1、广西南宁市、玉林市、贵港市等高三毕业班摸底考试广西南宁市、玉林市、贵港市等高三毕业班摸底考试 数学（理）试题数学（理）试题 第第卷（共卷（共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知集合 2 4,340Ax xxBxx，则 AB （ ） A. ,0 B. 4 0, 3 C. 4 ,4 3 D. ,0 【答案】C 【分析】 先求出集合 A，B，由此能求出 AB 【详解】集合
2、 A=x|x24x=x|0x4， B=x|3x40=x|x 4 3 ， AB=x| 4 3 x4=（ 4 4 3， 故选 C 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与 方程思想，是基础题 2. 3 12ii i （ ） A. 3 i B. 3 i C. 3 i D. 3 i 【答案】B 【分析】 根据虚数单位 i 的性质以及复数的基本运算法则，直接计算化简 【详解】 3 12ii i = 1 3i i = 1 3ii i i =3i 故选 B 【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算除法中关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，实现分母实 数化 3
3、.已知三角形内角 A满足 1 sincos 5 AA，则sin2A的值为（ ） A. 12 25 B. 12 25 C. 24 25 D. 24 25 【答案】D 【分析】 将已知等式两边平方，判断出 cosA 小于 0，sinA 大于 0，且 sinA 的绝对值大于 cosA 的绝对值，利用完全 平方公式求出 sinAcosA 的值，与已知等式联立求出 sinA 与 cosA 的值，即可确定出sin2A的值. 【详解】A 为三角形内角，且 sinA+cosA= 1 5 ， 将 sinA+cosA= 1 5 两边平方得：2sinAcosA= 24 25 ， A 为钝角，即 sinA0，cosA
4、0，且|sinA|cosA|， 12sinAcosA= 49 25 ，即（sinAcosA）2= 49 25 ， sinAcosA0， sinAcosA= 7 5 ， 联立得： 1 5 7 5 sinAcosA sinAcosA ， 解得：sinA= 4 5 ，cosA= 3 5 ， 则 sin2A= 24 2sinAcosA 25 故选 D 【点睛】应用公式时注意方程思想的应用：对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，利 用(sincos) 212sin cos，可以知一求二 4.执行如图所示的程序框图，那么输出的S值是（ ） A. 1 2 B. 1 C. 2018 D.
5、2 【答案】B 【解析】先根据循环语句得 S变化规律（周期） ，再根据规律确定输出值. 详解：因为 1 1,1;,2;2,3; 2 SkSkSk 所以3T , 所以当2008=669 3+1k 时1,S 选 B. 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择 结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明 确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5.已知随机变量服从正态分布 1,1N，若10.9772p ，则13P （ ） A. 0.6827 B. 0.8522 C. 0.9544 D. 0.97
6、72 【答案】C 【分析】 利用正态分布的对称性结合已知求得3p，然后求解即可 【详解】因为随机变量服从正态分布1,1N， 所以其图像关于直线1对称， 因为10.9772p ，11 0.97720.0228p ， 1?30.0228pp 所以131 0.0228 20.9544P ，答案选 C 【点睛】本题考查正态分布，关键是对正态分布曲线的理解与掌握，是基础题 6.已知 x、y满足 0 40 4 xy xy x ，则3x y 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 16 【答案】A 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求
7、得最优解 的坐标，代入目标函数得答案 【详解】由约束条件 0 40 4 xy xy x 作出可行域如图， 联立 40 0 xy xy ，解得 A（2，2） ， 令 z=3xy，化为 y=3xz， 由图可知，当直线 y=3xz 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为 4 故选 A 【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需 要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中 的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界 上取得. 7.若
8、直线 1 l和 2 l是异面直线， 1 l在平面内， 2 l在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确 的是 A. l与 1 l， 2 l都相交 B. l与 1 l， 2 l都不相交 C. l至少与 1 l， 2 l中的一条相交 D. l至多与 1 l， 2 l中的一条相交 【答案】C 【详解】试题分析：Al与 l1，l2可以相交，如图： 该选项错误； Bl可以和 l1，l2中的一个平行，如上图，该选项错误； Cl可以和 l1，l2都相交，如下图： ，该选项错误； D“l至少与 l1，l2中的一条相交”正确，假如 l和 l1，l2都不相交； l和 l1，l2都共面； l和 l1，l2都平行
