1、2020版高考新课程数学二轮课件：2 考向一直接法求轨迹方程考向一直接法求轨迹方程 【例例1 1】(2019(2019全国卷全国卷)已知点已知点A(-2,0),B(2,0),A(-2,0),B(2,0),动动点点M(x,y)M(x,y)满足满足直线直线AMAM与与BMBM的斜率之积为的斜率之积为-.记记M M的的轨迹为曲线轨迹为曲线C.C.(1)(1)求求C C的方程的方程,并说明并说明C C是什么曲线是什么曲线.12(2)(2)过坐标原点的直线交过坐标原点的直线交C C于于P,QP,Q两点两点,点点P P在第一象在第一象限限,PEx,PEx轴轴,垂足为垂足为E,E,连结连结QEQE并延长交并
2、延长交C C于点于点G.G.()()证明：证明：PQGPQG是直角三角形；是直角三角形；()()求求PQGPQG面积的最大值面积的最大值.【题眼直击题眼直击】题眼题眼思维导引思维导引利用斜率之间的关系建立等量关系式利用斜率之间的关系建立等量关系式想到斜率之积为想到斜率之积为-1,-1,则两直线垂直则两直线垂直利用均值不等式或函数单调性求最值利用均值不等式或函数单调性求最值【自主解答自主解答】(1)(1)由题设得由题设得 ,化简得化简得 (|x|(|x|2),2),所以所以C C为中心在坐标原点为中心在坐标原点,焦点在焦点在x x轴上的椭圆轴上的椭圆,不含不含左右顶点左右顶点.yy1x2 x22
3、 g22xy142(2)(2)()设直线设直线PQPQ的斜率为的斜率为k,k,则其方程为则其方程为y=kx(k0).y=kx(k0).由由 得得x=x=.记记u=,u=,则则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线于是直线QGQG的斜率的斜率为为 ,方程为方程为y=(x-u).y=(x-u).由由 得得(2+k(2+k2 2)x)x2 2-2uk-2uk2 2x+kx+k2 2u u2 2-8=0.-8=0.22ykxxy142，2212k2212kk2k222ky(xu),2xy142设设G(xG(xG G,y,yG G),
4、),则则-u-u和和x xG G是方程是方程的解的解,故故x xG G=由此得由此得y yG G=.=.从而直线从而直线PGPG的斜率为的斜率为 所以所以PQPG,PQPG,即即PQGPQG是直角三角形是直角三角形.22u(3k2)2k，32uk2k3222ukuk12k.u(3k2)ku2k()由由()得得|PQ|=2u ,|PG|=|PQ|=2u ,|PG|=所以所以PQGPQG的面积的面积S=S=21k222uk k12k，222218(k)18k(1k)k|PQ PG|.12(12k)(2k)12(k)k设设t=k+,t=k+,则由则由k0k0得得t2,t2,当且仅当当且仅当k=1k=
5、1时取等号时取等号.因为因为S=S=在在2,+2,+)单调递减单调递减,所以当所以当t=2,t=2,即即k=1k=1时时,S,S取得最大值取得最大值,最大值为最大值为 .因此因此,PQGPQG面积的最大值为面积的最大值为 .1k28t12t169169【拓展提升拓展提升】直接法求轨迹方程的一般步骤直接法求轨迹方程的一般步骤(1)(1)建立恰当的直角坐标系建立恰当的直角坐标系;(2)(2)设出所求曲线上点的坐标设出所求曲线上点的坐标,把几何条件或等量关系把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程用坐标表示为代数方程;(3)(3)化简整理这个方程化简整理这个方程,检验并说明所求的方程就是曲检验并说明
6、所求的方程就是曲线的方程线的方程.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性要注意翻译的等价性.通常将步通常将步骤简记为骤简记为:“:“建系、设点、列式、化简建系、设点、列式、化简”.【变式训练变式训练】(2019(2019郑州一模郑州一模)已知动点已知动点P P到定点到定点F(1,0)F(1,0)和直线和直线l:x=2:x=2的距离之比为的距离之比为 ,设动点设动点P P的轨迹为曲线的轨迹为曲线E,E,过点过点F F作垂直于作垂直于x x轴的直线与曲线轴的直线与曲线E E相交于相交于A,
