1、例：例：求线框求线框(ba)所受力和力矩；线框平衡时的所受力和力矩；线框平衡时的的值，的值，并判定平衡的稳定性；线圈从平衡位置旋转并判定平衡的稳定性；线圈从平衡位置旋转/2长直电长直电流对线圈做的功。流对线圈做的功。解：解：arIIaBIffMNMN222121021arIIaBIffOPOP22222102221221)cos2(abbar21222)cos2(abbarcos22122212fffff(1)(2)(3)(4)(5)专题五、安培力载流导体受安培运动专题五、安培力载流导体受安培运动21222212)2(cosrrarr(6)将将(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(
2、4)、(6)(6)式代入式代入(5)(5)式得式得21cos4)(222222222210212210babaaIIrraIIf(7)F F 与与 x x 夹角为夹角为coscos12fffxsinsin12fffyxyffarctan(8)(9)(10)sinsin1ra1coscosrabsinsin2ra2coscosrab(11)(12)将式将式(11)(11)、(12)(12)代入式代入式(8)(8)、(9)(9)，再代入式，再代入式(10)(10)，经化简得，经化简得)tanarctan(2222baba(13)sin1bh sin2bh 力臂：力臂：或时00M时是稳定平衡。0时是
3、不稳定平衡。cos4)(sin)(2)11(sin)sinsin(22222222221022212210212102211babababaIIrrbaIIrrabIIhfhfM(14)ababaIIabbabaabbabaabbaIIdabbaabbabaIIMdAln2)()(ln2)()(ln21)cos2)(sincos2)(sin(210222222222210202222221020(15)例：匀质金属圆环（红色）质量为例：匀质金属圆环（红色）质量为m，半径为，半径为r，当在环中通电流，当在环中通电流I时，时，环平衡在超导平板上方环平衡在超导平板上方z=h（rh)处。试求处。试求：
4、1、环中电流、环中电流I；2、让环、让环保持水平状态从平衡位置向上或向保持水平状态从平衡位置向上或向下稍偏移，试求振动周期；下稍偏移，试求振动周期；3、让环让环在平衡位置绕其与在平衡位置绕其与x轴平行的直径轴平行的直径pp转转一小角度一小角度，试求环的摆动周期。，试求环的摆动周期。解：解：1、环电流的磁场在超导板中、环电流的磁场在超导板中形成感应电流。超导板内无磁场，形成感应电流。超导板内无磁场，板外表面附近磁场沿板面切向。板外表面附近磁场沿板面切向。感应电流用镜像环电流等效。因感应电流用镜像环电流等效。因rh,故环电流受力故环电流受力mghrI220zhrIzrhIF22222020rmgh
5、I022、环上移、环上移Z Z，则环受力，则环受力zhmgmghzhrImgzhrIF)1(2)(22020hgghT23、环上环元（、环上环元（rd)的坐标为的坐标为sinsinrhz环元受力为环元受力为sincosry)sinsin(4)(22200rhrdIIrdzIdFdhrhrI)sinsin1(420环元对轴环元对轴pp受重力矩为零，受安培力矩为受重力矩为零，受安培力矩为dhrhrIydFdM)sinsin1(sincos4220dhrhrIdMM)sinsin1(sincos420220sincos4sinsincos423202202320hrIdhrI23204hrI环对轴环