9、； l1l2，l1和 l2共面，这样便不符合已知的 l 1和 l2异面； 该选项正确 故选 D 考点：点、线、面位置关系 【此处有视频，请去附件查看】 8.函数 2+ln f xxx的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 先判断函数为偶函数排除BC；再根据当0x时，( )f x ，排除D得到答案. 【详解】 2 22 lnlnln( )f xxxxfxxxxfx ，偶函数，排除BC； 当0x时，( )f x ，排除D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，通过函数的奇偶性和特殊函数点可以排除选项快速得到答案. 9.若两个非零向量, a b满足2abab a，则向量
10、a b 与ab的夹角的余弦值是（ ） A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 【答案】B 【分析】 由条件2ababa可得 0a b 并且3ba，然后代入夹角计算公式直接求解即可 【详解】因为abab 所以 22 abab，整理得0a b， 又2aba 所以 2 2 4aba，整理得 3ba， 设向量ab与ab的夹角为，则 ()() cos ab ab abab = 22 22 ab aa = 2 2 ( 3) 22 aa aa = 1 2 ，答案选 B 【点睛】本题考查了平面向量的数量积、数量积的性质，向量的夹角计算，本题的关键是由条件 2ababa得到 0a b 并且3ba
11、，考查了学生的运算能力，推理能力，属于中档题 10.在ABC中， , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知3,sin2sin 3 cCBA ，则ABC的周长是 （ ） A. 3 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 4 3 【答案】C 【分析】 由 sinB=2sinA，利用正弦定理得 b=2a，由此利用余弦定理能求出 a，b，从而得到ABC的周长. 【详解】sinB=2sinA，由正弦定理得 b=2a， 由余弦定理得 c2=a2+b22abcosC =a2+4a22a2=3a2， 又 c=3，解得 a=1，b=2 ABC的周长是 12333abc 故选 C 【点睛】解三角形的基本策
12、略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常 见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为 关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 11.如图，已知 12 ,F F是双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的左、右焦点，若直线3yx与双曲线C交 于PQ、两点，且四边形 12 PFQF是矩形，则双曲线的离心率为（ ） A. 5 2 5 B. 5 2 5 C. 31 D. 31 【答案】C 【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出 a，c 的关系，即可求出双曲线的离心率 【
13、详解】由题意，矩形的对角线长相等， y= 3x 代入 22 22 1(0 xy a ab ，b0） ， 可得 x= 22 22 3 a b ba ，y=3 22 22 3 a b ba ， 22 22 4 3 a b ba =c2， 4a2b2=（b23a2）c2， 4a2（c2a2）=（c24a2）c2， e48e2+4=0， e1，e2=4+2 3， e= 3+1 故选 C 【点睛】求离心率的常用方法有以下两种： （1）求得 , a c的值，直接代入公式 c e a 求解； （2）列出关于, ,a b c的齐次方程(或不等式)，然后根据 222 bac，消去b后转化成关于e的方程(或不 等
14、式)求解 12.已知函数 f x是定义在R上的奇函数，若 12g xf x， gx 为 g x的导函数，对 xR ，总有 2gxx ，则 2 1g xx的解集为（ ） A. ,0 B. , 1 C. 1, D. 0, 【答案】B 【分析】首先根据函数图像的平移得到 12g xf x的图像与函数 f x的图像关系，再根据 2gxx 研究 2 h x1g xx单调性，进而求出结果 【详解】因为函数 f x是定义在R上的奇函数， 所以函数 f x关于原点对称， 又 12g xf x 所以 g x是由 f x向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位而得到的， 所以 g x是关于点1,2对称， 所以有
15、12g 设 2 h x1g xx 则 h x2xgx 因为对xR ，总有 2gxx ， 所以 h x0，即 h x在 R 上单调递增， 所以当x1 时， h xh10 即当x1 时， 2 1g xx，所以答案选 B 【点睛】本题考查了函数的图像平移规律、奇函数的性质、利用导数研究函数的单调性以及抽象函数不等 式的求解，解决关键是将函数不等式转化为单调函数值的比较问题，此类问题常常要构造辅助函数，有一 定的技巧和灵活性，要注意积累 第第卷卷（共（共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.抛
