、理可得 cosB= 2 2 = 4+22 42 ， 解可得，b= 10 故答案为：10 14 【详解详析】双曲线的渐近线方程为：y 3 3 x，设圆的圆心为（2m，0） ，m0， 则圆的半径为： |23 3 | 1+1 3 =|m|， 所以所求圆的方程为： （x2m）2+y2m2，m0， 故答案为：满足方程： （x2m）2+y2m2的任意 m（m0）均可 15 【详解详析】当 a0 时，f（x）= 2 ， 0 ，0 ，当 x0 时，f（x）2x（0，1， 当 x0 时，f（x）= 0， 故 a0 时，f（x）的值域为（0，+） ； 当方程 f（x）20 恰有一个实根即函数 f（x）与 y2 图
14、象只有一个交点， 如图： 由图可知， 0， 22 ，解之得 0a1，故 a 的取值范围是0，1） ， 故答案为（0，+） ，0，1） 8 16 【详解详析】依题意，若 akbk1（1k31） ，则表示第 k 天预报正确，若 akbk1（1k31） ，则表示 第 k 天预报错误， 若 a1b1+a2b2+akbkm， 假设其中有 x 天预报正确，即等式的左边有 x 个 1， （kx）个1，则 x（kx）m，解得 = + 2 ， 即气象台预报准确的天数为+ 2 ； 于是若 a1b1+a2b2+a31b3125，则气象台预报准确的天数为31+25 2 = 28 故答案为：28，+ 2 三、解答题共三
15、、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【详解详析】 （）因为 f（x）= 3sinxsin（ 2 x）+sin2x 1 2 = 3 + 12 2 1 2， = 3 2 2 1 22 =sin（2x 6） ， 所以 f（x）的最小正周期为 T， （）因为0 1 2， 所以 6 2 6 5 6 ， 于是，当 2x 6 = 1 2即 x= 1 3时，函数取得最大值 1 18 【详解详析】 （）由图知，在统计出的 20 天中， 新增确诊和新增疑似人数超过 100 人的有 3 天， 设事件 A 为“从这 20 天中
16、任取 1 天，新增确诊和新增疑似的人数都超过 100”， 则 P（A）= 3 20 （）由图知，新增确诊的日期中人数超过 100 的有 6 天中，有 2 天人数超过 140， 所以 X 的所有可能值为 0，1，2 所以 P（X0）= 4 2 6 2= 2 5， P（X1）= 2 141 6 2 = 8 15， P（X2）= 2 2 6 2= 1 15 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 9 所以 X 的数学期望为 E（X）= 0 2 5 + 1 8 15 + 2 1 15 = 2 3 （）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少 预测二：新增确诊和新增疑似的人
17、数每天大致相当 预测三：该地区甲流疫情趋于减缓 预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发 （答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分） 19 【详解详析】 （）由题意，设等比数列an的公比为 q，则 b1log2a14，即 a12416 b2log2a23，即 a2238 q= 2 1 = 8 16 = 1 2 数列an的通项公式为 an16（1 2） n125n，nN* （）由（）知，bnlog225 n5n 故 bn+m5n+m 数列bn+m是等差数列 当且仅当 n5 时，数列bn+m的前 n 项和 Sn取得最大值， 5 + 0 6+ 0，即 5 5 + 0 5 6 + 0 解得
18、 0m1 实数 m 的取值范围是（0，1） 20 【详解详析】 （）证明：取 AC 中点 D，连结 DM，DF， 在三角形 ABC 中，DMAB 且 DM= 1 2， 又因为 AB2EF1， 所以 EF= 1 2，又因为 EFAB 所以 DMEF 为平行四边形， 所以 EMFD， 又因为 EM平面 ACF，DF平面 ACF， 所以 EM平面 ACF； （）证明：取 AB 中点 O，连结 OC，OF， 因为三角形 ABC 是等边三角形 10 所以 AB2，COAB， 因为四边形 ABEF 满足 ABEF，ABE90 ，EFBF1， 所以 FBFA= 2，FOAB， 又因为平面 ABEF平面 AB