7、BA,B两点两点,直线直线l:y=mx+n:y=mx+n与曲线与曲线E E交于交于C,DC,D两点两点,与线段与线段ABAB相交于一点相交于一点(与与A,BA,B不重合不重合)22(1)(1)求曲线求曲线E E的方程的方程.(2)(2)当直线当直线l与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相切时相切时,四边形四边形ACBDACBD的面积是否的面积是否有最大值有最大值,若有若有,求出其最大值求出其最大值,及对应的直线及对应的直线l l的方程的方程;若没有若没有,请说明理由请说明理由.【解析解析】(1)(1)设点设点P(x,y),P(x,y),由题意可得由题意可得,整理可得整理可得:+y:+y2
8、 2=1.=1.故曲线故曲线E E的方程是的方程是 +y+y2 2=1.=1.22(x 1)y2|x2|2，2x22x2(2)(2)设设C(xC(x1 1,y,y1 1),D(x),D(x2 2,y,y2 2),),由已知可得由已知可得:|AB|=,:|AB|=,当当m=0m=0时时,不合题意不合题意.当当m0m0时时,由直线由直线l与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相切相切,可得可得:=1,=1,22nm1即即m m2 2+1=n+1=n2 2,联立联立 消去消去y y得得(m(m2 2+)x+)x2 2+2mnx+n+2mnx+n2 2-1=0.-1=0.=4m=4m2 2n n2
9、 2-4 (n-4 (n2 2-1)=2m-1)=2m2 20,0,22ymxnxy12，1221(m)2x x1 1=所以所以,x,x1 1+x+x2 2=,=,x x1 1x x2 2=,=,24mn2m1222n22m12222mn2mnx2m12m1，|AB|x|AB|x2 2-x-x1 1|=|=当且仅当当且仅当2|m|=,2|m|=,ACBD1S2四边形22222 m2 2mn122.12m12m122 mm 1m即即m=m=时等号成立时等号成立,此时此时n=n=.经检验可知经检验可知,直线直线y=x-y=x-和直线和直线y=-x+y=-x+符合题意符合题意.直线直线y=x+y=x
10、+和直线和直线y=-x-y=-x-不与不与ABAB线段线段相交相交,故舍去故舍去.22622262226222622262 考向二定义法求轨迹方程考向二定义法求轨迹方程 【例例2 2】(1)(1)已知圆已知圆C C1 1:(x+3):(x+3)2 2+y+y2 2=1=1和圆和圆C C2 2:(x-3):(x-3)2 2+y+y2 2=9,=9,动圆动圆M M同时与圆同时与圆C C1 1及圆及圆C C2 2相外切相外切 ,求求动圆圆心动圆圆心M M的轨迹方程的轨迹方程.(2)(2)如图如图,已知已知ABCABC的两顶点坐标的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),A(-1,0),B(1,0),
11、圆圆E E是是ABCABC的内的内切圆切圆,在边在边AC,BC,ABAC,BC,AB上的切点分别上的切点分别为为P,Q,R,|CP|=1(P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相从圆外一点到圆的两条切线段长相等等),),动点动点C C的轨迹为曲线的轨迹为曲线M.M.求曲线求曲线M M的方程的方程.世纪世纪金榜导学号金榜导学号【题眼直击题眼直击】题眼题眼思维导引思维导引想到两圆相外切的条件想到两圆相外切的条件想到利用圆锥曲线的定义求方程想到利用圆锥曲线的定义求方程想到利用相切的性质及椭圆的定义求解想到利用相切的性质及椭圆的定义求解【自主解答自主解答】(1)(1)如图所示如图所示,
12、设动圆设动圆M M与圆与圆C C1 1及圆及圆C C2 2分别外切于点分别外切于点A A和和点点B,B,则有则有|MC|MC1 1|-|AC|-|AC1 1|=|MA|,|MC|=|MA|,|MC2 2|-|BC|-|BC2 2|=|MB|.|=|MB|.又又|MA|=|MB|,|MA|=|MB|,所以所以|MC|MC2 2|-|MC|-|MC1 1|=|BC|=|BC2 2|-|AC|-|AC1 1|=3-1=2,|=3-1=2,即动点即动点M M到两定点到两定点C C2 2,C,C1 1的距离的差是常数的距离的差是常数2,2,且且2|C2|MC|MC1 1|,|,故动圆圆心故动圆圆心M M