16、物线 2 2yx的准线方程为_ 【答案】 1 2 x 【分析】抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ，由此得到题目所求准线方程. 【详解】抛物线 2 2yx准线方程是 1 2 x . 【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线 2 2ypx的准线方程为 2 p x ，直接利用公式可得 到结果.属于基础题. 14. 5 2 11xx的展开式中的含 5 x的系数为_ (用数字填写作答）. 【答案】 11 【分析】把多项式按乘法展开，将问题转化为二个二项展开式的系数问题利用二项展开式的通项公式求 出展开式的通项，分别令 x 的指数为 3 和 5，求出展开式含 3 x和 5 x项的系数，再
17、求出最终结果 【详解】 5 2 11xx= 55 2 11xxx 而 5 1x展开式的通项为 5 15 ( 1) rrr r TC x 取3r 和= 5r，得 5 1x展开式中含 3 x和 5 x项的系数分别为 10和 1， 所以 5 2 11xx的展开式中的含 5 x的系数为 10+1=11 【点睛】本题考查了等价转化的数学思想，以及利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式指定项的系 数问题，属于基础题 15.已知, 2,2Mx yxy，点P的坐标为, x y，则当P M时，且满足 22 224xy 的概率为_ 【答案】1 16 【分析】根据题意，满足|x|2 且|y|2 的点 P 在如图的
18、正方形 ABCD 及其内部运动，而满足（x2） 2+（y2） 24 的点 P 在以 C 为圆心且半径为 2 的圆及其外部运动 因此， 所求概率等于阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比，根据扇形面积和正方形面积计算公式，即可求出本题的概率 【详解】如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 及其内部满足（x2）2+（y2）24 的点位于的区域是以 C （2，2）为圆心，半径等于 2 的圆及其外部 P 满足（x2）2+（y2）24 的概率为 P1= S S 阴影 正方形 = 2 1 4 42 4 4 4 =1 16 故答案为1 16 【点睛】几何概型概率公式的应用： （1）一般地，一个连续
19、变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； （2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后 利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； （3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利 用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. 16.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的外接球表面积为_ 【答案】3 【分析】 先根据几何体的三视图还原其直观图，再根据直观图确定其外接球的半径即可 【详解】由三视图可得此几何体的直观图如下， （图中 ABCD） 易知其外接球的直径为此正
20、方体的对角线 所以 222 2R1113 ，即 3 R 2 所以外接球表面积为 2 S4R= 2 3 43 2 【点睛】本题考查了三视图原还直观图，多面体与球及球的表面积计算，属于基础题此类问题的关键是 把三视图还原为直观图，再进行计算 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.设 n S是公比不为 1 的等比数列 n a的前n项和.已知 33 39 , 22 aS. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 2 3 n nn bna .若 1 1
21、n nn c b b ，求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】 （1） 1 1 6 2 n n a ； （2） 41 n n . 【分析】 （1）由题意布列基本量首项与公比的方程即可得到数列 n a的通项公式； （2）由（1）得2 n bn， 1 11 41 n c nn ，利用裂项相消法求和即可. 【详解】(1) 设等比数列 n a的公比为q，则 33 31233 2 aa Saaaa qq . 因为 33 39 , 22 aS，所以 2 210qq . 解得1q （舍去） ， 1 2 q . 1 3 3 1 6 2 n n n aa q . （2）由（1）得 1 2 2 3 n nn
22、 bnan ， 所以 1 111 11 4141 n nn c b bn nnn 数列 n c的前n项和 111111 1 42231 n T nn 11 1 41n 41 n n . 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方 法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1) 11 11 n nkknnk ； （2） 1 nkn 1 nkn k ； （3） 1111 21 212 2121nnnn ； （4） 11 122n nn 11 112n nnn ；此外， 需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 18.