19、C， 所以 OF平面 ABC， 以 OC，OB，OF 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，1， 0） ，M（ 3 2 ， 1 2，0） ，C（3，0，0） ，E（0，1，1） ， = ( 3 2 ， 3 2，0)， = (3，1，1) 所以 = 0 所以 AMCE； （）由（）知，AMCE， 由已知可得 AMBC， 所以 AM平面 BCE， 所以 是平面 BCE 的法向量， 又 = (3， 1，0)， = (0， 1，1)， 设平面 BCF 的法向量为 = (，)， 则 = 0 = 0 ，即3 = 0 + = 0 ， 令 x1，得 = (1， 3 ，3)， 由 cos
20、 ， = 3 2 1+3 23 37 = 27 7 ， 又因为二面角 EBCF 为锐二面角， 所以二面角 EBCF 的余弦值为27 7 21 【详解详析】 （）因为 2 2 + 2 2 = 1，令 xc，得2= 4 2， 11 由已知 2 = 1， 又 = 2 2 ，a2b2+c2， 解得 a2， = 2， 所以椭圆的方程为 2 4 + 2 2 = 1 （）要证明|MB|NA|MA|NB|，只需证明| | = | |， 过 M，N 分别作 x 轴的垂线段 MM，NN，易得：| | = | |， 所以只需证明| | = | |， 所以只需证明MBANBA，只需证明 kMB+kNB0 当直线 l
21、的斜率不存在时，易得|MB|NA|MA|NB| 当直线 l 的斜率存在时，不妨设其为 k，则直线 l 的方程为 yk（x1） ， 联立 2 4 + 2 2 = 1 = ( 1) 消去 y，得（2k2+1）x24k2x+2k240， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则1+ 2= 42 22+1，12 = 224 22+1， 直线 MB 的斜率= (11) 14 ，直线 NB 的斜率= (21) 24 ， + = (11) 14 + (21) 24 = (11)(24)+(21)(14) (14)(24) = 2125(1+2)+8 (14)(24) = (22 24 22+15 42
22、 22+1+8) (14)(24) =0 综上所述，|MB|NA|MA|NB| 22 【详解详析】 （共 14 分） 解： （）f（x）（x2+2x）exx（x+2）ex（1 分） f（x）0 得，x2 或 x0； f（x）0 得，2x0；（2 分） 所以 f（x）的单调增区间为（，2） ， （0，+） ；单调减区间为（2，0）（3 分） （）过（1，0）点可做 f（x）的三条切线；理由如下：（1 分） 设切点坐标为（x0，020） ，过切点的切线方程为 y020=（02+2x0）0（xx0）（2 分） 切线过（1，0）点，代入得020=（02+2x0）0（1x0） ， 化简得 x0（x0+2
23、） （x02）0=0，（3 分） 12 方程有三个解，x00，x0= 2，x0= 2，即三个切点横坐标， 所以过（1，0）点可做 f（x）的三条切线 （）设 g（x）x2exk（x1） ，（1 分） 方法 1 1 k0 时，x2exk（x1）成立；（1 分） 2 k0 时，若 x，f（0）0k（01）不成立， 所以 k0 不合题意（2 分） 3 k0 时，x1 时，h（x）0 显然成立，只需考虑 x1 时情况； 转化为 2 1 k 对任意 x（1，+）恒成立（3 分） 令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (2+2)(1)2 (1)2 = (+2)(2) (1)2 ，（3 分） 当
24、1x2时，h（x）0，hx）单调减； 当 x2时，h（x）0，h（x）单调增； 所以 h（x）minh（2）= 2 2 21 =（2+22） 2 k， 所以 k（2+22） 2 综上，k 的取值范围是0， （2+22） 2 （7 分） 方法 2：不用讨论 k，只讨论 x 1 x1，成立；（1 分） 2 x1 转化为 2 1 k 对任意 x（1，+）恒成立（2 分） 令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (2+2)(1)2 (1)2 = (+2)(2) (1)2 ，（3 分） 当 1x2时，h（x）0，h（x）单调减； 当 x2时，h（x）0，h（x）单调增； 所以 h（x）minh（2）= 2 2 21 =（2+22） 2 k， 所以 k（2+22） 2 3 当 x1 时转化为 2 1 k 对任意 x（，1）恒成立 同 2 ，令 h（x）= 2 1（x1） ， 13 h（x）= (+2)(2) (1)2 ，列下表 x （，2） 2 （2，0） 0 （0，1） h（x） 0 + 0 h（x） 减 极小值 增 极大值 减 当 x1 时，易得 h（x）= 2 1 0， h（0）0，所以 hmaxh（0）0k；即 k0，（6 分） 综上，k 的取值范围是0， （2+22） 2 （7 分）
