1、 不等式 一、知识梳理 1.“三个二次”之间的关系 所谓三个二次，指的是二次函数图象及与 x 轴的交点，相应的一元二次方程的实根；一元二次不等式的解集端 点，解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化. 2.规划问题 （一）简述规划问题的求解步骤. (1)把问题要求转化为约束条件； (2)根据约束条件作出可行域； (3)对目标函数变形并解释其几何意义； (4)移动目标函数寻找最优解； (5)解相关方程组求出最优解. （二）关注非线性： (1)可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域. (2)yb xa的几何意义为可行域上任一点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率， 22
2、)()(byax的几何意义为可行域上任一 点(x，y)与定点(a，b)的距离等. 3.基本不等式 利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等. 一跟踪训练 1.已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题： A.若 ab0，bcad0，则c a d b0； B.若 ab0，c a d b0，则 bcad0； C.若 bcad0，c a d b0，则 ab0. D.如果 ab0，cd0，则 bcbd. 【答案】A，B，C，D 【解析】【解析】对于 A，ab0，bcad0，c a d b bcad ab 0，A 正确；对于 B，ab0，又c a d b0，即 bcad ab
3、0，B 正 确；对于 C，bcad0，又c a d b0，即 bcad ab 0，ab0，C 正确；对于 D， ab0 c0 acbc0 cd0 b0 bcbd0 acbd.，D 正确，故选 A，B，C，D 2.若 0ab1，则下列选项正确的是（ ） Aa3b2 B2a3b Clog2alog3b Dloga2logb3 【答案】A，B 【解析】【解析】对于 A：a3a2b2，正确； 对于 B：2a3a3b，正确； 对于 C：log2alog3b，错误； 对于 D：不妨令 a，b，则 loga2logb3230， 故 loga2logb3，错误故选 A，B. 3.若 ab0，则下列结论中不恒成
4、立的是（ ） A|a|b| B Ca2+b22ab D （）2 【答案】D 【解析】【解析】ab0 时，|a|b|，A 正确； ab0，0，即，B 正确； a2+b22ab（ab）20，a2+b22ab，C 正确； 0， ，D 错误故选 D 4.若实数 x，y，满足 2yx+z（xyz） ，下列四个不等式正确的有（ ） A.|yx+|2 B.x3y+y3z+xz3x4+y4+z4 C.y2xz D.xy+yx+xzx2+y2+z2 【答案】A，B，C. 【解析】【解析】因为 2yxz， 所以设 yxzyk， 则 zx2k，对于 Ayx+|2，所以 A 成立； 对于 B：x3y+y3z+xz3x
5、4y4z4x3（yx）+y3（zy）+z3（xz） k（x3+y32z3）k（x3z3）+（y3z3） k（xz） （x2+xz+z2）+（yz） （y2+yz+z2） k220，所以 B 成立； 对于 C：0，所以 C 成立 对于 D：取 x1，y2，z3，xy+yz+xz11，x2+y2+z214， 所以 D 不成立，故选 A，B，C. 5.若正实数 a，b 满足 a+b1，则下列选项中正确的是（ ） Aab 有最大值 B+有最小值 C+有最小值 4 Da2+b2有最小值 【答案】A，C 【解析】【解析】a0，b0，且 a+b1； ab 有最大值，选项 A 正确； ，的最小值不是，B 错误
6、； ，有最小值 4，C 正确； a2+b22ab，a2+b2的最小值不是，D 错误故选 A，C 6.下列四个解不等式，正确的有（） A.不等式 2x2x10 的解集是(，1)(2，) B.不等式6x2x20 的解集是 2 1 3 2 xxx或 C.若不等式 ax28ax210， 解得 x1 或 x1 2，不等式的解集为 ) 2 1 ,(1，).故 A 错误； 对于 B，6x2x20，6x2x20， (2x1)(3x2)0，x1 2或 x 2 3.故 B 正确； 对于 C：由题意可知7 和1 为方程 ax28ax210 的两个根. 7 (1)21 a ，故 a3.正确 对于 D：依题意得 q，1
7、 是方程 x2px20 的两根，q1p，即 pq1，正确. 7.设正实数 a，b 满足 a+b1，则（ ） A 有最小值 4 B 有最大值 C 有最大值 Da 2+b2 有最小值 【答案】A，B，C，D 【解析】【解析】正实数 a，b 满足 a+b1，即有 a+b2，可得 0ab， 即有+4，即有 ab 时，+取得最小值 4，无最大值； 由 0，可得有最大值； 由+， 可得 ab 时，+取得最大值； 由 a2+b22ab 可得 2（a2+b2）（a+b）21， 则 a2+b2，当 ab时，a2+b2取得最小值 综上可得 A，B，C，D 均正确 8.设 a0，b0，则下列不等式中一定成立的是（
8、） Aa+b+ B C D （a+b） （）4 【答案】A，C，D 【解析】【解析】a0，b0， ，当且仅当 ab 且 2即 ab时取等号；故 A 成立 0，当且仅当 ab 时取等号， 不一定成立，故 B 不成立， ，当且仅当 ab 时取等号， a+b，当且仅当 ab 时取等号， ，故 C 一定成立， （a+b） （）2+4，当且仅当 ab 时取等号，故 D 一定成立，故选 A，C，D 9.已知关于 x 的不等式 kx22x6k0(k0) A.若不等式的解集为x|x2，则 k2 5的值； B.若不等式的解集为x|xR，x1 k，则 k 6 6 ； C.若不等式的解集为 R，则 k 6 6 .；
9、 D.若不等式的解集为，则 k 6 6 【答案】A，C，D 【解析】【解析】对于 A：因为不等式的解集为x|x2，所以 k0，且3 与2 是方程 kx22x6k0 的两根， 所以(3)(2)2 k，解得 k 2 5.故 A 正确；对于 B：因为不等式的解集为x|xR，x 1 k， 所以 k0， 424k20，解得 k 6 6 .故 B 错误； 对于 C：由题意，得 k0， 424k20，解得 k0， 424k20，解得 k 6 6 .故 D 正确. 10.下列不等式证明过程正确的是（ ） A若 a，bR，则 B若 x1，y1，则 C若 x0，则 D若 x0，则 【答案】B，D 【解析】【解析】A 不正确，因为 a、b 不满足同号，故不能用基本不等式 B 正确，因为 lgx 和 lgy 一定是正实数，故可用基本不等式 C 不正确，因为 x 和不是正实数，故不能直接利用基本不等式 D 正确，因为 2x 和 2 x 都是正实数，故成立，当且仅当 2x2 x 相等时（即 x0 时） ，等号 成立故选 B，D