23、某地区某农产品近几年的产量统计如表： （1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程ybta； （2）根据线性回归方程预测 2019 年该地区该农产品的年产量. 附:对于一组数据 1122 , nn t ytyty， 其回归直线y bta的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 2 n ii i n i i ttyy b tt ，aybt.(参考数据: 6 2.8 ii i ttyy ， 计算结果保留小数点后两位） 【答案】 （1） 0.166.44yt ； （2）预测 2019 年该地区该农产品的年产量约为 7.72 万吨. 【分析】 （1）求得样本中心点（t，y） ，利用最小二乘法即可求得线性回
24、归方程； （2）由（1）可知：将 t=8代入线性回归方程，即可求得该地区 2019年该农产品的产量估计值为 7.72 万吨 【详解】 （1）由题意可知： 1 23456 3.5 6 t ， 6.66.777.1 7.27.4 7 6 y ， 6 2222 222 1 2.51.50.50.51.52.517.5 i i tt ， 1 2 1 2.8 0.16 17.5 n ii i n i i ttyy b tt ， 又70.16 3.56.44aybt， y关于t的线性回归方程为0.166 4 .4yt . （2）由（1)可得，当年份为 2019 年时，年份代码8t ，此时0.16 86.4
25、. 47 72y ，所以，可预测 2019 年该地区该农产品的年产量约为 7.72 万吨. 【点睛】求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算 2 11 , , nn iii ii x yxx y 的值；计算回归系数 , a b ；写出回归直线方程为 ybxa； 回归直线过样本点中心 , x y是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 19.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形， ,PBBC PDCD，且 2PA ，E 为PD中点. （1）求证：PA 平面ABCD； （2）求二面角ABEC正弦值
26、. 【答案】(1)见解析； （2） 15 5 . 【分析】 （）可证BC 平面PAB，得BCPA，再证CDPA，可证PA 平面ABCD； （2）建立空间直角 坐 标 系 求 出 相 关 各 点 的 坐 标 ：0 , 0 , 0 ,2 , 2 , 0 ,0 , 1 , 1 ,2 , 0 , 0ACEB及 各 向 量 的 坐 标 0 , 1 , 1 ,2 , 0 , 0A EA B，求出平面ABE的一个法向量 0, 1,1m ，及平面BCE的一个法向量 1,0,2n ，代入夹角公式计算即可 【详解】 （1）证明：底面ABCD为正方形， BCAB，又,BCPB ABPBB， BC 平面PAB， BC
27、PA. 同理,CDPA BCCDC， PA 平面 ABCD. （2）建立如图的空间直角坐标系Axyz， 则0,0,0 ,2,2,0 ,0,1,1 ,2,0,0ACEB， 设, ,mx y z为平面ABE的一个法向量， 又0,1,1 ,2,0,0AEAB， 0 20 yz x 令1,1yz ， 得0, 1,1m . 同理1,0,2n 是平面BCE的一个法向量， 则 210 cos , 525 m n m n m n . 二面角ABEC的正弦值为 15 5 . 【点睛】本题考查了线面垂直的的判定与性质及二面角的计算，属于中档题 20.设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab ，右顶点是 2,
28、0A，离心率为 1 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆交于两点,M N(,M N不同于点A)，若 0AM AN uuur uuu r ，求证:直线l过定点，并求出 定点坐标. 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2） 2 ,0 7 . 【分析】 （1）由椭圆右顶点的坐标为 A（2，0） ，离心率 1 2 e ，可得 a，c 的值，由此可得椭圆 C 的方程； （2）当 直 线MN斜 率 不 存 在 时 ， 设: MN lxm， 易 得 2 7 m ， 当 直 线MN斜 率 存 在 时 ， 直 线 :0MN ykxb k， 与 椭 圆 方 程 22 1 43 xy 联
29、立 ， 得 222 4384120kxkbxb， 由 0AMAN 可得 2 7 bk ，从而得证. 【详解】 （1）右顶点是2,0A，离心率为 1 2 ， 所以 1 2, 2 c a a ，1c ，则 3b ， 椭圆的标准方程为 22 1 43 xy . （2）当直线MN斜率不存在时，设: MN lxm， 与椭圆方程 22 1 43 xy 联立得： 2 3 1 4 m y ， 2 2 3 1 4 m MN ， 设直线MN与x轴交于点B，MBAB，即 2 3 12 4 m m ， 2 7 m 或 2m(舍） ， 直线m过定点 2 ,0 7 ； 当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k， 1122
30、 ,M x yN xy，则直线:0MN ykxb k， 与椭圆方程 22 1 43 xy 联立，得 222 4384120kxkbxb， 12 2 8 43 kb xx k ， 2 12 2 412 43 b x x k ， 22 12121 212 y ykxbkxbk x xkb xxb， 2 22 84 434120,kbkbkR ， 0AM AN ，则 1122 2,2,0xyxy， 即 1 21212 240x xxxy y， 22 74160bkkb， 2 7 bk 或2bk ， 直线 2 : 7 MN lyk x 或2yk x， 直线过定点 2 ,0 7 或2,0舍去； 综上知直
