1、第八讲计数原理、统计与概率考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备考点题型速览考点题型速览考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备考点题型速览考点题型速览高考预测:概率与统计是高考的必考重点,三种题型都有,客观题以统计图表的识别与数据分析、几何概型的求解为主,试题属于中低档题目,比较简单;解答题多以实际问题中的统计图表信息为背景,模块知识内的综合为主,概率与统计数字的结合,有一定的难度.解决此类问题的关键在于准确把握信息中的数据.高考对计数原理的考查主要以利用排列与组合求不同的方法数以及利用二项式定理求指定项为主,题目难度不大.考
2、点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃一、计数原理1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时一般用位置分析法或元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常
3、用方法.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃3.组合问题的两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:求解这类题必须重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.4.解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类;(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合
4、问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置).考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃5.分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 (n为均分的组数),避免重复计数.对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组数的阶乘,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数.对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排
5、列数.(2)对于相同元素的“分配”问题,常用方法是“隔板法”.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃6.二项式定理(1)求二项展开式中的特定项,一般是化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.(2)“赋值法”普遍适用于恒等式,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法.(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解
6、题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃二、用样本估计总体1.应用系统抽样应注意的问题(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.(3)起始编号可用简单随机抽样来确定,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.2.分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异明显的情况.考点题型速览考点题型速览应试策略集
7、萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃3.解决频率分布直方图问题的要点(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示 ,故每组样本的频率为组距 ,即小长方形的面积.(3)直方图中每组样本的频数为频率总体个数.4.利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法(1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值.(2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和.(3)众数:最高的矩形的中点的横坐标.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃5
8、.样本数字特征及公式推广(1)平均数和方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的阐述.平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势,方差和标准差描述波动大小.(2)平均数、方差公式的推广若数据x1,x2,xn的平均数为 ,方差为s2,则数据mx1+a,mx2+a,mxn+a的平均数为m +a,方差为m2s2.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃1.判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图:点的分布从左下角到右上角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右下角,两个变量负相关.(2)相关系数:r0时,正相关;r0时,负相关.(3)线性回归方
9、程中:0时,正相关;0时,负相关.2.线性回归分析问题的类型及解题方法(1)求线性回归方程利用公式,求出回归系数.待定系数法:利用回归直线过样本点的中心求系数.3.独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成22列联表.(2)根据公式K2=计算K2的观测值k.(3)比较k与临界值的大小关系,作统计推断.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃四、概率1.判断互斥、对立事件的2种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件
10、.(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃2.求复杂互斥事件概率的2种方法(1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接法:先求此事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接法就会较简便.注意应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出
11、各个事件发生的概率,再求和(或差).3.求古典概型概率的步骤(1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(3)利用公式P(A)=,求出事件A的概率.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃4.基本事件个数的确定方法 5.判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题时,一般与面积有关系.(2)当题干是单变量问题时,要看变量可以等可能到达的区域;若变量在线段上移动,则几何度量是长度;若变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度量是面积(体积),即一
12、个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃6.离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值:明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.(2)求概率:明确随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格:按规范要求形式写出分布列.(4)做检验:利用分布列的性质检验分布列是否正确.7.超几何分布的求解超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考查某类
13、个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃8.条件概率的求法(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.9.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入
14、手计算.考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃10.独立重复试验与二项分布利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生k次的概率.11.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用:P(X
15、a)=1-P(Xa);P(X-)=P(X+).考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备应试策略集萃应试策略集萃12.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量稳定程度,它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.13.二项分布的期望与方差.(1)如果B(n,p),则E()=np;D()=np(1-p).(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(a+b)=aE()+b以及E()=np求出E(a+b),同样还可求
16、出D(a+b).考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备解题知识必备解题知识必备1.正确理解组合数的性质 考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备解题知识必备解题知识必备2.求解有限制条件排列问题的方法 考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备解题知识必备解题知识必备3.排列数、组合数公式及性质(3)0!=1.4.系统抽样的最基本特征是“等距性”,一般地,每组内所抽取的号码依据第一组抽取的号码和组距确定.每组抽取的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项、组距d为公差的等差数列an,第k组抽取的号
17、码为ak=m+(k-1)d.5.分层抽样为等比例抽样,这是计算各层抽取数量的基本依据.分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层,抽样比考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备解题知识必备解题知识必备6.茎叶图(1)用茎叶图表示数据的优点:一是没有原始数据的丢失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.(2)茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数,在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.7.线性回归直线一定经过样本点的中心().考点题型速览考点题型速览应试策略集萃应试策略集萃解题知识必备解题知识必备解题知识必备解题知识必备9.条件概率的性质(1)0P(B|A)1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A);(3)若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).