13、的轨迹为以定点的轨迹为以定点C C2 2,C,C1 1为焦点的双曲线的为焦点的双曲线的左支左支,则则2a=2,2a=2,所以所以a=1.a=1.又又c=3,c=3,则则b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=8.=8.设动圆圆心设动圆圆心M M的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则动圆圆心则动圆圆心M M的轨迹方程的轨迹方程为为x x2 2-=1(x-1).-=1(x-1).2y8(2)(2)由题知由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,2|CP|+|AB|=4|AB|
14、,所以曲线所以曲线M M是以是以A,BA,B为焦点为焦点,长轴长为长轴长为4 4的椭圆的椭圆(挖去与挖去与x x轴的交点轴的交点).).设曲线设曲线M:=1(ab0,y0),M:=1(ab0,y0),则则a a2 2=4,b=4,b2 2=a=a2 2-=3,-=3,所以曲线所以曲线M M的方程为的方程为:=1(y0).:=1(y0).2222xyab2|AB|()222xy43【拓展提升拓展提升】定义法求轨迹方程的步骤定义法求轨迹方程的步骤(1)(1)判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义.(2)(2)设标准方程设标准方程,求方程中的基本量求方程中的基本量.
15、(3)(3)求轨迹方程求轨迹方程.【变式训练变式训练】(2016(2016全国卷全国卷)设圆设圆x x2 2+y+y2 2+2x-15=0+2x-15=0的圆心为的圆心为A,A,直线直线l过点过点B(1,0)B(1,0)且与且与x x轴不重合轴不重合,l交圆交圆A A于于C,DC,D两点两点,过过B B作作ACAC的平行线交的平行线交ADAD于点于点E.E.(1)(1)证明证明|EA|+|EB|EA|+|EB|为定值为定值,并写出点并写出点E E的轨迹方程的轨迹方程.(2)(2)设点设点E E的轨迹为曲线的轨迹为曲线C C1 1,直线直线l交交C C1 1于于M,NM,N两点两点,过过B B且
16、且与与l垂直的直线与圆垂直的直线与圆A A交于交于P,QP,Q两点两点,求四边形求四边形MPNQMPNQ面积面积的取值范围的取值范围.【解析解析】(1)(1)圆圆A A整理为整理为(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=16,=16,点点A A坐标为坐标为(-1,(-1,0),0),如图如图,因为因为BEAC,BEAC,则则ACB=EBD,ACB=EBD,由由|AC|=|AD|,|AC|=|AD|,则则ADC=ACD,ADC=ACD,所以所以EBD=EDB,EBD=EDB,则则|EB|=|ED|,|EB|=|ED|,所以所以|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.|AE|+|E
17、B|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以所以E E的轨迹为一个椭圆的轨迹为一个椭圆,方程为方程为 =1(y0);=1(y0);22xy43(2)C(2)C1 1:=1;:=1;设设l:x=my+1,:x=my+1,因为因为PQPQl,设设PQ:y=-m(x-1),PQ:y=-m(x-1),联立联立l与椭圆与椭圆C C1 1,得得(3m(3m2 2+4)y+4)y2 2+6my-9=0;+6my-9=0;22xy4322xmy 1,xy1,43则则|MN|=|y|MN|=|yM M-y-yN N|21m22222236m36(3m4)12(m1)1m;3m43m4圆心圆心A A到到PQPQ距