31、线过定点 2 ,0 7 . 【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法 （1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一 个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 21.已知函数 2 ln2f xxxxmx. （1）若关于x的方程 0f x 有两个不同的实数根，求证: 10f； （2）若存在 1 ,xe e 使得 ln22f xxmxx成立，求实数m的取值范围.（其中e为自然对数 的底数，2.71828e ） 【答案】(1)见解析； （2） 2 2 1 ee m e . 【分析】
32、（）设 2 ln0h xxxx x ，将“方程 0f x 有两个不同的实数根”转化为“函数y m 和 2 lnh xxx x 有两个不同的交点”，进而转化为求 h x的最值问题，得出 m 的取值范围，问题即可 解决（2） 首先“存在 1 ,xe e 使得 ln22f xxmxx成立”的问题转化为“存在 1 ,xe e 使 得 2 max 2 ln xx m xx 成立”，从而转化为求 2 21 , ln xx k xxe xxe 的最大值问题，利用导数研究其单 调性并求其最值，即可解决问题 【详解】 （1）若方程 0f x 有两个不同的实数根，即 2 lnmxx x 有两个不同的实数根， 令
33、2 ln0h xxxx x ，即函数y m 和 2 lnh xxx x 有两个不同的交点， 而 22 2112 1 xx h x xxx ， 令 0h x ，解得:1x ，令 0h x ，解得01x， 故 h x在0,1上递减，在1,上递増， 故 13h xh，故3m ， 故 130fm . （2）若存在 1 ,xe e 使得 ln22f xxmxx成立， 即存在 1 ,xe e 使得 2 max 2 ln xx m xx 成立， 令 2 21 , ln xx k xxe xxe ，则 2 12ln2 ln xxx kx xx ， 易得2ln20xx ， 令 0kx ，解得:1x ，令 0kx
34、 ，解得1x ， 故 k x在 1 ,1 e 递减，在1,e递增， 故 k x最大值是 1 k e 或 k e， 而 2 2 1212 1 eee kk e eeee ， 故 2 2 1 ee m e . 【点睛】本题考查了利用导数研究方程根的问题和解决不等式成立的问题，此类问题是考试的热点也是难 点，属于难题而对于本题的关键是首先进行参变分离，构造辅助函数，将问题转化为求辅助函数的最值 问题，这也是此类问题较为常见的一种解法 请考生在请考生在 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.在直角坐标系xO
35、y中，曲线 1 C的参数方程为 22cos 2sin x y （为参数） ，以原点O为极点，x轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin. （1）求曲线 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）已知曲线 3 C的极坐标方程为(0,)R ，点A是曲线 3 C与 1 C的交点，点B是曲线 3 C与 2 C的交点，A，B均异于原点O，且4 2AB ，求的值. 【答案】 （1） 22 22 24,24xyxy； （2） 3 4 . 【分析】 （1）根据曲线 1 C的参数方程，消去参数，即可得到 1 C的普通方程；由4sin两边同时乘以，即可 得到 2 4 sin，进
36、而可得 2 C的直角坐标方程； (2)根据 1 C的直角坐标方程先得到其极坐标方程， 将 分别代入 1 C和 2 C的极坐标方程， 求出 A 和 B ， 再由4 2 AB AB，即可求出结果. 【详解】 （1）由 22 2 xcos ysin 消去参数，得 1 C的普通方程为 2 2 24xy. 由4sin，得 2 4 sin，又siny， 222 xy， 所以 2 C的直角坐标方程为 2 2 24xy. （2）由（1）知曲线 1 C的普通方程为 2 2 24xy， 所以其极坐标方程为4cos. 设点A，B的极坐标分别为, A ，, B ， 则4cos A ，4sin B ， 所以4 coss
37、in4 2 sin4 2 4 AB AB ， 所以sin1 4 ，即 42 kkZ ， 解得 3 4 kkZ ， 又0，所以 3 4 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即 可，属于常考题型. 23.已知函数 2 9f xxx. （1）解不等式 15f x ； （2）若关于x的不等式 f xa有解，求实数a的取值范围. 【答案】 （1）311xx； （2）9a . 【分析】 （1）由题意化简 318,9 18,09 183 ,0 xx f xxx x x ，分段解不等式，最后取并集即可； （2）x不等式 f xa有解等价于 a min
38、f x. 【详解】 （1）由题意化简 318,9 18,09 183 ,0 xx f xxx x x ， 15f x ， 所以 9 31815 x x 或 09 1815 x x 或 0 18315 x x ， 解得不等式的解集为：311xx. （2）依题意，求2 9xx的最小值， 318,9 18,09 183 ,0 xx f xxx x x 的最小值为 9， 9a . 【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关： 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立问题，而不 等式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f(x)f(x)max，f(x)a 恒成立af(x)min. 第二关是求最值关，求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：利用绝对值的几何意义；利用绝 对值三角不等式，即|a|b|a b|a|b|；利用零点分区间法
