1、l第十二节(一)导数的应用上海新王牌教育上海新王牌教育12018-01l主干知识梳理l一、函数的单调性l 在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.lf(x)0f(x)在(a，b)上为 lf(x)0f(x)在(a，b)上为 增函数减函数22018-01l二、函数的极值l1函数的极小值：l函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧l ，右侧 ，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值f(x)0f(x)032018-01l2函数的极大值：l函数yf(x)在点xb的函数
2、值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧l ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值l极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值f(x)0f(x)042018-01l三、函数的最值l1在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值l2若函数f(x)在a，b上单调递增，则 为函数的最小值，l 为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则 为函数的最大值，为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)52018-01l 基础自测自评l1(教材习题改编)若函数f(x)x3ax23x
3、9在x3时取得极值，则a等于()lA2B3lC4 D5lDf(x)3x22ax3，f(3)0，la5.62018-01l2(2013浙江高考)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如右图所示，则该函数的图象是()72018-0182018-01lB由导函数图象知，函数f(x)在1，1上为增函数l当x(1，0)时f(x)由小到大，则f(x)图象的增长趋势由缓到快，当x(0，1)时f(x)由大到小，则f(x)的图象增长趋势由快到缓，故选B.92018-01l3(2012陕西高考)设函数f(x)xex，则()lAx1为f(x)的极大值点lBx1为f(x)的极小值点lC
4、x1为f(x)的极大值点lDx1为f(x)的极小值点lD求导得f(x)exxexex(x1)，令f(x)ex(x1)0，l解得x1，易知x1是函数f(x)的极小值点102018-01112018-01l5已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是_l解析f(x)3x2a在x1，)上f(x)0，l则f(1)0a3.l答案3122018-01l 关键要点点拨l1f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件l2可导函数的极值点必须是导数为
5、0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数f(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在x0处有y|x00，但x0不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点132018-01l3可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较142018-01运用导数解决函数的单调性问题 152018-01162018-01172018-01l 规律方法l求可导函数单调区间的一般步骤和方法l(1)确定函数f(x)的定义域；l(2)求f(x)，令f(x)0，求出它在定义域内的一切实数
6、根；l(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；l(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性182018-01l 跟踪训练l1已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)l(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；l(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由192018-01202018-01l(2)若函数f(x)在R上单调递减，l则f(x)
7、0对xR都成立，l即x2(a2)xaex0对xR都成立lex0，x2(a2)xa0对xR都成立l(a2)24a0，l即a240，这是不可能的l故不存在a使函数f(x)在R上单调递减212018-01运用导数解决函数的极值问题 222018-01232018-01242018-01252018-01262018-01272018-01282018-01l 规律方法l求函数极值的步骤l(1)确定函数的定义域；l(2)求方程f(x)0的根；l(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；l(4)由f(x)0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况29201
8、8-01302018-01312018-01l(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，l所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，l令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，l当x(，2)时，f(x)0，l即f(x)在(，2)上单调递增；l当x(2，1)时，f(x)0，l即f(x)在(1，)上单调递增l从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，l在x1处取得极小值f(1)6.322018-01l 典题导入l 已知函数f(x)(xk)ex.l(1)求f(x)的单调区间；l(2)求f(x)在区间0，1上的最小值运用导数解决函数的最值问题 332018-01342018-
9、01l所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是l(k1，)l(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(0)k；l当0k11，即1k2时，l由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，l所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(k1)ek1；l当k11时，即k2时，函数f(x)在0，1上单调递减，l所以f(x)在区间0，1上的最小值为f(1)(1k)e.352018-01l 互动探究l本题条件不变，求f(x)在区间0，1上的最大值l解析当k10，即k1时，函数f(x)在0，1上单调递增l所以f(x)在0，
10、1上的最大值为f(1)(1k)e.l当0k11，即1k2时，362018-01372018-01382018-01l 规律方法l求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤l(1)求函数在(a，b)内的极值；l(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；l(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值392018-01l 跟踪训练l3(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax.l(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；l(2)若|a|1，求f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值402018
11、-01l解析(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.l又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.l(2)记g(a)为f(x)在闭区间0，2|a|上的最小值lf(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)l令f(x)0，得到x11，x2a.l当a1时，412018-01422018-01432018-01l(理)(2013浙江高考)已知aR，函数f(x)x33x23ax3a3.l(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；l(2)当x0，2时，求|f(x)|的最大值【创新探究】分类讨论思想在导数中的应用442018-01l【思路导析】(1)求出f(1)与f(1)，写出
12、切线方程yf(1)f(1)(x1);l(2)通过利用导数研究函数yf(x)在0，2上的单调情况求|f(x)|的最大值，注意对参数a分类讨论l【解析】(1)由题意得f(x)3x26x3a，l故f(1)3a3.l又f(1)1，所以所求的切线方程为y(3a3)x3a4.452018-01462018-01l列表如下：472018-01482018-01492018-01502018-01512018-01l (文)(2012山东高考)已知函数f(x)ax2bxlln x(a，bR)l(1)设a0，求f(x)的单调区间；l(2)设a0，且对任意x0，f(x)f(1)试比较ln a与2b的大小l【思路导
13、析】第一问中函数f(x)ax2bxln x的单调区间需利用导数来解决，需要对a，b进行分类讨论第二问要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性来解决522018-01532018-01542018-01552018-01562018-01572018-01582018-01l【高手支招】对含有参数的函数在研究其单调区间、极值与最值时，应特别注意参数的不同取值对导数值符号的影响，不确定时要对参数进行分类讨论分类时要做到不重不漏，同时还要注意必须是在函数的定义域内求解592018-01l 体验高考l(理)(2013福建高考)已知函数f(x)xaln x(aR)l(1)当a2时，求曲线
14、yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；l(2)求函数f(x)的极值602018-01612018-01622018-01l当x(a，)时，f(x)0，l从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值l综上，当a0时，函数f(x)无极值；l当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值632018-01l(文)(2013广东高考)设函数f(x)x3kx2x(kR)l(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；l(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.642018-01l解析(1)当k1时，f(x)x3x2x，lf(x)3x22x1.l方程3x22x10的判别式44380，lf(x)0恒成立lf(x)的单调递增区间为(，)l(2)当k0时，f(x)3x22kx1，l方程3x22kx10的判别式4k2434(k23)，652018-01662018-01672018-01682018-01692018-01702018-01课时作业课时作业712018-01