18、离距离d=d=所以所以|PQ|=|PQ|=22|m(1 1)|2m|,1m1m 2222224m4 3m42|AQ|d2 16,1m1m所以所以S SMPNQMPNQ=|MN|PQ|=|MN|PQ|=由由m m2 200得得33+4,33+4,所以所以S SMPNQMPNQ12,8 ).12,8 ).22221 12(m1)4 3m423m41mgg1222224 m1124.13m43m121m13 考向三相关点考向三相关点(代入代入)法求轨迹方程法求轨迹方程 【例例3 3】设设F(1,0),F(1,0),M M点在点在x x轴上，轴上，P P点在点在y y轴上，轴上，且且 ,当点当点P P
19、在在y y轴上运动时轴上运动时,求点求点N N的的轨迹方程轨迹方程.世纪金榜导学号世纪金榜导学号MN 2MP PMPFuuu ruuu r uuu ruu r，【题眼直击题眼直击】题眼题眼思维导引思维导引M M点纵坐标为点纵坐标为0,P0,P点横坐标为点横坐标为0 0通过向量的运算找到三点坐标之间的关系通过向量的运算找到三点坐标之间的关系【自主解答自主解答】设设M(xM(x0,0,0),P(0,y0),P(0,y0 0),N(x,y),),N(x,y),因为因为 =(x=(x0 0,-y,-y0 0),),=(1,-y =(1,-y0 0),),所以所以(x(x0 0,-y,-y0 0)(1,
20、-y)(1,-y0 0)=0,)=0,即即x x0 0+=0.+=0.PMPFPMuuu ruu r uuu r，PFuu r20y由由 得得(x-x(x-x0 0,y)=2(-x,y)=2(-x0 0,y,y0 0),),所以所以 所以所以-x+=0,-x+=0,即即y y2 2=4x.=4x.故所求的点故所求的点N N的轨迹方程是的轨迹方程是y y2 2=4x.=4x.MN 2MPuuu ruuu r00000 xxxx2x1y2yyy,2，即，2y4【拓展提升拓展提升】相关点法求轨迹方程的步骤相关点法求轨迹方程的步骤(1)(1)与动点与动点N(x,y)N(x,y)相关的点相关的点P(xP
21、(x0 0,y,y0 0)在已知曲线上运动在已知曲线上运动.(2)(2)寻求关系式寻求关系式x x0 0=f(x,y),y=f(x,y),y0 0=g(x,y).=g(x,y).(3)(3)将将x x0 0,y,y0 0代入已知曲线方程代入已知曲线方程.(4)(4)整理关于整理关于x,yx,y的关系式得的关系式得N N的轨迹方程的轨迹方程.【变式训练变式训练】一种作图工具如图一种作图工具如图1 1所示所示.O.O是滑槽是滑槽ABAB的中点的中点,短杆短杆ONON可绕可绕O O转转动动,长杆长杆MNMN通过通过N N处铰链与处铰链与ONON连接连接,MN,MN上的栓子上的栓子D D可沿滑槽可沿滑
22、槽ABAB滑滑动动,且且DN=ON=1,MN=3.DN=ON=1,MN=3.当栓子当栓子D D在滑槽在滑槽ABAB内作往复运动时内作往复运动时,带动带动N N绕绕O O转动一周转动一周(D(D不动时不动时,N,N也不动也不动),M),M处的笔尖画出的曲线记处的笔尖画出的曲线记为为C.C.以以O O为原点为原点,AB,AB所在的直线为所在的直线为x x轴建立如图轴建立如图2 2所示的平面直所示的平面直角坐标系角坐标系.求曲线求曲线C C的方程的方程.【解析解析】设点设点D(t,0)(|t|2),N(xD(t,0)(|t|2),N(x0 0,y,y0 0),),M(x,y),M(x,y),依题意依
23、题意,MD 2DN,|DN|ON|1uuu ruuu ruuu ruuu r且，所以所以(t-x,-y)=2(x(t-x,-y)=2(x0 0-t,y-t,y0 0),),且且 即即 且且t=2xt=2x0 0,由于当点由于当点D D不动时不动时,点点N N也不动也不动,所以所以t t不恒等于不恒等于0,0,22002200(xt)y1,xy1,00tx2x2ty2y.，于是于是t=2xt=2x0 0,故故x x0 0=,y=,y0 0=-,=-,代入代入 =1,=1,可得可得 =1.=1.即所求的曲线即所求的曲线C C的方程为的方程为 =1.=1.x4y22200 xy22xy16422xy164