6、对轴pp的转动惯量为的转动惯量为221mrJ 环对轴环对轴pp转动的运动方程为转动的运动方程为MJ 0220mhrI 0220hgmhrI hg2ghT22专题九、洛仑兹力带电粒子受电磁场力运动专题九、洛仑兹力带电粒子受电磁场力运动例例:如图如图1所示，分布在全空间均匀磁场所示，分布在全空间均匀磁场 B 的方向垂直于图平面，一质量的方向垂直于图平面，一质量为为 m 、电量为、电量为 q 0)的带电粒子从的带电粒子从x=x0处以平行于处以平行于z轴的初始轴的初始动量动量p0(p0qB0L)从磁极左侧射入场区。试求：从磁极左侧射入场区。试求：(1)粒子通过场区后，在粒子通过场区后，在YZ平面平面
7、上的小偏转角上的小偏转角y；(2)试证明粒子通过场区后，在试证明粒子通过场区后，在XZ平面上的小偏转平面上的小偏转角近似为角近似为 （3）在）在X轴上取一段直线轴上取一段直线Lxyx2000 xxx初始动量均为初始动量均为P0）从此段直线上各点出发射向场区。忽略粒子间的相互作）从此段直线上各点出发射向场区。忽略粒子间的相互作用。试证明这些粒子将会聚在用。试证明这些粒子将会聚在Z轴的某点处，该点与磁极右侧面的间距称为轴的某点处，该点与磁极右侧面的间距称为焦距焦距f，试导出，试导出f的表达式。的表达式。，设有一束粒子（电量均为，设有一束粒子（电量均为q、；00mvp LqBp00解解（1 1）设粒
8、子的质量为）设粒子的质量为m m，初速度为，初速度为v v0 0，则，则因为因为0000qBPqBmvR故粒子的动量在磁场中变化很小，偏转很小，粒子故粒子的动量在磁场中变化很小，偏转很小，粒子在磁场中的运动可视为速率为在磁场中的运动可视为速率为v v0 0的园弧运动，圆半的园弧运动，圆半径为径为不计边缘效应，则不计边缘效应，则LRysin00sinpLqBRLyy00pLqBRLy 即即 很小，故近似有很小，故近似有（2）粒子到达磁极右侧面时，粒子到达磁极右侧面时，y 正方向的速度分量为正方向的速度分量为mLqBpLvqBvvyy00000ZB0 xZB0 xZB因磁场弯曲，边缘磁场有因磁场弯
9、曲，边缘磁场有分量，则粒子受分量，则粒子受X X方向的洛伦兹力，方向的洛伦兹力，为负；为负；为负时，为负时，为正。洛伦兹力的大小为为正。洛伦兹力的大小为:mLBBqBqvFZZyX02ZXXBmLBqmFa202粒子在粒子在X X方向的加速度为方向的加速度为:dtadvXXdtvdtvdzZ0粒子在粒子在dt dt 时间内，在时间内，在X X方向的分速度增量为方向的分速度增量为:粒子在粒子在Z Z方向的位移是方向的位移是:为正时为正时代入代入dzBvmLBqvdzadvZXX02020设磁极右侧面的设磁极右侧面的Z Z坐标为坐标为Z Z0 0，则，则00202zZXdzBvmLBqv 为计算这
10、一积分，取一足够长的矩形回路为计算这一积分，取一足够长的矩形回路L（abcda)，则由环路定律得，则由环路定律得LxLxpLqBxvmLBqvvyXX20020002022020)()(0000;dzBxBBdzzZL000 xBdzBxZ求得求得负号表示速度负负号表示速度负X方向方向002202)(xvmLBqvX00 x0X00 x0XLBqPxxzXX2022000tanzLBqPzf20220（3 3）由上式知：由上式知：，则，则，粒子向下偏转；，粒子向下偏转；，则，则，粒子向上偏转，粒子会聚。粒子会聚点与电极右侧面的距离为，粒子向上偏转，粒子会聚。粒子会聚点与电极右侧面的距离为即焦路
11、，所以即焦路，所以 例例:如图如图1所示，分布在全空间均匀电场所示，分布在全空间均匀电场E的方向与的方向与+y轴平行，分布在轴平行，分布在0yL区间的均匀磁场区间的均匀磁场B的方向与的方向与+Z轴平行。今有一质量为轴平行。今有一质量为m，电量为，电量为q(q0)的质点在的质点在x=0、y=-h、z=0的的p点静止释放。设点静止释放。设h00。（1）为使带电质点的运动规道恰好与）为使带电质点的运动规道恰好与y=L的平面相切，求的平面相切，求h应满足的条件。应满足的条件。（2）若）若h=0，且带电粒子的运动不走出磁场区，试写出质点，且带电粒子的运动不走出磁场区，试写出质点x、y分量的运分量的运 动
12、方程。动方程。图图1解：解：（1）求质点到达）求质点到达o点的速度点的速度2021mvqEh mqEhv20（沿（沿+y方向）方向）设粒子在电场、磁场区任一点的速度分量为设粒子在电场、磁场区任一点的速度分量为),(yxvv则则yxqBvma tyqBtvmx即即0tqBymvx在坐标原点在坐标原点o：0 xv0y常量 qBymvx0)(qBLvmx切则则在在y=L点点o：切)(xxvv Ly 0)(原點qBymvx2)(21)(切xvmLhqEmLhqEvx)(2)(切LmELqBh222两式联列得：两式联列得：例例 如图所示，半径为如图所示，半径为R的光滑绝缘圆环固定在水平面上，环所在的与的
13、光滑绝缘圆环固定在水平面上，环所在的与水平面垂直的长直圆柱体空间有均匀磁场，圆柱体外无磁场，磁感应水平面垂直的长直圆柱体空间有均匀磁场，圆柱体外无磁场，磁感应强度的方向如图所示。圆环内有一质量为强度的方向如图所示。圆环内有一质量为m 的绝缘刚性细杆的绝缘刚性细杆ab，其上，其上均匀分布电量为均匀分布电量为Q的正电荷。杆中心与环心的距离为的正电荷。杆中心与环心的距离为R/2，杆两端被约，杆两端被约束在圆环上并可在环内作无摩擦运动。初始时刻杆静止，尔后，磁场束在圆环上并可在环内作无摩擦运动。初始时刻杆静止，尔后，磁场B的大小按的大小按B=B0sin0t变化。杆在环内先逆时针转过变化。杆在环内先逆时
14、针转过2角角,再顺时针转再顺时针转回回2角，并如此不断交替。设杆的运动不改变杆上的电荷分布，杆的角，并如此不断交替。设杆的运动不改变杆上的电荷分布，杆的转动惯量为转动惯量为I=mR2/2=2mD2。试求。试求t时刻杆的旋转角频率；时刻杆的旋转角频率；确定确定0与与m、Q、B0之间的关系；之间的关系；求环对杆两端所施的作用力求环对杆两端所施的作用力Na、Nb。解 (1)杆运动中受的力有：涡旋电场力；洛伦兹力；环对杆端的作用力。tBrtBrE000cos222RD DRbOaO2DObOa3dxDQdQ32设，则在x 轴(细杆)上取dx 一段，其上电荷为DQdxtBrEdQdF32cos2000D
15、QdxtBrrdFdM32cos20002dDtdxQBDxDrdFM300002230cos34222xDr2000costDQBIM tmQBtDQBIIMdtd0002000cos2cos1mQBtdtmQBdttt2cos200000定轴转动定理 tttdtBmQdt0000sin2)cos1(2000tmQBt 时刻杆转过的角度 00mQB000mQB00200mQB200mQBmQB200在0 和 之间变化。当t从0增至时，从0 逆时针增为，t从增至时从 顺时针减为0。由题给条件，应有 cos2dFdFxrDcostdxQBdFx000cos32DxtdxQBF30000cos32
16、DtQB)cos21(000（2）涡旋电场力Y分量相消，X分量为 rBdxdQvBdFL洛伦兹力：dx 的速度为r，其洛伦兹力指向O。其X分量相消，Y分量为dxrBdFLYcos2rDcosBDQBDdxFDLY302mQB2mQB2心FDmBDQFLY222因 ，即，则 (杆的质心作圆周运动的向心力)00sinsinbaXNNN00coscosbaYNNN环的压力23sin0因 21cos0故)(23baXNNN)(21baYNNNDmFNLYY2DmFDmNLYY22)(XXNFDm0baNNDmNNNNYbba2222tRmBQDmNNba02022sin8因杆的质心在r方向无运动，故FLY和NY的合力使杆的质心作圆周运动，即 杆质心X方向(切向)的运动方程为从而有 以上两方程联立得 0cos2)cos21()(000000tmQBmDDtQBDmFNXX
